إعادة تشكيل الموتر

أول تماثل في فضاء المتجهات في القائمة أعلاه،${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$، يُعطي تمثيل الإحداثيات لموتر مجرد. افترض أن كلًا من${\displaystyle M}$فضاءات المتجهات${\displaystyle V_{m}}$له أساس${\displaystyle \{v_{1}^{m},v_{2}^{m},\ldots ,v_{I_{m}}^{m}\}}$يكون التعبير عن الموتر بالنسبة لهذا الأساس على الشكل التالي$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}v_{i_{1}}^{1}\otimes v_{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes v_{i_{M}}^{M},}$$حيث المعاملات${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}$هي عناصر من${\displaystyle F}$التمثيل الإحداثي لـ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يكون$${\displaystyle \sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}\mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M},}$$أين${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{m}}$هو${\displaystyle i^{\text{th}}}$متجه الأساس القياسي لـ${\displaystyle F^{I_{m}}}$يمكن اعتبار هذا بمثابة مصفوفة متعددة الأبعاد عناصرها هي المعاملات${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}$.

لأي تبديل${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}$يوجد تماثل قانوني بين حاصل ضرب الموترين للفضاءات المتجهة${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{M}}$و${\displaystyle V_{\pi (1)}\otimes V_{\pi (2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (M)}}$عادةً ما يتم حذف الأقواس من هذه المنتجات بسبب التماثل الطبيعي بين${\displaystyle V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$و${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}}$ولكن يمكن، بالطبع، إعادة طرحها للتأكيد على مجموعة معينة من العوامل. في هذه المجموعة، $${\displaystyle (V_{\pi (1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{1})})\otimes (V_{\pi (r_{1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{2})})\otimes \cdots \otimes (V_{\pi (r_{L-1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{L})}),}$$ هناك${\displaystyle L}$مجموعات مع${\displaystyle r_{l}-r_{l-1}}$العوامل في${\displaystyle l^{\text{th}}}$المجموعة (حيث${\displaystyle r_{0}=0}$و${\displaystyle r_{L}=M}$).

تأجير${\displaystyle S_{l}=(\pi (r_{l-1}+1),\pi (r_{l-1}+2),\ldots ,\pi (r_{l}))}$لكل${\displaystyle l}$مُرضٍ${\displaystyle 1\leq l\leq L}$، أن${\displaystyle (S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}$- تسطيح الموتر${\displaystyle {\mathcal {A}}}$، المشار إليه${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}}$يتم الحصول على ذلك من خلال تطبيق العمليتين المذكورتين أعلاه داخل كل من${\displaystyle L}$مجموعات من العوامل. أي التمثيل الإحداثي لـ${\displaystyle l^{\text{th}}}$يتم الحصول على مجموعة العوامل باستخدام التشاكل${\displaystyle (V_{\pi (r_{l-1}+1)}\otimes V_{\pi (r_{l-1}+2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{l})})\simeq (F^{I_{\pi (r_{l-1}+1)}}\otimes F^{I_{\pi (r_{l-1}+2)}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi (r_{l})}})}$، الأمر الذي يتطلب تحديد قواعد لجميع فضاءات المتجهات${\displaystyle V_{k}}$ثم يتم تحويل النتيجة إلى متجه باستخدام دالة تقابلية.${\displaystyle \mu _{l}:[I_{\pi (r_{l-1}+1)}]\times [I_{\pi (r_{l-1}+2)}]\times \cdots \times [I_{\pi (r_{l})}]\to [I_{S_{l}}]}$للحصول على عنصر من${\displaystyle F^{I_{S_{l}}}}$، أين${\textstyle I_{S_{l}}:=\prod _{i=r_{l-1}+1}^{r_{l}}I_{\pi (i)}}$، ناتج أبعاد الفضاءات المتجهة في${\displaystyle l^{\text{th}}}$مجموعة من العوامل. نتيجة تطبيق هذه التشاكلات داخل كل مجموعة من العوامل هي عنصر من${\displaystyle F^{I_{S_{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{S_{L}}}}$، وهو موتر من الرتبة${\displaystyle L}$.

بواسطة خريطة تقابلية${\displaystyle \mu$ :[I_{1}]\times \cdots \times [I_{M}]\to [I_{1}\cdots I_{M}]} ، وهو تماثل في الفضاء المتجهي بين${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$و${\displaystyle F^{I_{1}\cdots I_{M}}}$يتم إنشاؤها عبر عملية الربط${\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{m}}^{m}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M}\mapsto \mathbf {e} _{\mu (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M})},}$حيث لكل عدد طبيعي${\displaystyle i}$بحيث${\displaystyle 1\leq i\leq I_{1}\cdots I_{M}}$، المتجه${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$يشير إلى متجه الأساس القياسي رقم i لـ${\displaystyle F^{i_{1}\cdots i_{M}}}$في عملية إعادة التشكيل هذه، يُفسَّر الموتر ببساطة على أنه متجه في${\displaystyle F^{I_{1}\cdots I_{M}}}$يُعرف هذا باسم التحويل إلى متجه ، وهو مماثل لتحويل المصفوفات إلى متجه . وهو خيار قياسي للتقابل.${\displaystyle \mu }$بحيث

$${\displaystyle \operatorname {vec} ({\mathcal {A}})={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},1,\ldots ,1}&a_{1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}^{T},}$$

وهذا يتوافق مع الطريقة التي يُعيد بها عامل النقطتين في Matlab و GNU Octave تشكيل موتر من رتبة أعلى إلى متجه. بشكل عام، فإن تحويل الموتر إلى متجه هو عملية تحويل الموتر إلى متجه.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هو المتجه${\displaystyle [a_{\mu ^{-1}(i)}]_{i=1}^{I_{1}\cdots I_{M}}}$.

تحويل إلى متجه${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يُشار إليه بـ${\displaystyle vec({\mathcal {A}})}$أو${\displaystyle {\mathcal {A}}_{[:]}}$هو${\displaystyle [S_{1},S_{2}]}$-إعادة تشكيل حيث${\displaystyle S_{1}=(1,2,\ldots ,M)}$و${\displaystyle S_{2}=\emptyset }$.

يترك${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$ليكن تمثيل الإحداثيات لموتر مجرد بالنسبة إلى أساس. مصفوفة الوضع- م (المعروفة أيضًا باسم التسطيح ) لـ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هو${\displaystyle [S_{1},S_{2}]}$-إعادة التشكيل التي${\displaystyle S_{1}=(m)}$و${\displaystyle S_{2}=(1,2,\ldots ,m-1,m+1,\ldots ,M)}$عادةً ما يُرمز إلى عملية تحويل المصفوفات القياسية بـ

$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}={\mathcal {A}}_{[S_{1},S_{2}]}}$$

يُطلق على عملية إعادة التشكيل هذه أحيانًا اسم "التحويل إلى مصفوفة " أو " التسطيح" أو "الفرد" في الأدبيات. وهو خيار قياسي للتقابلات.${\displaystyle \mu _{1},\ \mu _{2}}$وهو الذي يتوافق مع دالة إعادة التشكيل في Matlab و GNU Octave، أي

$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}:={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},1,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\a_{1,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},2,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},I_{m},I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}}$$

تعريف الوضع - المصفوفة m : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle [{\mathbf {A} }_{[m]}]_{jk}=a_{i_{1}\dots i_{m}\dots i_{M}},\;\;{\text{ where }}j=i_{m}{\text{ and }}k=1+\sum _{n=0 \atop n\neq m}^{M}(i_{n}-1)\prod _{l=0 \atop l\neq m}^{n-1}I_{l}.}$$ مصفوفة الوضع m للموتر${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}\times ...I_{M}},}$تُعرَّف بأنها المصفوفة${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}\in F^{I_{m}\times (I_{1}\dots I_{m-1}I_{m+1}\dots I_{M})}}$كما يشير الترتيب بين قوسين، يتم ترتيب متجهات العمود للنمط m عن طريق مسح جميع مؤشرات النمط الأخرى عبر نطاقاتها، حيث تتغير مؤشرات النمط الأصغر بشكل أسرع من المؤشرات الأكبر؛ وبالتالي