احتمال التيار

في ميكانيكا الكم غير النسبية، يتم تعريف تيار الاحتمال j للدالة الموجية Ψ لجسيم كتلته m في بُعد واحد على النحو التالي ^{[ 2 ].}$${\displaystyle j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},}$$ أين

• ${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل ؛
• ${\displaystyle \Psi ^{*}}$يشير إلى المرافق المركب للدالة الموجية ؛
• ${\displaystyle \Re }$يشير إلى الجزء الحقيقي ؛
• ${\displaystyle \Im }$يشير إلى الجزء التخيلي .

لاحظ أن التيار الاحتمالي يتناسب مع محدد فرونسكي${\displaystyle W(\Psi ,\Psi ^{*}).}$

في ثلاثة أبعاد، يمكن تعميم ذلك إلى $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla {i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,}$$ أين${\displaystyle \nabla }$يرمز إلى عامل التدرج أو عامل دلتا . ويمكن تبسيط ذلك بدلالة عامل الزخم الحركي . $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$ للحصول على $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi +\Psi \left(\mathbf {\hat {p}} \Psi \right)^{*}\right)\,.}$$

تستخدم هذه التعريفات أساس الموضع (أي دالة الموجة في فضاء الموضع )، ولكن فضاء الزخم ممكن أيضًا. في الواقع، يمكن كتابة مؤثر تيار الاحتمال على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {\hat {p}} |\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |+|\mathbf {r} \rangle \langle \mathbf {r} |\mathbf {\hat {p}} }{2m}}}$

والتي لا تعتمد على اختيار أساس معين. وبالتالي، فإن احتمال التيار هو القيمة المتوقعة لهذا المؤثر.

${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\langle \Psi (t)|{\hat {\mathbf {j} }}(\mathbf {r} )|\Psi (t)\rangle .}$

ينبغي تعديل التعريف أعلاه لنظام في مجال كهرومغناطيسي خارجي . في وحدات النظام الدولي للوحدات ، تتضمن الجسيمات المشحونة ذات الكتلة m والشحنة الكهربائية q حدًا ناتجًا عن التفاعل مع المجال الكهرومغناطيسي؛ ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$ حيث A = A ( r , t ) هو متجه الجهد المغناطيسي . للمصطلح qA أبعاد الزخم. لاحظ أن${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$يُستخدم هنا الزخم الكنسي وهو ليس ثابتًا بالنسبة للمقياس ، على عكس مؤثر الزخم الحركي${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$.

بوحدات غاوس : $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]}$$ حيث c هي سرعة الضوء .

إذا كان للجسيم دوران مغزلي ، فإنه يمتلك عزمًا مغناطيسيًا مقابلًا ، لذلك يلزم إضافة مصطلح إضافي يتضمن تفاعل الدوران المغزلي مع المجال الكهرومغناطيسي.

وفقًا لدورة لاندو-ليفشيتز في الفيزياء النظرية، فإن كثافة التيار الكهربائي بوحدات غاوسية: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

وبالوحدات الدولية:$${\displaystyle \mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

وبالتالي فإن تيار الاحتمال (الكثافة) يكون بوحدات النظام الدولي للوحدات:$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$$

حيث S هو متجه الدوران للجسيم مع عزم الدوران المغناطيسي المقابل μ _S وعدد الكم الدوراني s .

من المشكوك فيه أن تكون هذه الصيغة صالحة للجسيمات ذات البنية الداخلية. النيوترون له شحنة صفرية ولكن له عزم مغناطيسي غير صفري، لذا${\displaystyle {\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}}$سيكون ذلك مستحيلاً (باستثناء${\displaystyle \nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )}$(وستكون القيمة صفرًا في هذه الحالة أيضًا). بالنسبة للجسيمات المركبة ذات الشحنة غير الصفرية - مثل البروتون الذي له عدد كمي مغزلي s=1/2 و μ _S = 2.7927· μ _N أو الديوتريوم (نواة H-2) الذي له s=1 و μ _S =0.8574·μ _N ^{[ 5 ]} - فإن ذلك ممكن رياضيًا ولكنه مشكوك فيه.

يمكن استخدام تعريف تيار الاحتمال ومعادلة شرودنغر لاشتقاق معادلة الاستمرارية ، والتي لها نفس الأشكال تمامًا مثل تلك ^الخاصة بالهيدروديناميكا والكهرومغناطيسية . [ ^{6 ]}

بالنسبة لدالة موجية معينة Ψ ، لنفترض ما يلي:

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$لتكن دالة كثافة الاحتمال (الاحتمال لكل وحدة حجم، * تشير إلى المرافق المركب ). إذن،

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\psi ^{*}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}\left[\left(\nabla ^{2}\psi \right)\psi ^{*}-\psi \left(\nabla ^{2}\psi ^{*}\right)\right]\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\end{aligned}}}$$

حيث V هو أي حجم و S هو حدود V.

هذا هو قانون حفظ الاحتمالات في ميكانيكا الكم. ويُصاغ الشكل التكاملي على النحو التالي:

$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0}$$أين$${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$هو التيار الاحتمالي أو التدفق الاحتمالي (التدفق لكل وحدة مساحة).

هنا، بمساواة الحدود داخل التكامل نحصل على معادلة الاستمرارية للاحتمالية:$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$ويمكن أيضًا إعادة صياغة المعادلة التكاملية باستخدام نظرية التباعد على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$.

على وجه الخصوص، إذا كانت Ψ دالة موجية تصف جسيمًا واحدًا، فإن التكامل في الحد الأول من المعادلة السابقة، دون مشتقته الزمنية، يمثل احتمال الحصول على قيمة داخل الحجم V عند قياس موضع الجسيم. أما الحد الثاني فيمثل معدل تدفق الاحتمال خارج الحجم V. وبشكل عام ، تنص المعادلة على أن المشتقة الزمنية لاحتمال قياس الجسيم في V تساوي معدل تدفق الاحتمال إلى V.

بأخذ نهاية التكامل الحجمي لتشمل جميع مناطق الفضاء، فإن دالة موجية منتظمة تؤول إلى الصفر عند اللانهاية في حد التكامل السطحي تعني أن المشتق الزمني للاحتمالية الكلية يساوي صفرًا، أي أن شرط التوحيد محفوظ. ^{[ 7 ]} تتفق هذه النتيجة مع الطبيعة الوحدوية لمؤثرات التطور الزمني التي تحافظ على طول المتجه بحكم التعريف.

ينشأ التيار الاحتمالي (4-) من نظرية نوثر عند تطبيقها على كثافة لاغرانج كلاين -غوردون.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{*}\,\partial ^{\mu }\phi +V(\phi ^{*}\,\phi )}$$ من الحقل القياسي المعقد$\phi$ :\mathbb {R} ^{n+1}\mapsto \mathbb {C} . هذا ثابت تحت تحويل التناظر$${\displaystyle \phi \mapsto \phi '=\phi \,e^{i\alpha }\,.}$$ تعريف$\delta \phi =\phi '-\phi$نجد تيار نوثر $${\displaystyle j^{\mu }:={\frac {d{\mathcal {L}}}{d{\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}={\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu }\phi )}}\,{\frac {d(\delta \phi )}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}+{\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu }\phi ^{*})}}\,{\frac {d(\delta \phi ^{*})}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}=i\,\phi \,(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-i\,\phi ^{*}\,(\partial ^{\mu }\phi )}$$وهو ما يحقق معادلة الاستمرارية. هنا${\displaystyle \mathbf {Q} _{r}}$هو مولد التناظر، وهو${\displaystyle {\frac {d(\delta \mathbf {q} )}{d\alpha _{r}}}}$في حالة وجود مُعامل واحد${\displaystyle \alpha }$.

معادلة الاستمرارية${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$يتحقق الشرط. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن نظير دالة كثافة الاحتمال لا يتحقق الآن.${\displaystyle \phi \phi ^{*}}$بل بالأحرى${\displaystyle \phi ^{*}\partial _{t}\phi -\phi \partial _{t}\phi ^{*}}$وبما أن هذه الكمية يمكن أن تكون سالبة الآن، فيجب علينا تفسيرها على أنها كثافة شحنة، مع كثافة تيار مرتبطة بها وتيار 4 .

في المناطق التي يحدث فيها جهد متدرج أو حاجز جهد ، يرتبط تيار الاحتمال بمعاملات النقل والانعكاس، T و R على التوالي ؛ وهما يقيسان مدى انعكاس الجسيمات عن حاجز الجهد أو نفاذها من خلاله. وكلاهما يحقق ما يلي: $${\displaystyle T+R=1\,,}$$ حيث يمكن تعريف T و R على النحو التالي:$${\displaystyle T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,}$$ حيث تمثل j _{_inc} و j_{_ref} و j _{_trans} تيارات الاحتمالية الساقطة والمنعكسة والمنتقلة على التوالي، وتشير الخطوط الرأسية إلى مقادير متجهات التيار. ويمكن استنتاج العلاقة بين T و R من قانون حفظ الاحتمالية.$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.}$$

من حيث متجه الوحدة n العمودي على الحاجز، فإن هذه مكافئة لما يلي: $${\displaystyle T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,}$$ حيث تكون القيم المطلقة مطلوبة لمنع أن تكون قيم T و R سالبة.

بالنسبة لموجة مستوية تنتشر في الفضاء: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}}$$ كثافة الاحتمال ثابتة في كل مكان؛ $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0}$$ (أي أن الموجات المستوية هي حالات مستقرة ) لكن تيار الاحتمالية غير صفري - مربع السعة المطلقة للموجة مضروبًا في سرعة الجسيم؛ $${\displaystyle \mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v} }$$

مما يوضح أن الجسيم قد يكون في حالة حركة حتى لو لم يكن لكثافة احتمالية مكانه اعتماد زمني صريح.

بالنسبة لجزيء في صندوق ، في بُعد مكاني واحد وطوله L ، محصور في المنطقة${\displaystyle 0<x<L}$، حالات الطاقة الذاتية هي $${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$$ وصفر في أي مكان آخر. تيارات الاحتمال المرتبطة بها هي $${\displaystyle j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$$ منذ$${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$$