نظرية هودج p -adic

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية هودج p -adic نظريةً تُتيح تصنيف ودراسة تمثيلات غالوا p -adic للحقول المحلية ذات الخاصية 0 ^{[ 1 ]} ذات الخاصية المتبقية p (مثل Q _p ). تعود جذور هذه النظرية إلى دراسة جان بيير سير وجون تيت لوحدات تيت للأصناف الأبيلية ومفهوم تمثيل هودج-تيت . ترتبط تمثيلات هودج-تيت ببعض تحليلات نظريات التماثل p -adic المشابهة لتحليل هودج ، ومن هنا جاء اسم نظرية هودج p -adic. استُلهمت التطورات اللاحقة من خصائص تمثيلات غالوا p -adic الناشئة عن التماثل الإيتالي للأصناف . وقدّم جان مارك فونتين العديد من المفاهيم الأساسية لهذا المجال .

يترك${\displaystyle K}$ليكن حقلاً محلياً مع حقل متبقي${\displaystyle k}$ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$في هذه المقالة،${\displaystyle p}$تمثيل -adic لـ${\displaystyle K}$(أو من${\displaystyle G_{K}}$، مجموعة غالوا المطلقة${\displaystyle K}$) سيكون تمثيلاً متصلاً${\displaystyle \rho :G_{K}\to {\text{GL}}(V)}$، أين${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة على${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$مجموعة الكل${\displaystyle p}$تمثيلات -adic لـ${\displaystyle K}$تشكل فئة أبيلية يُرمز لها بـ${\displaystyle \mathrm {Rep} _{\mathbb {Q} _{p}}(K)}$في هذه المقالة.${\displaystyle p}$تُقدّم نظرية هودج -adic مجموعات فرعية من${\displaystyle p}$تعتمد التمثيلات -adic على مدى سهولتها، كما توفر دوالًا أمينة لفئات الكائنات الجبرية الخطية التي يسهل دراستها. التصنيف الأساسي هو كما يلي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {crys} }(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{ss}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbb {Q} _{p}}(K)}$

حيث تمثل كل مجموعة فئة فرعية كاملة تندرج ضمن الفئة التالية. وهذه الفئات، بالترتيب، هي: التمثيلات البلورية ، والتمثيلات شبه المستقرة ، وتمثيلات دي رام ، وتمثيلات هودج-تيت، وجميع التمثيلات p -adic. إضافةً إلى ذلك، يمكن تقديم فئتين أخريين من التمثيلات، وهما: التمثيلات التي يُحتمل أن تكون بلورية.${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pcrys} }(K)}$والتمثيلات شبه المستقرة المحتملة${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pss} }(K)}$. يحتوي الأخير بشكل صارم على الأول الذي بدوره يحتوي بشكل صارم بشكل عام على${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {crys} }(K)}$؛ بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {pss} }(K)}$يحتوي بشكل عام على${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {ss} }(K)}$، وهو موجود في${\displaystyle \operatorname {Rep} _{dR}(K)}$(مع المساواة عندما يكون حقل البقايا لـ${\displaystyle K}$هي محدودة، وهو بيان يسمى نظرية المونودرومي p -adic ).

تتمثل الاستراتيجية العامة لنظرية هودج p -adic، التي قدمها فونتين، في بناء حلقات دورية معينة ^{[ 3 ]} مثل B _dR و B _st و B _cris و B _HT التي لها تأثير بواسطة G _K وبنية جبرية خطية، والنظر في ما يسمى بوحدات ديودونيه.

${\displaystyle D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V)^{G_{K}}}$

(حيث B حلقة دورية، و V تمثيل p -adic) والتي لم تعد تمتلك فعل G _K ، ولكنها مزودة ببنى جبرية خطية موروثة من الحلقة B. على وجه الخصوص، هي فضاءات متجهة فوق الحقل الثابت${\displaystyle E:=B^{G_{K}}}$[ ^{4 ]} يندرج هذا البناء ضمن شكلية التمثيلات المقبولة في B التي قدمها فونتين. بالنسبة لحلقة دورية مثل الحلقات المذكورة سابقًا B _{* (حيث ∗ = HT، dR، st، cris)} ^، فإن فئة التمثيلات p -adic Rep _* ( K ) المذكورة أعلاه هي فئة التمثيلات المقبولة في B _* ، أي تلك التمثيلات p -adic V التي تحقق

${\displaystyle \dim _{E}D_{B_{\ast }}(V)=\dim _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

أو، بصورة مكافئة، تشاكل المقارنة

${\displaystyle \alpha _{V}:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

هو تماثل .

نشأت هذه الصيغة (واسم حلقة الفترة) من بعض النتائج والتخمينات المتعلقة بتماثلات المقارنة في الحساب والهندسة المعقدة :

• إذا كان X مخططًا أملسًا مناسبًا على C ، فهناك تماثل مقارنة كلاسيكي بين علم التماثل الجبري دي رام لـ X على C وعلم التماثل المفرد لـ X ( C ).

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C} ),\mathbf {Q} )\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {C} .}$

يمكن الحصول على هذا التشاكل من خلال النظر في اقتران ناتج عن تكامل الأشكال التفاضلية في علم التماثل الجبري دي رام على الدورات في علم التماثل الفردي. تُسمى نتيجة هذا التكامل دورة ، وهي عادةً عدد مركب. وهذا يفسر سبب وجوب ضرب علم التماثل الفردي في C ، ومن هذا المنظور، يمكن القول إن C يحتوي على جميع الدورات اللازمة لمقارنة علم التماثل الجبري دي رام مع علم التماثل الفردي، وبالتالي يمكن تسميته حلقة دورية في هذه الحالة.

• في منتصف الستينيات، افترض تيت ^{[ 5 ]} أن تماثلًا مشابهًا يجب أن ينطبق على المخططات الملساء المناسبة X على K بين علم التماثل الجبري دي رام وعلم التماثل الإتالي p -adic ( تخمين هودج-تيت ، ويُسمى أيضًا C _HT ). تحديدًا، ليكن C _K هو إتمام الإغلاق الجبري لـ K ، وليكن C _K ( i ) يرمز إلى C _K حيث يكون تأثير G _K عبر g · z = χ( g ) ⁱ g · z (حيث χ هو المحرف الحلقي p -adic ، و i عدد صحيح)، وليكن${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)}$ثم يوجد تماثل وظيفي

${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {HT} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

من فضاءات المتجهات المتدرجة ذات الفعل G _K (يتم تجهيز تماثل دي رام بترشيح هودج ، و${\displaystyle \mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }}$(والمتدرج المرتبط به). وقد أثبت جيرد فالتينجز هذه الفرضية في أواخر الثمانينيات ^{[ 6 ]} بعد نتائج جزئية من قبل العديد من علماء الرياضيات الآخرين (بما في ذلك تيت نفسه).

• بالنسبة لمتنوعة أبيلية X ذات اختزال جيد على حقل p -adic K ، أعاد ألكسندر غروتينديك صياغة نظرية تيت ليقول إن التماثل البلوري H1 ⁽ X / W ( k )) ⊗ Qp للألياف الخاصة (مع تشاكل فروبينيوس الداخلي على هذه المجموعة وترشيح هودج على هذه المجموعة مضروبًا في K ) والتماثل الإيتالي p -adic H1 ⁽ _X , Qp ₎ ( مع تأثير مجموعة غالوا لـ K ) يحتويان على نفس المعلومات. كلاهما مكافئ للمجموعة القابلة للقسمة على p المرتبطة بـ X ، حتى التماثل. افترض غروتينديك أنه يجب أن تكون هناك طريقة للانتقال مباشرة من التماثل الإيتالي p -adic إلى التماثل البلوري (والعكس)، لجميع المتنوعات ذات الاختزال الجيد على حقول p -adic. ^{[ 7 ]} أصبحت هذه العلاقة المقترحة تُعرف باسم الدالة الغامضة .

لتحسين حدسية هودج-تيت لتشمل علم التماثل دي رام (وليس فقط تماثله المتدرج المرتبط به)، أنشأ فونتين ^{[ 8 ]} حلقة مُرشَّحة B _dR يكون تماثلها المتدرج المرتبط بها هو B _HT، وخمَّن [ ^{9 ] ما} يلي (المسمى C _dR ) لأي مخطط أملس مناسب X على K

${\displaystyle B_{\mathrm {dR} }\otimes _{K}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

باعتبارها فضاءات متجهة مُرشَّحة ذات تأثير G _K. وبهذه الطريقة، يمكن القول إن B _{dR تحتوي على جميع الدورات (} p -adic) اللازمة لمقارنة تماثل دي رام الجبري مع تماثل إيتال p -adic، تمامًا كما استُخدمت الأعداد المركبة أعلاه في المقارنة مع التماثل المفرد. ومن هنا اكتسبت B _dR اسمها كحلقة دورات p-adic .

وبالمثل، لصياغة تخمين يفسر دالة غروتينديك الغامضة، قدم فونتين حلقة B _cris ذات فعل G _K ، ودالة "فروبينيوس" φ، وترشيح بعد تمديد الكميات القياسية من K ₀ إلى K. وقد خمّن ^{[ 10 ]} ما يلي (المسمى C _cris ) لأي مخطط X أملس مناسب على K مع اختزال جيد

${\displaystyle B_{\mathrm {cris} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

باعتبارها فضاءات متجهة ذات تأثير φ، وتأثير G _K ، وترشيح بعد تمديد القيم العددية إلى K (هنا)${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)}$تُعطى بنيتها على أنها فضاء متجهي K ₀ مع فعل φ مُعطى من خلال مقارنته بالتماثل البلوري. وقد أثبت فالتينغز كلاً من حدسي C _dR و C _{cris .} ^{[ 11 ]}

بمقارنة هذين التخمينين مع مفهوم التمثيلات المقبولة من النوع B _* المذكور أعلاه، يتضح أنه إذا كان X مخططًا أملسًا مناسبًا على K (مع اختزال جيد) وكان V هو تمثيل غالوا p -adic الذي تم الحصول عليه من خلال مجموعة التماثل الإيتالي p -adic i الخاصة به ، فإن

${\displaystyle D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K).}$

بمعنى آخر ، ينبغي اعتبار وحدات ديودونيه بمثابة إعطاء التماثلات الأخرى المتعلقة بـ V.

في أواخر الثمانينيات، صاغ فونتين وأوي جانسن تخمينًا آخر للتماثل المقارن، C _st ، يسمح هذه المرة لـ X بالاختزال شبه المستقر . أنشأ فونتين ^{[ 12 ]} حلقة B _st ذات فعل G _K ، و" مؤثر فروبينيوس " φ، وترشيحًا بعد تمديد الكميات القياسية من K ₀ إلى K (وتثبيت تمديد للوغاريتم p -adic )، و"مؤثر أحادي التبلور" N. عندما يكون لـ X اختزال شبه مستقر، يمكن تزويد تماثل دي رام بفعل φ ومؤثر أحادي التبلور من خلال مقارنته بتماثل اللوغاريتم البلوري الذي قدمه أوسامو هيودو لأول مرة. ^{[ 13 ]} ينص التخمين بعد ذلك على أن

${\displaystyle B_{\mathrm {st} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {log-cris} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {st} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

باعتبارها فضاءات متجهة ذات تأثير φ، وتأثير G _K ، وترشيح بعد تمديد الكميات القياسية إلى K ، ومؤثر أحادي الاتجاه N. وقد تم إثبات هذه الفرضية في أواخر التسعينيات بواسطة تاكيشي تسوجي. ^{[ 14 ]}

• نظرية هودج
• نظرية أراكيلوف
• نظرية هودج-أراكيلوف
• نظرية تايخمولر p-adic

• تيت، جون (1967)، " المجموعات القابلة للقسمة على p ""، وقائع مؤتمر حول الحقول المحلية ، سبرينغر، ص 158-183 ، doi : 10.1007/978-3-642-87942-5_12 ، ISBN  978-3-642-87942-5
• فالتينغز، جيرد (1988)، " نظرية هودج p -adic"، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 1 (1): 255-299 ، doi : 10.2307/1990970 ، JSTOR 1990970 ، MR 0924705  
• فالتينغز، جيرد (1989)، "التماثل البلوري وتمثيلات غالوا p -adic"، في إيغوسا، جون-إيتشي (محرر)، التحليل الجبري والهندسة ونظرية الأعداد ، بالتيمور، ماريلاند: مطبعة جامعة جونز هوبكنز، ص 25-80 ، ISBN  978-0-8018-3841-5MR 1463696​ 
• Fontaine, Jean-Marc (1982)، “Sur معينة أنواع التمثيلات p -adiques du groupe de Galois d’un corps local؛ Construction d’un anneau de Barsotti–Tate”، حوليات الرياضيات ، 115 (3): 529–577 ، دوى : 10.2307 / 2007012 ، JSTOR 2007012 ، م.ر 0657238  
• Grothendieck، Alexander (1971)، “Groupes de Barsotti–Tate et cristaux”، أعمال المؤتمر الدولي للرياضيات (نيس، 1970) ، المجلد.  1، ص 431 – 436، م 0578496  
• هيودو، أوسامو (1991)، "حول مُركّب دي رام-ويت المُرتبط بعائلة شبه مستقرة"، Compositio Mathematica ، 78 (3): 241-260 ، MR 1106296 
• سيري، جان بيير (1967)، “Résumé des cours، 1965–66”، Annuaire du Collège de France ، باريس، الصفحات من 49 إلى 58 {{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
• تسوجي، تاكيشي (1999)، " علم التماثل الإتالي p -adic وعلم التماثل البلوري في حالة الاختزال شبه المستقر"، Inventiones Mathematicae ، 137 (2): 233-411 ، Bibcode : 1999InMat.137..233T ، doi : 10.1007/s002220050330 ، MR 1705837 ، S2CID 121547567  
• بيرغر، لوران (2004)، "مقدمة في نظرية التمثيلات p -adic"، الجوانب الهندسية لنظرية Dwork ، المجلد الأول  ، برلين: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG، arXiv : math/0210184 ، Bibcode : 2002math.....10184B ، ISBN 978-3-11-017478-6MR 2023292​ 
• برينون، أوليفييه؛ كونراد، برايان (2009)، ملاحظات مدرسة CMI الصيفية حول نظرية هودج p-adic (ملف PDF) ، تم استرجاعه في 2010-02-05
• فونتين، جان مارك ، أد. (1994)، Périodes p-adiques ، Astérisque، المجلد.  223، باريس: Société Mathématique de France، MR 1293969 
• Illusie، Luc (1990)، “Cohomologie de de Rham et cohomologie étale p -adique (d'après G. Faltings، J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726”، Séminaire Bourbaki. المجلد. 1989/90. تعريضات 715–729 ، Astérisque، المجلد. 189– 190، باريس: Société Mathématique de France، الصفحات من 325 إلى 374، السيد 1099881