مبدأ عدم اليقين

يمكن تصور مبدأ عدم اليقين باستخدام الدوال الموجية في فضاء الموضع والزخم لجسيم واحد عديم الدوران ذو كتلة في بُعد واحد.

كلما كانت دالة الموجة في فضاء الموضع أكثر تركيزًا، زاد احتمال وجود الجسيم بإحداثيات موضعية ضمن تلك المنطقة، وبالمقابل، تكون دالة الموجة في فضاء الزخم أقل تركيزًا، مما يجعل مركبات الزخم المحتملة للجسيم أكثر انتشارًا. وعلى العكس، كلما كانت دالة الموجة في فضاء الزخم أكثر تركيزًا، زاد احتمال وجود الجسيم بتلك القيم لمركبات الزخم ضمن تلك المنطقة، وبالمقابل، تكون دالة الموجة في فضاء الموضع أقل تركيزًا، مما يجعل الإحداثيات الموضعية التي يمكن أن يشغلها الجسيم أكثر انتشارًا. هاتان الدالتان الموجيتان هما تحويلان فورييه لبعضهما البعض: رياضيًا، يعبر مبدأ عدم اليقين عن العلاقة بين المتغيرات المترافقة في التحويل.

الموجة المستوية

حزمة الموجات

انتشار موجات دي برولي في بُعد واحد - الجزء الحقيقي من السعة المركبة باللون الأزرق، والجزء التخيلي باللون الأخضر. احتمال وجود الجسيم عند نقطة معينة x (مُعبَّر عنه بشفافية اللون) ينتشر كشكل الموجة، فلا يوجد موقع محدد للجسيم. عندما تزداد السعة فوق الصفر، ينعكس اتجاه الانحناء ، فتبدأ السعة بالتناقص مجددًا، والعكس صحيح - والنتيجة هي سعة متناوبة: موجة.

وفقًا لفرضية دي برولي ، يرتبط كل جسم في الكون بموجة . وبالتالي، فإن كل جسم، بدءًا من الجسيمات الأولية وصولًا إلى الذرات والجزيئات والكواكب وما وراءها، يخضع لمبدأ عدم اليقين.

الدالة الموجية غير المعتمدة على الزمن لموجة مستوية أحادية النمط ذات عدد موجي k ₀ أو زخم p ₀ هي ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

تنص قاعدة بورن على أنه ينبغي تفسير ذلك على أنه دالة سعة كثافة احتمالية، بمعنى أن احتمال وجود الجسيم بين a و b هو $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

في حالة الموجة المستوية أحادية النمط،${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$يساوي 1 إذا${\displaystyle X=x}$وصفر فيما عدا ذلك. بعبارة أخرى، يكون موقع الجسيم غير مؤكد للغاية بمعنى أنه يمكن أن يكون في أي مكان على طول حزمة الموجة.

من ناحية أخرى، لنفترض دالة موجية هي مجموع العديد من الموجات ، والتي يمكننا كتابتها على النحو التالي: $${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$ حيث يُمثل A _{_n} المساهمة النسبية للنمط p_{_n} في المجموع الكلي. تُظهر الأشكال على اليمين كيف يُمكن أن تُصبح حزمة الموجات أكثر تركيزًا بإضافة العديد من الموجات المستوية. يُمكننا المضي قدمًا في هذا إلى حد الاستمرارية ، حيث تكون دالة الموجة عبارة عن تكامل على جميع الأنماط الممكنة. $${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$ مع${\displaystyle \varphi (p)}$تمثل هذه الدالة سعة هذه الأنماط وتسمى دالة الموجة في فضاء الزخم . رياضياً، نقول إن${\displaystyle \varphi (p)}$هو تحويل فورييه لـ${\displaystyle \psi (x)}$وأن x و p متغيران مترافقان . إن جمع كل هذه الموجات المستوية له ثمن، وهو أن الزخم أصبح أقل دقة، حيث أصبح مزيجًا من موجات ذات زخمات مختلفة. ^{[ 12 ]}

إحدى طرق قياس دقة الموقع والزخم هي الانحراف المعياري σ . ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$إذا كانت دالة كثافة الاحتمال للموقع، فإننا نحسب انحرافها المعياري.

تتحسن دقة تحديد الموقع، أي تقل قيمة σx _، باستخدام العديد من الموجات المستوية، مما يُضعف دقة تحديد الزخم، أي يزيد قيمة σp _. وبعبارة أخرى، فإن _σx و σp تربطهما علاقة عكسية _، أو على الأقل تكونان محدودتين من الأسفل. هذا هو مبدأ عدم اليقين، وحدّه الدقيق هو حد كينارد.

نحن مهتمون بتغيرات الموضع والزخم، والتي تُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

دون الإخلال بعمومية الحل ، سنفترض أن المتوسطات تتلاشى، وهو ما يُعادل ببساطة تغيير نقطة الأصل في إحداثياتنا. (يُقدَّم أدناه برهانٌ أكثر عمومية لا يعتمد على هذا الافتراض). وهذا يُعطينا الشكل الأبسط. $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

الوظيفة${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$يمكن تفسيرها كمتجه في فضاء الدوال . يمكننا تعريف الضرب الداخلي لزوج من الدوال u ( x ) و v ( x ) في هذا الفضاء المتجهي: $${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$ حيث تشير العلامة النجمية إلى المرافق المركب .

بعد تعريف هذا المنتج الداخلي، نلاحظ أن تباين الموضع يمكن كتابته على النحو التالي: $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

يمكننا تكرار ذلك بالنسبة للزخم من خلال تفسير الدالة${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$كمتجه، ولكن يمكننا أيضًا الاستفادة من حقيقة أن${\displaystyle \psi (x)}$و${\displaystyle \varphi (p)}$هي تحويلات فورييه لبعضها البعض. نقوم بحساب تحويل فورييه العكسي من خلال التكامل بالتجزئة : $${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$في التكامل بالتجزئة، يختفي الحد الملغى لأن الدالة الموجية تتلاشى عند اللانهاية و${\displaystyle |e^{-ip\chi /\hbar }|=1}$ثم استخدم دالة ديراك دلتا ، وهي دالة صالحة لأن${\displaystyle {\dfrac {d\psi (\chi )}{d\chi }}}$لا يعتمد على p .

على المدى${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$يُطلق عليه اسم مؤثر الزخم في فضاء الموضع. بتطبيق نظرية بلانشيريل ، نرى أن تباين الزخم يمكن كتابته على النحو التالي: $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

تؤكد متباينة كوشي -شفارتز على أن$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

يمكن التعبير عن مربع القيمة المطلقة لأي عدد مركب z على النحو التالي:$${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$ لقد سمحنا${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$و${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$ثم استبدل هذه القيم في المعادلة أعلاه لتحصل على $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

كل ما تبقى هو تقييم هذه المنتجات الداخلية.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$

وبإدخال هذا في المتباينات أعلاه، نحصل على $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$ وأخذ الجذر التربيعي $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان p و x مرتبطين خطيًا. لاحظ أن الفيزياء الوحيدة المستخدمة في هذا البرهان هي أن${\displaystyle \psi (x)}$و${\displaystyle \varphi (p)}$هي دوال موجية للموضع والزخم، وهي تحويلات فورييه لبعضها البعض. وينطبق الأمر نفسه على أي زوج من المتغيرات المترافقة.

في ميكانيكا المصفوفات، تُمثَّل الكميات القابلة للرصد، مثل الموضع والزخم، بمؤثرات ذاتية الترافق. ^{[ 12 ]} عند دراسة أزواج من الكميات القابلة للرصد، يُعد المُبدِّل كميةً مهمة . بالنسبة لزوج من المؤثرات Â و${\displaystyle {\hat {B}}}$يُعرّف المرء مُبدِّلهم على النحو التالي: $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ في حالة الموضع والزخم، يكون المبدل هو علاقة التبادل المتعارف عليها$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

يمكن فهم المعنى الفيزيائي لعدم التبادلية من خلال النظر في تأثير المبدل على حالات الموضع والزخم الذاتية . لنفترض${\displaystyle |\psi \rangle }$ليكن حالة ذاتية يمنى للموضع بقيمة ذاتية ثابتة x _0. وهذا يعني، بحسب التعريف، أن${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$تطبيق المبدل على${\displaystyle |\psi \rangle }$العائد $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$ حيث Î هو عامل الهوية .

لنفترض، بغرض البرهان بالتناقض ، أن${\displaystyle |\psi \rangle }$وهي أيضًا حالة ذاتية يمنى للزخم، ذات قيمة ذاتية ثابتة p _0. إذا كان هذا صحيحًا، فيمكن كتابة $${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$ من ناحية أخرى، تتطلب علاقة التبادل الأساسية المذكورة أعلاه أن $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$ وهذا يعني أنه لا يمكن لأي حالة كمومية أن تكون في نفس الوقت حالة ذاتية للموضع وحالة ذاتية للزخم.

عند قياس حالة ما، تُسقط على حالة ذاتية في أساس الكمية القابلة للرصد ذات الصلة. على سبيل المثال، إذا تم قياس موضع جسيم، فإن الحالة تُصبح حالة ذاتية للموضع. هذا يعني أن الحالة ليست حالة ذاتية للزخم، بل يمكن تمثيلها كمجموع حالات ذاتية متعددة لأساس الزخم. بعبارة أخرى، يجب أن يكون الزخم أقل دقة. يمكن تحديد هذه الدقة من خلال الانحرافات المعيارية. $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$$${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

كما هو الحال في تفسير ميكانيكا الموجة أعلاه، يرى المرء مقايضة بين الدقة النسبية للاثنين، والتي يتم تحديدها كمياً بواسطة مبدأ عدم اليقين.

لنفترض وجود مذبذب توافقي كمومي أحادي البعد . من الممكن التعبير عن مؤثرات الموضع والزخم بدلالة مؤثرات الإنشاء والإفناء : $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$$${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

باستخدام القواعد القياسية لعوامل الإنشاء والإفناء على حالات الطاقة الذاتية، $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$$${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$ يمكن حساب التباينات مباشرة، $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$ ثم يكون حاصل ضرب هذه الانحرافات المعيارية هو $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

على وجه الخصوص، فإن حد كينارد المذكور أعلاه ^{[ 6 ]} مشبع للحالة الأرضية n = 0 ، والتي تكون كثافة الاحتمال فيها هي التوزيع الطبيعي .

كثافات احتمالية الموضع (باللون الأزرق) والزخم (باللون الأحمر) لتوزيع غاوسي أولي. من الأعلى إلى الأسفل، تُظهر الرسوم المتحركة الحالات Ω = ω ، وΩ = 2ω ، و Ω = ω /2 . لاحظ المفاضلة بين عرضي التوزيعات.

في مذبذب توافقي كمومي ذي تردد زاوي مميز ω ، ضع حالةً مُزاحةً عن قاع الجهد بمقدار إزاحة x ₀ كما يلي: $${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$ حيث يصف Ω عرض الحالة الابتدائية، ولكنه ليس بالضرورة مساويًا لـ ω . من خلال التكامل على المُوَصِّل ، يمكننا إيجاد الحل الكامل المعتمد على الزمن . بعد العديد من عمليات الحذف، تختزل كثافات الاحتمال إلى $${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$$${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$ حيث استخدمنا الترميز${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$للدلالة على التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ وتباين σ² ^، وبنسخ التباينات المذكورة أعلاه وتطبيق المتطابقات المثلثية ، يمكننا كتابة حاصل ضرب الانحرافات المعيارية على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

من العلاقات $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$ يمكننا استنتاج ما يلي (المساواة الموجودة في أقصى اليمين لا تتحقق إلا عندما Ω = ω ): $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

الحالة المتماسكة هي حالة ذاتية يمنى لمؤثر الإفناء ، $${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$ والتي يمكن تمثيلها بدلالة حالات فوك على النحو التالي: $${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

في الصورة التي تكون فيها الحالة المتماسكة عبارة عن جسيم ضخم في مذبذب توافقي كمي، يمكن التعبير عن عوامل الموضع والزخم بدلالة عوامل الإفناء في نفس الصيغ المذكورة أعلاه واستخدامها لحساب التباينات. $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$ لذلك، فإن كل حالة متماسكة تشبع حد كينارد $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$ حيث يساهم كل من الموقع والزخم بمقدار معين${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$بطريقة "متوازنة". علاوة على ذلك، فإن كل حالة متماسكة مضغوطة تصل إلى حد كينارد، على الرغم من أن المساهمات الفردية للموقع والزخم لا يلزم أن تكون متوازنة بشكل عام.

لنفترض وجود جسيم في صندوق أحادي البعد طوله${\displaystyle L}$الدوال الذاتية في فضاء الموضع وفضاء الزخم هي $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$ و $${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$ أين${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$وقد استخدمنا علاقة دي برولي${\displaystyle p=\hbar k}$تباينات${\displaystyle x}$و${\displaystyle p}$يمكن حسابها بشكل صريح: $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

وبالتالي فإن حاصل ضرب الانحرافات المعيارية هو $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$ للجميع${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$الكمية${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$تكون القيمة أكبر من 1، لذا لا يتم انتهاك مبدأ عدم اليقين أبدًا. أما بالنسبة للتحديد العددي، فتكون أصغر قيمة عندما${\displaystyle n=1}$وفي هذه الحالة $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

لنفترض أن جسيمًا ما يمتلك في البداية دالة موجية في فضاء الزخم موصوفة بتوزيع طبيعي حول زخم ثابت p ₀ وفقًا لـ $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$ حيث قمنا بتقديم مقياس مرجعي${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$، مع${\displaystyle \omega _{0}>0}$يصف عرض التوزيع - انظر إلى اللابعدية . إذا سُمح للحالة بالتطور في الفضاء الحر، فإن دوال الموجة في فضاء الزخم والموضع المعتمدة على الزمن هي $${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$$${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

منذ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$و${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$يمكن تفسير ذلك على أنه جسيم يتحرك بزخم ثابت وبدقة عالية للغاية. من ناحية أخرى، فإن الانحراف المعياري للموضع هو $${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$ بحيث لا يمكن أن يزداد ناتج عدم اليقين إلا مع مرور الوقت $${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

في صياغة فضاء الطور لميكانيكا الكم، تنشأ علاقة روبرتسون-شرودنغر من شرط إيجابية دالة حقيقية مربعة نجمية. بالنظر إلى دالة ويغنر${\displaystyle W(x,p)}$مع حاصل الضرب النجمي ★ ودالة f ، يكون ما يلي صحيحًا بشكل عام: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

اختيار${\displaystyle f=a+bx+cp}$، نصل إلى $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

بما أن شرط الإيجابية هذا صحيح لجميع قيم a و b و c ، فإنه يترتب على ذلك أن جميع القيم الذاتية للمصفوفة غير سالبة.

وبالتالي، فإن القيم الذاتية غير السالبة تستلزم شرطًا مماثلًا لعدم سلبية المحدد . $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$ أو، بشكل صريح، بعد المعالجة الجبرية، $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

بما أن علاقات روبرتسون وشرودنغر خاصة بالمؤثرات العامة، فإنه يمكن تطبيقها على أي متغيرين قابلين للرصد للحصول على علاقات عدم يقين محددة. وفيما يلي بعض العلاقات الأكثر شيوعًا في المراجع العلمية.

• علاقة عدم اليقين بين الموضع والزخم الخطي : بالنسبة لمؤثري الموضع والزخم الخطي، علاقة التبادل الأساسية${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$وهذا يستلزم متباينة كينارد المذكورة أعلاه:$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• علاقة عدم اليقين في الزخم الزاوي : بالنسبة لمكونين متعامدين لمؤثر الزخم الزاوي الكلي لجسم ما:$${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$حيث i و j و k قيم مختلفة، و J _{_i} يرمز إلى الزخم الزاوي على طول المحور x_{_i} . تشير هذه العلاقة إلى أنه ما لم تتلاشى جميع المكونات الثلاثة معًا، فلا يمكن تحديد سوى مكون واحد من الزخم الزاوي للنظام بدقة اختيارية، وعادةً ما يكون هذا المكون موازيًا للمجال الخارجي (المغناطيسي أو الكهربائي). علاوة على ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$، خيار${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$،${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$في مضاعفات الزخم الزاوي، ψ = | j , m ⟩، يحد ثابت كازيمير (مربع الزخم الزاوي،${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$) من الأسفل وبالتالي ينتج قيودًا مفيدة مثل j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) ، وبالتالي j ≥ m ، من بين أمور أخرى.

• بالنسبة لعدد الإلكترونات في الموصل الفائق وطور معامل الترتيب جينزبورغ-لانداو الخاص به ^{[ 22 ] [ 23 ]}$${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

اشتقاق متباينة روبرتسون للمؤثرات${\displaystyle {\hat {A}}}$و${\displaystyle {\hat {B}}}$يتطلب${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$و${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$سيتم تحديدها. توجد أنظمة كمومية لا تنطبق عليها هذه الشروط. ^{[ 24 ]} أحد الأمثلة على ذلك هو جسيم كمومي على حلقة ، حيث تعتمد الدالة الموجية على متغير زاوي.${\displaystyle \theta }$في الفترة${\displaystyle [0,2\pi ]}$عرّف مُعاملات "الموقع" و"الزخم".${\displaystyle {\hat {A}}}$و${\displaystyle {\hat {B}}}$بواسطة $${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$ و $${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$ مع شروط حدودية دورية على${\displaystyle {\hat {B}}}$تعريف${\displaystyle {\hat {A}}}$يعتمد على${\displaystyle \theta }$يتراوح من 0 إلى${\displaystyle 2\pi }$تُحقق هذه المؤثرات علاقات التبادل المعتادة لمؤثرات الموضع والزخم.${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$وبشكل أدق،${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$عندما يكون كلاهما${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$و${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$يتم تعريفها، وفضاء هذه${\displaystyle \psi }$هي فضاء فرعي كثيف من فضاء هيلبرت الكمومي. ^{[ 11 ]}

والآن لنبدأ${\displaystyle \psi }$لتكن أي من الحالات الذاتية لـ${\displaystyle {\hat {B}}}$والتي يتم الحصول عليها بواسطة${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$هذه الحالات قابلة للتطبيع، على عكس الحالات الذاتية لمؤثر الزخم على الخط. وكذلك المؤثر${\displaystyle {\hat {A}}}$محدودة، لأن${\displaystyle \theta }$تتراوح على فترة زمنية محدودة. وبالتالي، في الحالة${\displaystyle \psi }$عدم اليقين بشأن${\displaystyle B}$يساوي صفرًا، وعدم اليقين في${\displaystyle A}$محدودة، بحيث $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$ لا ينطبق مبدأ روبرتسون للشك في هذه الحالة:${\displaystyle \psi }$ليس ضمن نطاق اختصاص المشغل${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$، لأن الضرب في${\displaystyle \theta }$يُخلّ بشروط الحدود الدورية المفروضة على${\displaystyle {\hat {B}}}$[ ^{11 ]​}

بالنسبة لمؤثرات الموضع والزخم المعتادة${\displaystyle {\hat {X}}}$و${\displaystyle {\hat {P}}}$على خط الأعداد الحقيقية، لا يمكن أن تحدث مثل هذه الأمثلة المضادة. طالما أن${\displaystyle \sigma _{x}}$و${\displaystyle \sigma _{p}}$يتم تعريفها في الولاية${\displaystyle \psi }$يبقى مبدأ هايزنبرغ للشك قائماً، حتى لو${\displaystyle \psi }$لا يندرج ضمن نطاق${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$أو من${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$[ ^{11 ]​}

يمكن تحسين عدم اليقين في نموذج روبرتسون-شرودنغر مع ملاحظة أنه يجب أن ينطبق على جميع المكونات.${\displaystyle \varrho _{k}}$في أي تحليل لمصفوفة الكثافة المعطاة على النحو التالي $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$ هنا، بالنسبة للاحتمالات${\displaystyle p_{k}\geq 0}$و${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$انتظر. ثم، باستخدام العلاقة $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$ ل${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$ويترتب على ذلك ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ حيث يتم تعريف الدالة في الحد $${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$ غالبًا ما يكون للعلاقة المذكورة أعلاه حدٌّ أكبر من حدّ علاقة عدم اليقين الأصلية لروبرتسون-شرودنغر. لذا، نحتاج إلى حساب حدّ عدم اليقين لروبرتسون-شرودنغر للمكونات المختلطة للحالة الكمومية بدلًا من الحالة الكمومية نفسها، ثم حساب متوسط ​​جذورها التربيعية. والصيغة التالية أقوى من علاقة عدم اليقين لروبرتسون-شرودنغر. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ حيث يوجد على الجانب الأيمن سقف مقعر فوق تحليلات مصفوفة الكثافة. العلاقة المحسّنة أعلاه مشبعة بجميع الحالات الكمومية أحادية الكيوبت. ^{[ 25 ]}