رقم ماخ

عدد ماخ ( M أو Ma ) ، وغالبًا ما يُختصر إلى ماخ (/mɑːk / ؛ بالألمانية : [ max ] ) ، هو كمية لا بُعدية في ديناميكا الموائع، يُمثل نسبة سرعة التدفق عبر حدٍّ ما إلى سرعة الصوت المحلية . ^[¹^]^[²^] سُمّيَ على اسم الفيزيائي والفيلسوف النمساوي إرنست ماخ .

$\mathrm {M} ={\frac {u}{c}},$

أين:

M هو رقم ماخ المحلي،
$u$ هي سرعة التدفق المحلية بالنسبة للحدود (سواء كانت داخلية، مثل جسم مغمور في التدفق، أو خارجية، مثل قناة)، و
$c$ هي سرعة الصوت في الوسط، والتي تتغير في الهواء مع الجذر التربيعي لدرجة الحرارة الديناميكية الحرارية .

بحسب التعريف، عند سرعة ماخ 1، تكون سرعة التدفق المحلية $u$ مساوية لسرعة الصوت. عند سرعة ماخ 0.65، تكون $u$ تساوي 65% من سرعة الصوت (دون سرعة الصوت)، وعند سرعة ماخ 1.35، تكون $u$ أسرع بنسبة 35% من سرعة الصوت (فوق سرعة الصوت).

تعتمد سرعة الصوت المحلية، وبالتالي عدد ماخ، على درجة حرارة الغاز المحيط. يُستخدم عدد ماخ بشكل أساسي لتحديد مدى إمكانية اعتبار التدفق تدفقًا غير قابل للانضغاط . يمكن أن يكون الوسط غازًا أو سائلًا. يمكن أن يتحرك الحد الفاصل في الوسط، أو أن يكون ثابتًا بينما يتدفق الوسط على طوله، أو أن يتحرك كلاهما بسرعات مختلفة : المهم هو السرعة النسبية بينهما. يمكن أن يكون الحد الفاصل هو حد جسم مغمور في الوسط، أو حد قناة مثل فوهة أو ناشر أو نفق هوائي يوجه الوسط. بما أن عدد ماخ يُعرَّف بأنه نسبة سرعتين، فهو كمية لا بُعدية. إذا كان عدد ماخ أقل من 0.2-0.3 وكان التدفق شبه مستقر ومتساوي الحرارة ، فإن تأثيرات الانضغاط ستكون ضئيلة، ويمكن استخدام معادلات التدفق غير القابل للانضغاط المبسطة. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

أصل الكلمة

سُمّيَ عدد ماخ نسبةً إلى الفيزيائي والفيلسوف إرنست ماخ ، ^{[ 3 ]} تكريمًا لإنجازاته، وفقًا لاقتراحٍ من مهندس الطيران جاكوب أكيريت عام 1929. ^{[ 4 ]} تُكتب كلمة ماخ دائمًا بحرفٍ كبير لأنها مشتقة من اسم علم، ولأن عدد ماخ كميةٌ لا بُعدية وليست وحدة قياس . ولهذا السبب أيضًا يأتي الرقم بعد كلمة ماخ. وقد عُرف أيضًا باسم عدد ماخ من قِبل شركة لوكهيد عند الإبلاغ عن تأثيرات الانضغاطية على طائرة P-38 عام 1942. ^{[ 5 ]}

ملخص

يُعدّ عدد ماخ مقياسًا لخصائص انضغاطية تدفق الموائع : يتصرف المائع (الهواء) تحت تأثير الانضغاطية بطريقة مماثلة عند عدد ماخ مُحدد، بغض النظر عن المتغيرات الأخرى. ^{[ 6 ]} وفقًا لنموذج الغلاف الجوي القياسي الدولي ، في الهواء الجاف عند مستوى سطح البحر ، ودرجة حرارة قياسية تبلغ 15 درجة مئوية (59 درجة فهرنهايت) ، تبلغ سرعة الصوت 340.3 مترًا في الثانية (1116.5 قدمًا/ثانية؛ 761.23 ميلًا/ساعة ؛ 1225.1 كيلومترًا/ساعة؛ 661.49 عقدة) . ^[⁷^] سرعة الصوت ليست ثابتة؛ ففي الغاز، تزداد طرديًا مع الجذر التربيعي لدرجة الحرارة المطلقة ، وبما أن درجة حرارة الغلاف الجوي تنخفض عمومًا مع ازدياد الارتفاع بين مستوى سطح البحر و 11000 متر (36089 قدمًا) ، فإن سرعة الصوت تنخفض أيضًا. على سبيل المثال، يخفض نموذج الغلاف الجوي القياسي درجة الحرارة إلى -56.5 درجة مئوية (-69.7 درجة فهرنهايت) على ارتفاع 11000 متر (36089 قدمًا) ، مع سرعة صوت مقابلة (ماخ 1) تبلغ 295.0 مترًا في الثانية (967.8 قدمًا/ثانية؛ 659.9 ميلًا في الساعة؛ 1062 كيلومترًا في الساعة؛ 573.4 عقدة) ، أي 86.7% من قيمة مستوى سطح البحر.

الظهور في معادلة الاستمرارية

ينشأ عدد ماخ بشكل طبيعي عند تحويل معادلة الاستمرارية إلى معادلة لا بُعدية للتدفقات القابلة للانضغاط . إذا كانت تغيرات الكثافة مرتبطة بالضغط من خلال العلاقة المتساوية الإنتروبيا $dp=c^{2}\,d\rho$ ، تحتوي معادلة الاستمرارية غير البعدية على عامل مسبق $(u/c)^{2}=M^{2}$ يُظهر هذا أن عدد ماخ يقيس بشكل مباشر أهمية تأثيرات الانضغاطية في التدفق. في الحد $M\to 0$ وبالتالي، تُختزل المعادلة إلى شرط عدم الانضغاط. $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ [ ⁸^]

تصنيف أنظمة ماخ

يُستخدم مصطلحا "دون سرعة الصوت " و "فوق سرعة الصوت" للإشارة إلى السرعات التي تقل عن سرعة الصوت المحلية وتزيد عنها، وإلى نطاقات محددة من قيم ماخ. ويعود ذلك إلى وجود نظام انتقالي حول سرعة الطيران (التيار الحر) عند ماخ = 1، حيث لا تنطبق تقريبات معادلات نافيير-ستوكس المستخدمة في تصميم الطائرات دون سرعة الصوت؛ وأبسط تفسير لذلك هو أن التدفق حول هيكل الطائرة يبدأ محليًا في تجاوز ماخ = 1، حتى وإن كان عدد ماخ للتيار الحر أقل من هذه القيمة.

في الوقت نفسه، يُستخدم النظام فوق الصوتي عادةً للحديث عن مجموعة أرقام ماخ التي يمكن استخدام النظرية الخطية لها، حيث على سبيل المثال لا يتفاعل تدفق الهواء كيميائيًا، وحيث يمكن إهمال انتقال الحرارة بين الهواء والمركبة بشكل معقول في الحسابات.

النظام	سرعة الطيران					الخصائص العامة للطائرة
النظام	(ماش)	(عقد)	(ميل/ساعة)	(كم/س)	(آنسة)	الخصائص العامة للطائرة
دون سرعة الصوت	<0.8	<530	<609	<980	<273	غالباً ما تكون طائرات توربينية تجارية تعمل بالمراوح ذات نسبة عرض إلى طول عالية (نحيفة)، وميزات مستديرة مثل الأنف والحواف الأمامية. نطاق السرعة دون الصوتية هو نطاق السرعات الذي يكون فيه تدفق الهواء فوق الطائرة أقل من سرعة ماخ 1. رقم ماخ الحرج (M _crit ) هو أدنى رقم ماخ للتيار الحر الذي يصل عنده تدفق الهواء فوق أي جزء من الطائرة إلى سرعة ماخ 1 لأول مرة. لذا فإن نطاق السرعة دون الصوتية يشمل جميع السرعات الأقل من M _crit .
فوق صوتي	0.8–1.2	530–794	609–914	980–1470	273–409	تتميز الطائرات التي تتجاوز سرعة الصوت دائمًا تقريبًا بأجنحة مائلة ، مما يتسبب في تأخير تباعد السحب، وغالبًا ما تتميز بتصميم يلتزم بمبادئ قاعدة ويتكومب للمساحة . نطاق السرعة الانتقالية هو نطاق السرعات الذي يكون فيه تدفق الهواء فوق أجزاء مختلفة من الطائرة بين دون سرعة الصوت وفوق سرعة الصوت. لذا، يُطلق على نظام الطيران من سرعة ماخ الحرجة (Mc _crit) إلى ماخ 1.3 اسم النطاق الانتقالي.
أسرع من الصوت	1.2–5.0	794–3308	915–3806	1470–6126	410–1702	نطاق السرعة فوق الصوتية هو نطاق السرعات الذي يكون فيه تدفق الهواء فوق الطائرة فوق صوتي بالكامل (أكثر من ماخ 1). ولكن تدفق الهواء الذي يصطدم بالحواف الأمامية يكون متباطئًا في البداية، لذا يجب أن تكون سرعة التدفق الحر أكبر بقليل من ماخ 1 لضمان أن يكون التدفق فوق الطائرة فوق صوتي بالكامل. ومن المتعارف عليه أن نطاق السرعة فوق الصوتية يبدأ عند سرعة تدفق حر أكبر من ماخ 1.3. تُظهر الطائرات المصممة للطيران بسرعات تفوق سرعة الصوت اختلافات كبيرة في تصميمها الديناميكي الهوائي نظرًا للاختلافات الجذرية في سلوك التدفقات الهوائية فوق سرعة ماخ 1. ومن الشائع استخدام الحواف الحادة، ومقاطع الجنيح الرقيقة، والسطح الذيلي / الجنيحات الأمامية المتحركة بالكامل . أما الطائرات المقاتلة الحديثة، فتضطر إلى تقديم تنازلات للحفاظ على قدرتها على المناورة عند السرعات المنخفضة.
فرط صوتي	5.0–10.0	3308–6615	3806–7680	6126–12251	1702–3403	تُعدّ الطائرة X-15 ، التي تبلغ سرعتها 6.72 ماخ، واحدة من أسرع الطائرات المأهولة. تتميز بهيكل خارجي من النيكل والتيتانيوم المبرد ، وتكامل عالٍ (بسبب هيمنة تأثيرات التداخل: السلوك غير الخطي يعني أن تراكب نتائج المكونات المنفصلة غير صالح)، وأجنحة صغيرة، مثل تلك الموجودة في طائرة X-51A Waverider التي تبلغ سرعتها 5 ماخ .
سرعة فائقة عالية	10.0–25.0	6615–16537	7680–19031	12251–30626	3403–8508	تُعدّ طائرة ناسا X-43 ، التي تبلغ سرعتها 9.6 ماخ، من أسرع الطائرات. ويُصبح التحكم الحراري أحد الاعتبارات التصميمية الرئيسية. يجب تصميم الهيكل إما للعمل في درجات حرارة عالية، أو حمايته ببلاطات سيليكات خاصة أو ما شابه. كما يُمكن أن يتسبب التدفق المتفاعل كيميائيًا في تآكل هيكل الطائرة، نظرًا لوجود الأكسجين الذري الحر في التدفقات عالية السرعة جدًا. غالبًا ما تُجبر التصاميم فائقة السرعة على اتخاذ أشكال غير انسيابية بسبب ارتفاع درجة الحرارة الديناميكية الهوائية مع انخفاض نصف قطر الانحناء .
سرعات العودة إلى الغلاف الجوي	>25.0	أكثر من 16,537	أكثر من 19,031	أكثر من 30,626	>8508	درع حراري قابل للاحتراق ؛ أجنحة صغيرة أو معدومة؛ شكل غير حاد. يُزعم أن طائرة أفانغارد الروسية تصل سرعتها إلى 27 ماخ.

تدفق عالي السرعة حول الأجسام

يمكن تصنيف الطيران تقريبًا إلى ست فئات:

النظام	دون سرعة الصوت	فوق صوتي	سرعة الصوت	أسرع من الصوت	فرط صوتي	السرعة الفائقة
ماخ	<0.8	0.8–1.2	1.0	1.2–5.0	5.0–10.0	>8.8

عند السرعات فوق الصوتية، يشمل مجال التدفق حول الجسم أجزاءً دون صوتية وفوق صوتية. تبدأ الفترة فوق الصوتية عندما تظهر أولى مناطق التدفق بسرعة ماخ أكبر من 1 حول الجسم. في حالة جناح الطائرة (مثل جناح الطائرة)، يحدث هذا عادةً فوق الجناح. يمكن أن يتباطأ التدفق فوق الصوتي عائدًا إلى سرعة دون صوتية فقط في حالة الصدمة العمودية؛ ويحدث هذا عادةً قبل الحافة الخلفية. (الشكل 1أ)

مع ازدياد السرعة، تتسع منطقة التدفق بسرعة ماخ أكبر من 1 باتجاه الحافتين الأمامية والخلفية. وعند بلوغ سرعة ماخ تساوي 1 وتجاوزها، تصل الصدمة العمودية إلى الحافة الخلفية وتتحول إلى صدمة مائلة ضعيفة: يتباطأ التدفق فوق الصدمة، ولكنه يبقى فوق صوتي. تتشكل صدمة عمودية أمام الجسم، والمنطقة الوحيدة دون الصوتية في مجال التدفق هي منطقة صغيرة حول الحافة الأمامية للجسم. (الشكل 1ب)

(أ)

(ب)

الشكل 1. رقم ماخ في تدفق الهواء فوق الصوتي حول جناح الطائرة؛ M < 1 (أ) و M > 1 (ب).

عندما تتجاوز سرعة الطائرة سرعة الصوت (ماخ 1 )، يتولد فرق ضغط كبير أمامها مباشرةً . ينتشر هذا الفرق المفاجئ في الضغط، والذي يُسمى موجة الصدمة ، للخلف والخارج من الطائرة على شكل مخروط (ما يُعرف بمخروط ماخ ). هذه الموجة هي التي تُسبب دويّ اختراق حاجز الصوت الذي يُسمع عند مرور طائرة سريعة فوق الرأس. لن يسمعه الشخص الموجود داخل الطائرة. كلما زادت السرعة، ضاق المخروط؛ فعند سرعة تتجاوز سرعة الصوت بقليل، يكاد يكون المخروط غير واضح المعالم، بل أقرب إلى سطح مقعر قليلاً.

عند بلوغ سرعة تفوق سرعة الصوت بالكامل، تبدأ الموجة الصدمية باتخاذ شكلها المخروطي، ويكون التدفق إما فوق صوتي تمامًا، أو (في حالة جسم غير حاد)، لا يتبقى سوى مساحة صغيرة جدًا من التدفق دون الصوتي بين مقدمة الجسم والموجة الصدمية التي يُحدثها أمامه. (في حالة جسم حاد، لا يوجد هواء بين المقدمة والموجة الصدمية: تبدأ الموجة الصدمية من المقدمة).

مع ازدياد عدد ماخ، تزداد قوة الموجة الصدمية ويضيق مخروط ماخ تدريجيًا. وعندما يعبر تدفق المائع الموجة الصدمية، تقل سرعته وترتفع درجة حرارته وضغطه وكثافته. وكلما اشتدت الصدمة، زادت التغيرات. وعند أعداد ماخ عالية بما يكفي، ترتفع درجة الحرارة فوق الصدمة لدرجة تبدأ معها عملية تأين وتفكك جزيئات الغاز خلف الموجة الصدمية.

تدفق عالي السرعة في قناة

عندما يصبح التدفق في قناة ما فوق صوتي، يحدث تغيير هام. ينص قانون حفظ معدل تدفق الكتلة على أن تضييق قناة التدفق يزيد من سرعة التدفق (أي أن تضييق القناة يؤدي إلى تدفق هواء أسرع)، وهذا صحيح عند السرعات دون الصوتية. مع ذلك، بمجرد أن يصبح التدفق فوق صوتي، تنعكس العلاقة بين مساحة التدفق والسرعة: فتوسيع القناة يزيد السرعة في الواقع. ^{[ 9 ]}

حساب

عندما تكون سرعة الصوت معروفة، يمكن حساب رقم ماخ الذي تحلق به الطائرة بواسطة $\mathrm {M} ={\frac {u}{c}}$

أين:

M هو رقم ماخ
u هي سرعة الطائرة المتحركة و
c هي سرعة الصوت عند الارتفاع المحدد (أو بالأحرى عند درجة الحرارة المحددة).

وتتغير سرعة الصوت بتغير درجة الحرارة الديناميكية الحرارية كما يلي:

${\begin{aligned}c&={\sqrt {\gamma R_{*}T}}&&R_{*}={\frac {R}{M_{\text{dry air}}}}\\R&=8.31446261815324&&M_{\text{dry air}}\approx 0.0289647\\\gamma &\approx 1.4&&R_{*}\approx 287.055023\\c&\approx 20.046871{\sqrt {T}}&&M\approx {\frac {u}{20.046871{\sqrt {T}}}}\end{aligned}}$

أين:

$\gamma \,$ هي نسبة الحرارة النوعية للغاز عند ضغط ثابت إلى الحرارة عند حجم ثابت (على سبيل المثال 1.4 للهواء الجاف في درجة حرارة الغرفة).
$R_{*}$ هو ثابت الغاز النوعي للهواء الجاف،
$T,$ هي درجة حرارة الهواء الساكنة بالكلفن .

إذا كانت سرعة الصوت غير معروفة، فيمكن تحديد عدد ماخ عن طريق قياس ضغوط الهواء المختلفة (الساكنة والديناميكية) واستخدام الصيغة التالية المشتقة من معادلة برنولي لأعداد ماخ الأقل من 1.0. بافتراض أن الهواء غاز مثالي ، فإن صيغة حساب عدد ماخ في تدفق قابل للانضغاط دون سرعة الصوت هي: ^{[ 10 ]}

$\mathrm {M} ={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right]}}\,$

أين:

يمثل q _c ضغط الصدمة (الضغط الديناميكي)
p هو الضغط الساكن
$\gamma \,$ هي نسبة الحرارة النوعية للغاز عند ضغط ثابت إلى الحرارة عند حجم ثابت (1.4 للهواء).

تُشتق الصيغة المستخدمة لحساب عدد ماخ في التدفق الانضغاطي فوق الصوتي من معادلة رايلي فوق الصوتية لبيتوت:

${\frac {p_{t}}{p}}=\left[{\frac {\gamma +1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\cdot \left[{\frac {\gamma +1}{1-\gamma +2\gamma \,\mathrm {M} ^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}$

حساب رقم ماخ من ضغط أنبوب بيتوت

يُعدّ رقم ماخ دالةً لدرجة الحرارة والسرعة الجوية الحقيقية. ومع ذلك، تعمل أجهزة الطيران في الطائرات باستخدام فرق الضغط لحساب رقم ماخ، وليس درجة الحرارة.

بافتراض أن الهواء غاز مثالي ، فإن الصيغة لحساب عدد ماخ في تدفق قابل للانضغاط دون سرعة الصوت يتم إيجادها من معادلة برنولي لـ M < 1 (أعلاه): ^{[ 10 ]} $\mathrm {M} ={\sqrt {5\left[\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)^{\frac {2}{7}}-1\right]}}\,$

يمكن إيجاد الصيغة لحساب عدد ماخ في تدفق فوق صوتي قابل للانضغاط من معادلة رايلي فوق الصوتية بيتوت (أعلاه) باستخدام معلمات الهواء:

$\mathrm {M} \approx 0.88128485{\sqrt {\left({\frac {q_{c}}{p}}+1\right)\left(1-{\frac {1}{7\,\mathrm {M} ^{2}}}\right)^{2.5}}}$

أين:

يمثل q _c الضغط الديناميكي المقاس خلف الصدمة العادية.

كما هو واضح، يظهر المتغير M على طرفي المعادلة، ولأغراض عملية، يجب استخدام خوارزمية لإيجاد الجذور للحصول على حل عددي (المعادلة هي معادلة سباعية في M² ^، وعلى الرغم من إمكانية حل بعض هذه الجذور بشكل صريح، فإن نظرية أبيل-روفيني تضمن عدم وجود صيغة عامة لجذور هذه كثيرات الحدود). يتم أولاً تحديد ما إذا كانت قيمة M أكبر من 1.0 بحسابها من معادلة السرعة دون الصوتية. إذا كانت قيمة M أكبر من 1.0 عند هذه النقطة، تُستخدم قيمة M من معادلة السرعة دون الصوتية كشرط ابتدائي لتكرار النقطة الثابتة لمعادلة السرعة فوق الصوتية، والذي عادةً ما يتقارب بسرعة كبيرة. ^{[ 10 ]} بدلاً من ذلك، يمكن استخدام طريقة نيوتن .

انظر أيضاً

رقم ماخ الحرج – مفهوم في الديناميكا الهوائية
مقياس ماخ – أداة طيران
رام جيت – محرك نفاث جوي أسرع من الصوت
محرك سكرامجت – محرك نفاث يتم فيه الاحتراق في تدفق هواء أسرع من الصوت
سرعة الصوت – سرعة الموجة الصوتية عبر وسط مرن
السرعة الجوية الحقيقية – سرعة الطائرة بالنسبة لكتلة الهواء التي تحلق عبرها
رتب المقادير (السرعة) – مقارنة بين نطاق واسع من السرعات
مقياس فوجيتا – يُستخدم لتقدير سرعات الرياح ويربط بين مقياس بوفورت ومقياس ماخ

ملحوظات

1 2 يونغ، دونالد ف.؛ مونسون، بروس ر.؛ أوكيشي، ثيودور هـ .؛ هيوبش، ويد و. (21 ديسمبر 2010). مقدمة موجزة في ميكانيكا الموائع ( الطبعة الخامسة). جون وايلي وأولاده. ص 95. ISBN 978-0-470-59679-1. إل سي سي إن 2010038482 . او سي ال سي 667210577 . رأ 24479108 م .
1 2 غريبل، ويليام ب. (19 يناير 2001). ميكانيكا الموائع الهندسية ( الطبعة الأولى). مطبعة سي آر سي . ص 16. ISBN 978-1-56032-733-2. OCLC 1034989004 . OL 9794889M .
↑ "إرنست ماخ" . موسوعة بريتانيكا . 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 يناير 2016 .
^ جاكوب أكيريت: Der Luftwiderstand bei sehr großen Geschwindigkeiten. Schweizerische Bauzeitung 94 (أكتوبر 1929)، الصفحات من 179 إلى 183. أنظر أيضا: ن. روت: جاكوب أكيرت وتاريخ رقم ماخ. المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع 17 (1985)، الصفحات من 1 إلى 9.
↑ بودي، وارن م.، طائرة لوكهيد بي-38 لايتنينغ ، منشورات وايدوينغ ، رقم ISBN 0-9629359-0-5.
↑ نانسي هول (محررة). "رقم ماخ" . ناسا .
↑ كلانسي، إل جيه (1975)، الديناميكا الهوائية، الجدول 1، دار نشر بيتمان، لندن، رقم ISBN 0-273-01120-0
↑ كوندو، بي جيه؛ كوهين، آي إم؛ داولينج، دي آر (2012). ميكانيكا الموائع ( الطبعة الخامسة). دار النشر الأكاديمية. الصفحات 148-149 . ISBN 978-0-12-382100-3.
↑ كوندو، ب.ك.؛ كوهين، إ.م.؛ داولينج، د.ر. (2012). ميكانيكا الموائع (الطبعة الخامسة ). دار النشر الأكاديمية. الصفحات 668-670 . ISBN 978-0-12-382100-3.
1 2 3 أولسون، واين م. (2002). "AFFTC-TIH-99-02، اختبار أداء الطائرات أثناء الطيران " . مركز اختبار الطيران التابع للقوات الجوية، قاعدة إدواردز الجوية، كاليفورنيا: القوات الجوية الأمريكية. مؤرشف في 4 سبتمبر 2011 على موقع Wayback Machine

روابط خارجية

مجموعة أدوات ديناميكيات الغاز : حساب رقم ماخ ومعاملات موجة الصدمة العادية لخلائط الغازات المثالية وغير المثالية.
صفحة ناسا حول حاسبة تفاعلية لرقم ماخ.
حاسبة الغلاف الجوي القياسي ومحول السرعة من نيو بايت

[Young_et_al-1] 1 2 يونغ، دونالد ف.؛ مونسون، بروس ر.؛ أوكيشي، ثيودور هـ .؛ هيوبش، ويد و. (21 ديسمبر 2010). مقدمة موجزة في ميكانيكا الموائع ( الطبعة الخامسة). جون وايلي وأولاده. ص 95. ISBN 978-0-470-59679-1. إل سي سي إن 2010038482 . او سي ال سي 667210577 . رأ 24479108 م .

[Graebel-2] 1 2 غريبل، ويليام ب. (19 يناير 2001). ميكانيكا الموائع الهندسية ( الطبعة الأولى). مطبعة سي آر سي . ص 16. ISBN 978-1-56032-733-2. OCLC 1034989004 . OL 9794889M .

[3] "إرنست ماخ" . موسوعة بريتانيكا . 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 يناير 2016 .

[4] جاكوب أكيريت: Der Luftwiderstand bei sehr großen Geschwindigkeiten. Schweizerische Bauzeitung 94 (أكتوبر 1929)، الصفحات من 179 إلى 183. أنظر أيضا: ن. روت: جاكوب أكيرت وتاريخ رقم ماخ. المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع 17 (1985)، الصفحات من 1 إلى 9.

[5] بودي، وارن م.، طائرة لوكهيد بي-38 لايتنينغ ، منشورات وايدوينغ ، رقم ISBN 0-9629359-0-5.

[NASA-6] نانسي هول (محررة). "رقم ماخ" . ناسا .

[7] كلانسي، إل جيه (1975)، الديناميكا الهوائية، الجدول 1، دار نشر بيتمان، لندن، رقم ISBN 0-273-01120-0

[8] كوندو، بي جيه؛ كوهين، آي إم؛ داولينج، دي آر (2012). ميكانيكا الموائع ( الطبعة الخامسة). دار النشر الأكاديمية. الصفحات 148-149 . ISBN 978-0-12-382100-3.

[9] كوندو، ب.ك.؛ كوهين، إ.م.؛ داولينج، د.ر. (2012). ميكانيكا الموائع (الطبعة الخامسة ). دار النشر الأكاديمية. الصفحات 668-670 . ISBN 978-0-12-382100-3.

[Olson-10] 1 2 3 أولسون، واين م. (2002). "AFFTC-TIH-99-02، اختبار أداء الطائرات أثناء الطيران " . مركز اختبار الطيران التابع للقوات الجوية، قاعدة إدواردز الجوية، كاليفورنيا: القوات الجوية الأمريكية. مؤرشف في 4 سبتمبر 2011 على موقع Wayback Machine

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

8

[ 9 ]

[ 10 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗