هيكل هودج المختلط

لاحظ أنه على غرار هياكل هودج، تستخدم هياكل هودج المختلطة الترشيح بدلاً من تحليل المجموع المباشر لأن مجموعات التماثل تحتوي على مصطلحات مضادة للتماثل.${\displaystyle H^{p,q}}$أين${\displaystyle q>0}$لا تتغير بشكل كامل. لكن يمكن أن تتغير عمليات الترشيح بشكل كامل، مما يعطي بنية أكثر تحديدًا.

تُعرَّف مورفولوجيات هياكل هودج المختلطة بواسطة خرائط المجموعات الأبيلية

${\displaystyle f:(H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })\to (H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$

بحيث

${\displaystyle f(W_{l})\subset W'_{l}}$

والخريطة المستحثة لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$تتمتع المساحات المتجهة بالخاصية التالية:

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(F^{p})\subset F'^{p}}$

تُعرَّف أرقام هودج لنظام MHS بأنها أبعاده

${\displaystyle h^{p,q}(H_{\mathbb {Z} })=\dim _{\mathbb {C} }{\text{Gr}}_{F^{\bullet }}^{p}{\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$

منذ${\displaystyle {\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$الوزن${\displaystyle (p+q)}$هيكل هودج، و

${\displaystyle {\text{Gr}}_{p}^{F^{\bullet }}={\frac {F^{p}}{F^{p+1}}}}$

هو${\displaystyle (p,q)}$-مكون من مكونات الوزن${\displaystyle (p+q)}$هيكل هودج.

توجد فئة أبيلية ^{[ 2 ]} من هياكل هودج المختلطة التي تتلاشى${\displaystyle {\text{Ext}}}$- مجموعات عندما تكون درجة التماثل أكبر من${\displaystyle 1}$أي، بالنظر إلى هياكل هودج المختلطة${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$المجموعات

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MHS}^{p}((H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet }))=0}$

ل${\displaystyle p\geq 2}$^{[ 2 ] صفحة 83}.

مع توفر مجموعة متنوعة سلسة${\displaystyle U\subset X}$أين${\displaystyle D=X-U}$إذا كان قاسمًا طبيعيًا للتقاطع (بمعنى أن جميع تقاطعات مكوناته هي تقاطعات كاملة )، فهناك ترشيحات على مُركب دي رام اللوغاريتمي${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$مقدم من

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{m}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}i\leq m\\\Omega _{X}^{i-m}\wedge \Omega _{X}^{m}(\log D)&{\text{ if }}0\leq m\leq i\\0&{\text{ if }}m<0\end{cases}}\\[6pt]F^{p}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}p\leq i\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

اتضح أن هذه الترشيحات تحدد بنية هودج مختلطة طبيعية على مجموعة التماثل.${\displaystyle H^{n}(U,\mathbb {C} )}$من مُركَّب هودج المختلط المُعرَّف على المُركَّب اللوغاريتمي${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$.

نقدم هنا أبسط مثال يُعزل الظاهرة قيد الدراسة. سنشرح نظرية الاضطراب الفائق (MHS) من منظور مختلف.${\displaystyle H^{1}(U,\mathbb {Z} )}$أين${\displaystyle U}$هو مكمل لمنحنى إسقاطي أملس بنقطتين.

يترك${\displaystyle X}$ليكن منحنى أملسًا مناسبًا (وبالتالي إسقاطيًا) فوق${\displaystyle \mathbb {C} }$ودع${\displaystyle Z:=\{x,y\}}$كن نقطتين في${\displaystyle X}$نحصل على ما يسمى بحالة التذكر

${\displaystyle i:Z\hookrightarrow X\hookleftarrow U:j}$

أين${\displaystyle U:=X-Z}$.

يوجد مثلث دقيق من الحزم القابلة للإنشاء على${\displaystyle X}$

${\displaystyle i_{*}i^{!}\mathbb {Z} _{X}\to \mathbb {Z} _{X}\to Rj_{*}j^{*}\mathbb {Z} _{X}\xrightarrow {+} }$

يُحدد التماثل الخالص (الناجم عن ثنائية فيردييه)${\displaystyle i^{!}\mathbb {Z} _{X}=i^{*}\mathbb {Z} _{X}[-2](-1)}$ومن ثم فإن الحدود ذات الصلة للمثلث التام عند أخذ علم التماثل تعطينا المتتالية التامة لـ MHS

${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(U,\mathbb {Z} )\to H^{0}(Z,\mathbb {Z} )(-1)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to 0}$

التبرير، مع ملاحظة أن${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} (-1)}$، نحصل على سلسلة من MHS العقلانية

${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Q} )(1)\to H^{1}(U,\mathbb {Q} )(1)\to \mathbb {Q} \to 0}$

يمكننا الآن قراءة معلومات ترشيح الوزن${\displaystyle H^{1}(U,\mathbb {Q} )(1)}$كما يلي: بدرجة مُصفّاة${\displaystyle -2}$لدينا${\displaystyle W_{-2}H^{1}(U,\mathbb {Q} )(1)=0}$، بدرجة مُصفّاة${\displaystyle -1}$لدينا${\displaystyle W_{-1}H^{1}(U,\mathbb {Q} )(1)=H^{1}(X,\mathbb {Q} )(1)}$وبدرجة مُصفّاة${\displaystyle 0}$لدينا${\displaystyle W_{0}H^{1}(U,\mathbb {Q} )(1)=H^{1}(U,\mathbb {Q} )(1)}$.

يبقى التحقق من أن القطع المصنفة لها الأوزان الصحيحة. ولكن يتضح مباشرةً من التسلسل الدقيق لـ MHS العقلاني أعلاه أن${\displaystyle \mathrm {Gr} _{i}^{W}(H^{1}(U,\mathbb {Q} )(1))}$الوزن الخالص${\displaystyle i}$ل${\displaystyle i\in \{-1,0\}}$لاحظ أنه إذا كان جنس المنحنى ${\displaystyle X}$أكبر من ${\displaystyle 0}$، إذن فإن التقييم لـ${\displaystyle i=-1}$ليس صفراً.

بافتراض تنوع إسقاطي سلس${\displaystyle X}$من الأبعاد${\displaystyle n}$ونوع فرعي مغلق${\displaystyle Y\subset X}$يوجد تسلسل دقيق طويل في علم التماثل ^{[ 4 ] صفحة 7-8}

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(Y;\mathbb {Z} )\to H_{c}^{m+1}(U;\mathbb {Z} )\to \cdots }$

قادمة من المثلث المتميز

${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}\mathbb {Z} _{U}\to \mathbb {Z} _{X}\to i_{*}\mathbb {Z} _{Y}\xrightarrow {[+1]} }$

من الحزم القابلة للإنشاء . هناك تسلسل دقيق طويل آخر

${\displaystyle \cdots \to H_{2n-m}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H_{2n-m-1}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to \cdots }$

من المثلث المتميز

${\displaystyle i_{*}i^{!}\mathbb {Z} _{X}\to \mathbb {Z} _{X}\to \mathbf {R} j_{*}\mathbb {Z} _{U}\xrightarrow {[+1]} }$

حينما${\displaystyle X}$سطح أملس. لاحظ مجموعات التماثل.${\displaystyle H_{k}^{BM}(X)}$تُسمى هذه العمليات بعلم التماثل بوريل-مور ، وهي ثنائية لعلم التماثل المشترك للفضاءات العامة و${\displaystyle (n)}$يعني ذلك استخدام بنية تيت في عملية الموتر${\displaystyle \mathbb {Z} (1)^{\otimes n}}$إضافة وزن${\displaystyle -2n}$إلى ترشيح الوزن. فرضية السلاسة ضرورية لأن ازدواجية فيردييه تستلزم${\displaystyle i^{!}D_{X}=D_{Y}}$، و${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n]}$حينما${\displaystyle X}$سلس. كذلك، فإن المركب المزدوج لـ${\displaystyle X}$له وزن${\displaystyle n}$، لذلك${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n](n)}$كذلك، يجب تعديل الخرائط من علم التماثل بوريل-مور بما يصل إلى الوزن${\displaystyle (n)}$من أجل أن يكون لديها خريطة إلى${\displaystyle H^{m}(X)}$كما يوجد أيضاً اقتران مثالي بين ازدواجية المتناقضات.

${\displaystyle H_{2n-m}^{BM}(Y)\times H^{m}(Y)\to \mathbb {Z} }$

مما يعطي تماثلاً بين المجموعتين.

طارة جبرية أحادية البعد${\displaystyle \mathbb {T} }$متماثل الشكل مع الصنف${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}-\{0,\infty \}}$وبالتالي فإن مجموعات التماثل الخاصة بها متماثلة مع

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(\mathbb {T} )\oplus H^{1}(\mathbb {T} )&\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

ثم يقرأ التسلسل الطويل الدقيق

${\displaystyle {\begin{matrix}&H_{2}^{BM}(Y)(-1)\to H^{0}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{0}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{1}^{BM}(Y)(-1)\to H^{1}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{0}^{BM}(Y)(-1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{2}(\mathbb {G} _{m})\to 0\end{matrix}}}$

منذ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1})=0}$و${\displaystyle H^{2}(\mathbb {G} _{m})=0}$وهذا يعطي التسلسل الدقيق

${\displaystyle 0\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to H_{0}^{BM}(Y)(-1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to 0}$

بما أن هناك التواءً في الأوزان بالنسبة للخرائط المحددة جيدًا لهياكل هودج المختلطة، فهناك تماثل

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {G} _{m})\cong \mathbb {Z} (-1)}$

بالنظر إلى سطح K3 من الدرجة الرابعة${\displaystyle X}$ومنحنى من النوع 3${\displaystyle i:C\hookrightarrow X}$يُعرَّف من خلال موضع التلاشي لقسم عام من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$وبالتالي فهي متماثلة إلى حد ما${\displaystyle 4}$المنحنى المستوي ، الذي ينتمي إلى الجنس 3. ثم، يعطي تسلسل جيسين التسلسل الدقيق الطويل

${\displaystyle \to H^{k-2}(C)\xrightarrow {\gamma _{k}} H^{k}(X)\xrightarrow {i^{*}} H^{k}(U)\xrightarrow {R} H^{k-1}(C)\to }$

لكن هذه نتيجة للخرائط${\displaystyle \gamma _{k}}$خذ فئة هودج من النوع${\displaystyle (p,q)}$إلى فئة هودج من النوع${\displaystyle (p+1,q+1)}$[ ^{5 ]} تُعرف هياكل هودج لكل من سطح K3 والمنحنى جيدًا، ويمكن حسابها باستخدام مثالي جاكوبي . في حالة المنحنى، توجد خريطتان ^{صفريتان}

${\displaystyle \gamma _{3}:H^{1,0}(C)\to H^{2,1}(X)=0}$${\displaystyle \gamma _{3}:H^{0,1}(C)\to H^{1,2}(X)=0}$

لذلك${\displaystyle H^{2}(U)}$يحتوي على وزن قطعة واحدة${\displaystyle H^{1,0}(C)\oplus H^{0,1}(C)}$. لأن${\displaystyle H^{2}(X)=H_{\text{prim}}^{2}(X)\oplus \mathbb {C} \cdot \mathbb {L} }$له أبعاد${\displaystyle 22}$لكن فئة لفتشيتز${\displaystyle \mathbb {L} }$تم القضاء عليه بواسطة الخريطة

${\displaystyle \gamma _{2}:H^{0}(C)\to H^{2}(X)}$

إرسال${\displaystyle (0,0)}$الفصل الدراسي في${\displaystyle H^{0}(C)}$إلى${\displaystyle (1,1)}$الفصل الدراسي في${\displaystyle H^{2}(X)}$ثم مجموعة التماثل البدائية${\displaystyle H_{\text{prim}}^{2}(X)}$وزن قطعتين${\displaystyle H^{2}(U)}$. لذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Gr}}_{2}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H_{\text{prim}}^{2}(X)\\{\text{Gr}}_{1}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H^{1}(C)\\{\text{Gr}}_{k}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=0&k\neq 1,2\end{aligned}}}$

إن عمليات الترشيح المستحثة على هذه القطع المتدرجة هي عمليات ترشيح هودج القادمة من كل مجموعة تماثل.

• دليل مبسط لنظرية هودج المختلطة
• مقدمة في هياكل هودج المختلطة المحدودة
• بنية هودج المختلطة لديلين للأصناف الإسقاطية ذات نقاط التقاطع العادية فقط

• نموذج محلي من النوع B وهيكل هودج مختلط