معادلات ماديلونج

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء النظرية ، تُعرف معادلات ماديلونغ ، أو معادلات الديناميكا المائية الكمومية ، بأنها صياغة بديلة لمعادلة شرودنغر وضعها إرفين ماديلونغ لجسيم غير نسبي عديم اللف المغزلي، مكتوبة بدلالة متغيرات الديناميكا المائية ، على غرار معادلات نافيير-ستوكس في ديناميكا الموائع . [ 1 ] ويشابه اشتقاق معادلات ماديلونغ صياغة دي برولي-بوم ، التي تمثل معادلة شرودنغر كمعادلة هاميلتون-جاكوبي كمومية . في كلتا الحالتين، لا تُكافئ التفسيرات الهيدروديناميكية معادلة شرودنغر دون إضافة شرط التكميم.

في الآونة الأخيرة، تم توسيع نطاق هذه المعادلة لتشمل الحالة النسبية مع وجود اللف المغزلي، وذلك بإعادة كتابة معادلة ديراك باستخدام متغيرات ديناميكية مائية. في الحالة النسبية، تُعد معادلة هاميلتون-جاكوبي هي معادلة التوجيه أيضًا، [ 2 ] وبالتالي لا حاجة إلى افتراضها.

تاريخ

في خريف عام 1926، أعاد إروين ماديلونغ صياغة معادلة شرودنغر الكمومية في شكل أكثر كلاسيكية وقابلية للتصور، يشبه الديناميكا المائية. [ 3 ] [ 4 ] وكانت ورقته البحثية واحدة من محاولات مبكرة عديدة لاتباع مناهج مختلفة في ميكانيكا الكم، بما في ذلك مناهج لويس دي بروي وإيرل هيس كينارد . [ 5 ] وكانت نظرية دي بروي الأكثر تأثيرًا في نهاية المطاف، وذلك من خلال عمل ديفيد بوم عام 1952 [ 6 ]، والذي يُعرف الآن باسم ميكانيكا بوم .

في عام ١٩٩٤، بيّن تيموثي سي. والستروم أنه يجب إضافة شرط تكميم مخصص إلى معادلات ماديلونغ لإعادة إنتاج عمل شرودنغر. [ ٧ ] وتشابه تحليله مع عمل سابق لتاكيهيكو تاكاباياشي حول التفسير الهيدروديناميكي لميكانيكا بوم. [ ٨ ] ولا تزال الأسس الرياضية لمعادلات ماديلونغ موضوعًا للبحث. [ ٩ ]

المعادلات

معادلات ماديلونغ هي النظير الكمي لمعادلات أويلر :

∂ρم(x،ت)∂ت+∇⋅(ρم(x،ت)v(x،ت))=0،دv(x،ت)دت=∂v(x،ت)∂ت+v(x،ت)⋅∇v(x،ت)=-1م∇(سؤال(x،ت)+V(x،ت))،{\displaystyle {\begin{align}&{\frac {\partial \rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t))=0,\\[4pt]&{\frac {D\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \nabla \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {1}{m}}\nabla (Q(\mathbf {x} ,t)+V(\mathbf {x} ,t)),\end{aligned}}}

أين

  • x{\displaystyle \mathbf {x} }هو متجه الموضع ،
  • v(x،ت){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}تمثل سرعة التدفق ، المعرفة بدلالة طور دالة موجة شرودنغرψ(x،ت){\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}أقل،
  • ρم(x،ت)=مρ(x،ت)=م|ψ(x،ت)|2{\displaystyle \rho _{m}(\mathbf {x} ,t)=m\rho (\mathbf {x} ,t)=m|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}هي كثافة الكتلة ،
  • سؤال=-ℏ22م∇2ρ(x،ت)ρ(x،ت)=-ℏ22م∇2ρم(x،ت)ρم(x،ت){\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}}}هو جهد بوم الكمي ، و
  • V(x،ت){\displaystyle V(\mathbf {x} ,t)}هو الجهد الناتج عن معادلة شرودنغر .

تجيب معادلات ماديلونج على سؤال ما إذا كانv(x،ت){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}يخضع لمعادلات الاستمرارية في الديناميكا المائية، وإذا كان الأمر كذلك، فما الذي يلعب دور موتر الإجهاد ؟ [ 10 ]

تخضع حركة حقل سرعة التدفق على طول أي مسار مغلق لشرط التكميم المساعد.Γ≐∮مv⋅دل=2πنℏ{\textstyle \Gamma \doteq \oint {m\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} }=2\pi n\hbar }لجميع الأعداد الصحيحة n . [ 11 ] [ 12 ] 

الاشتقاق

يبدأ اشتقاق معادلات ماديلونج بالدالة الموجية المكتوبة في شكل قطبي [ 13 ]

ψ(x،ت)=R(x،ت)هـأناS(x،ت)/ℏ،{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar },}

أينR(x،ت){\displaystyle R(\mathbf {x} ,t)}، والسعة ، وS(x،ت){\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}إن دالة الفعل ، كلاهما دالتان حقيقيتان و

ρ(x،ت)=ψ(x،ت)*ψ(x،ت)=R2(x،ت)،{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\psi (\mathbf {x} ,t)^{*}\psi (\mathbf {x} ,t)=R^{2}(\mathbf {x} ,t),}

هي دالة الكثافة الاحتمالية المرتبطة بها. [ 14 ] وباستبدال الشكل القطبي للدالة الموجية في تعريف تيار الاحتمالية، نحصل على

ج=ℏ2مأنا(ψ*∇ψ-ψ∇ψ*)=1مρ(x،ت)∇S(x،ت)=ρ(x،ت)v(x،ت)،{\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2mi}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {1}{m}}\rho (\mathbf {x} ,t)\nabla S(\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t),}

حيث تُعبّر سرعة سائل الاحتمالية عن نفسها كما يلي

v(x،ت)=1م∇S(x،ت).{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\nabla S(\mathbf {x} ,t).}

تفسيرv(x،ت){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}لا ينبغي أخذ مصطلح "السرعة" حرفيًا، لأن القياس الدقيق والمتزامن للموقع والزخم (المعبر عنه كدالة لـv(x،ت){\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}سيؤدي ذلك إلى انتهاك مبدأ عدم اليقين . [ 15 ]

بعد ذلك، عن طريق استبدال الصيغة القطبية في معادلة شرودنغر

أناℏ∂ψ(x،ت)∂ت=V(x،ت)ψ(x،ت)-ℏ22م∇2ψ(x،ت)،{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=V(\mathbf {x} ,t)\psi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {x} ,t),}

بإجراء عمليات التفاضل المناسبة، قسمة المعادلة علىهـأناS(x،ت)/ℏ{\displaystyle e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }}وبفصل الأجزاء الحقيقية والخيالية، نحصل على نظام من معادلتين تفاضليتين جزئيتين مترابطتين (PDEs):

∂R(x،ت)∂ت+1م∇R(x،ت)⋅∇S(x،ت)+12مR(x،ت)ΔS(x،ت)=0،∂S(x،ت)∂ت+12م[∇S(x،ت)]2+V(x،ت)=ℏ22مΔR(x،ت)R(x،ت).{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial R(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\nabla R(\mathbf {x} ,t)\cdot \nabla S(\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{2m}}R(\mathbf {x} ,t)\Delta S(\mathbf {x} ,t)=0,\\&{\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\frac {1}{2m}}\left[\nabla S(\mathbf {x} ,t)\right]^{2}+V(\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}.\end{aligned}}}

يمكن تفسير المعادلة التفاضلية الجزئية الأولى، التي تُقابل الجزء التخيلي من معادلة شرودنغر، على أنها معادلة الاستمرارية . أما المعادلة التفاضلية الجزئية الثانية، التي تُقابل الجزء الحقيقي من معادلة شرودنغر، فتُعرف أيضًا باسم معادلة هاميلتون-جاكوبي الكمومية . [ 16 ] بضرب معادلة الاستمرارية في2R{\displaystyle 2R}ويؤدي حساب تدرج معادلة هاميلتون-جاكوبي الكمومية إلى معادلات ماديلونغ

∂ρ(x،ت)∂ت+∇⋅[ρ(x،ت)v(x،ت)]=0،دv(x،ت)دت=∂v(x،ت)∂ت+[v(x،ت)⋅∇]v(x،ت)=-1م∇[V(x،ت)-ℏ22مΔρ(x،ت)ρ(x،ت)]=-1م∇[V(x،ت)+سؤال(x،ت)]،{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\rho (\mathbf {x} ,t)v(\mathbf {x} ,t)\right]=0,\\&{\frac {D\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \nabla \right]\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {1}{m}}\nabla \left[V(\mathbf {x} ,t)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}\right]=-{\frac {1}{m}}\nabla \left[V(\mathbf {x} ,t)+Q(\mathbf {x} ,t)\right],\end{aligned}}}

مع الكمون الكمومي

سؤال(x،ت)=-ℏ22مΔρ(x،ت)ρ(x،ت).{\displaystyle Q(\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}}.}

وبالمثل، يمكن كتابة معادلة هاميلتون-جاكوبي الكمومية أيضاً في شكل مشابه لمعادلة كوشي للزخم :

دv(x،ت)دت=و(x،ت)-1ρ(x،ت)∇⋅صسؤال(x،ت)،{\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}{Dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)-{\frac {1}{\rho (\mathbf {x} ,t)}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}(\mathbf {x} ,t),}

مع قوة خارجية تُعرَّف على النحو التالي:

و(x،ت)=-1م∇V(x،ت)،{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {1}{m}}\nabla V(\mathbf {x} ,t),}

وموتر الضغط الكمي [ 17 ]

صسؤال(x،ت)=-ℏ24م2ρم(x،ت)∇⊗∇ln⁡ρم(x،ت).{\displaystyle \mathbf {p} _{Q}(\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m^{2}}}\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}(\mathbf {x} ,t).}

تتناسب الطاقة التكاملية المخزنة في موتر الضغط الكمومي مع معلومات فيشر ، التي تُعنى بجودة القياسات. وبالتالي، وفقًا لحدود كرامر-راو ، فإن مبدأ عدم اليقين يُكافئ متباينة قياسية لكفاءة القياسات . [ 18 ] [ 19 ]

الطاقات الكمومية

التعريف الديناميكي الحراري للكمون الكيميائي الكمي

μ(x،ت)=سؤال(x،ت)+V(x،ت)=ح^ρم(x،ت)ρم(x،ت){\displaystyle \mu (\mathbf {x} ,t)=Q(\mathbf {x} ,t)+V(\mathbf {x} ,t)={\frac {{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}}{\sqrt {\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}}}

ويترتب على ذلك توازن القوى الهيدروستاتيكية أعلاه:

∇μ(x،ت)=م∇⋅صسؤال(x،ت)ρم(x،ت)+∇V(x،ت).{\displaystyle \nabla \mu (\mathbf {x} ,t)={\frac {m\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}(\mathbf {x} ,t)}{\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}+\nabla V(\mathbf {x} ,t).}

وفقًا للديناميكا الحرارية، يكون الجهد الكيميائي ثابتًا في كل مكان عند الاتزان، وهو ما يتوافق مباشرةً مع معادلة شرودنغر الثابتة. لذا، فإن القيم الذاتية لمعادلة شرودنغر هي طاقات حرة، تختلف عن الطاقات الداخلية للنظام. تُحسب الطاقة الداخلية للجسيم على النحو التالي:

ε(x،ت)=μ(x،ت)-tr⁡(صسؤال(x،ت))مρم(x،ت)=-ℏ28م(∇ln⁡ρم(x،ت))2+يو(x،ت)،{\displaystyle \varepsilon (\mathbf {x} ,t)=\mu (\mathbf {x} ,t)-\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q}(\mathbf {x} ,t)){\frac {m}{\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{8m}}(\nabla \ln \rho _{m}(\mathbf {x} ,t))^{2}+U(\mathbf {x} ,t),}

ويرتبط ذلك بتصحيح فون فايتسكر لنظرية الكثافة الوظيفية. [ 20 ] [ 21 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ شونبيرج 1954 ، ص 103.
  2. ↑ فابري، لوكا (2025). "بنية ماديلونغ لمعادلة ديراك". مجلة الفيزياء أ: الرياضيات النظرية . 58 : 195301. arXiv : 2505.05861 . doi : 10.1088/1751-8121/add2b0 .
  3. ↑ ماديلونج 1926 .
  4. ↑ ماديلونج 1927 .
  5. ^ كراج وكارازا 2000 ، ص. 52.
  6. ^ كراج وكارازا 2000 ، ص. 53.
  7. ↑ والستروم، تيموثي سي. (1994). "عدم التكافؤ بين معادلة شرودنغر ومعادلات ماديلونغ الهيدروديناميكية" . مجلة Physical Review A. 49 ( 3): 1613–1617 . doi : 10.1103/PhysRevA.49.1613 .
  8. ↑ تاكاباياشي، تاكيهيكو (1952). "حول صياغة ميكانيكا الكم المرتبطة بالصور الكلاسيكية*" . التقدم في الفيزياء النظرية . 8 (2): 143-182 . doi : 10.1143/ptp/8.2.143 . ISSN 0033-068X . 
  9. ↑ ريديجر، مايك؛ بوارييه، بيل (2023). "نحو نظرية رياضية لمعادلات ماديلونج: شرط تكميم تاكاباياسي، شبه الدوران الكمومي، الصيغ الضعيفة، وظاهرة والستروم". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية . 56 (19): 193001. arXiv : 2207.11367 . doi : 10.1088/1751-8121/acc7db . ISSN 1751-8113 . 
  10. ^ بيالينيكي-بيرولا، سييبلاك وكامينسكي 1992 ، ص. 88.
  11. ^ بيالينيكي-بيرولا، سييبلاك وكامينسكي 1992 ، ص 90-91.
  12. ↑ وايت 2005 ، §13.5.
  13. ^ بيالينيكي-بيرولا، سييبلاك وكامينسكي 1992 ، ص 88-89.
  14. ↑ وايت 2005 ، §2.2.
  15. ^ ساكوراي ونابوليتانو 2020 ، ص. 95.
  16. ↑ وايت 2005 ، ص 48.
  17. ↑ تسيكوف 2011 .
  18. ↑ ريجيناتو 1998 .
  19. ↑ هيفيتز وكوهين 2015 .
  20. ↑ فون فايتسكر 1935 .
  21. ↑ تسيكوف 2009 .

مراجع

  • بيالينيكي-بيرولا، آيوو؛ سيبلاك، ماريك؛ كامينسكي، جيرزي (1992). نظرية الكوانتا . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، الولايات المتحدة الأمريكية. رقم ISBN 0-19-507157-3.
  • هايفيتز، إيال؛ كوهين، إلياهو (2015). "نحو وصفٍ شبيهٍ بالديناميكا الحرارية المائية لمعادلة شرودنغر عبر صيغة ماديلونغ ومعلومات فيشر". أسس الفيزياء . 45 (11): 1514-1525 . arXiv : 1501.00944 . doi : 10.1007/s10701-015-9926-1 . ISSN 0015-9018 . 
  • كراغ، هيلج؛ كارازا، برونو (2000). "السلوك الكلاسيكي للأجسام العيانية من منظور مبادئ الكم: مناقشات مبكرة". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 55 (1): 43-56 . doi : 10.1007/s004070000018 . ISSN 0003-9519 . 
  • ماديلونج، إي. (1926). "Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger". يموت Naturwissenschaften (في المانيا). 14 (45): 1004-1004 . دوى : 10.1007 / BF01504657 . ISSN 0028-1042 . 
  • ماديلونج، إي. (1927). “Quantentheorie في شكل هيدروديناميكي”. Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 40 ( 3– 4): 322– 326. دوى : 10.1007/BF01400372 . ردمك 1434-6001 . 
  • ريجيناتو، مارسيل (1998-09-01). "اشتقاق معادلات ميكانيكا الكم غير النسبية باستخدام مبدأ الحد الأدنى من معلومات فيشر". مجلة Physical Review A. 58 ( 3): 1775–1778 . doi : 10.1103/PhysRevA.58.1775 . ISSN 1050-2947 . 
  • ساكوراي، جيه جيه؛ نابوليتانو، جيم (2020). ميكانيكا الكم الحديثة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-108-47322-4.
  • شونبيرغ، م. (1954). "حول النموذج الهيدروديناميكي لميكانيكا الكم". Il Nuovo Cimento . 12 (1): 103–133 . doi : 10.1007/BF02820368 . ISSN 0029-6341 . 
  • تسيكوف ، رومين (2011). “الانتشار الكمي”. سيناريو الفيزياء . 83 (3). أرخايف : 1001.1071 . دوى : 10.1088/0031-8949/83/03/035004 . ISSN 0031-8949 . 
  • تسيكوف، رومين (2009). "نظرية الكثافة الوظيفية المعتمدة على الزمن والمبددة للطاقة". المجلة الدولية للفيزياء النظرية . 48 (9): 2660-2664 . arXiv : 0903.3644 . doi : 10.1007/s10773-009-0054-6 . ISSN 0020-7748 . 
  • فون فايتسكر، كارل ف. (1935). "Zur Theorie der Kernmassen". Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 96 ( 7 – 8): 431 – 58. دوى : 10.1007 / bf01337700 . ISSN 0044-3328 . 
  • وايت، روبرت إي. (2005). الديناميكا الكمومية مع المسارات . نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 0-387-22964-7.