منتج كرونيكر

يُعدّ جداء كرونكر حالة خاصة من جداء الموتر ، لذا فهو ثنائي الخطية وتجميعي :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\otimes \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),\\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

بشكل عام، المصفوفتان A ⊗ B و B ⊗ A مختلفتان. ومع ذلك، فإن A ⊗ B و B ⊗ A متكافئتان تبديليًا، مما يعني أنه توجد مصفوفتا تبديل P و Q بحيث ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\,\mathbf {Q} .}$

إذا كان A و B مربعين، فإن A ⊗ B و B ⊗ A متشابهان في التبديل الزوجي ، مما يعني أنه يمكننا أن نأخذ P = Q ^T.

المصفوفتان P و Q هما مصفوفتا تبديل مثاليتان، تُسميان مصفوفة "التبديل". ^{[ 6 ]} يمكن إنشاء مصفوفة التبديل S _{p , q}  عن طريق أخذ شرائح من مصفوفة الوحدة I _r ، حيث${\displaystyle r=pq}$.

${\displaystyle \mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r}(2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}}$

يُستخدم ترميز النقطتين في MATLAB هنا للإشارة إلى المصفوفات الفرعية، و I _r هي مصفوفة الوحدة من الرتبة r × r . إذا${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}$و${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}$، ثم

${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {S} _{n_{1},n_{2}}^{\textsf {T}}}$

إذا كانت A و B و C و D مصفوفات من هذا الحجم بحيث يمكن للمرء تكوين حاصل ضرب المصفوفات AC و BD ، فإن ^{[ 7 ]}

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ).}$

يُطلق على هذا اسم خاصية المنتج المختلط ، لأنه يمزج بين منتج المصفوفة العادي ومنتج كرونكر.

ونتيجة مباشرة لذلك (مرة أخرى، مع الأخذ في الاعتبار${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}$و${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}$)

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I} _{m_{1}}\otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{n_{2}})=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m_{2}})(\mathbf {I} _{n_{1}}\otimes \mathbf {B} ).}$

وبالتحديد، باستخدام خاصية النقل من الأسفل، فهذا يعني أنه إذا

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U} }$

وإذا كان Q و U متعامدين (أو وحدويين )، فإن A يكون متعامدًا أيضًا (أو وحدويًا).

يمكن كتابة حاصل ضرب المصفوفة والمتجه المختلط لكرونكر على النحو التالي:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {V} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} \mathbf {V} \mathbf {A} ^{T})}$

${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {V} )}$

${\displaystyle \mathbf {V} }$

لو${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {C} }$هي مصفوفات مربعة ذات بُعد${\displaystyle m}$، و${\displaystyle \mathbf {B} }$و${\displaystyle \mathbf {D} }$هي مصفوفات مربعة ذات بُعد${\displaystyle n}$ثم المبدل

${\displaystyle [\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ,\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} ]=[\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]\otimes (\mathbf {B} \mathbf {D} )+(\mathbf {C} \mathbf {A} )\otimes [\mathbf {B} ,\mathbf {D} ]}$،

أو

${\displaystyle [\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ,\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} ]=[\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]\otimes (\mathbf {D} \mathbf {B} )+(\mathbf {A} \mathbf {C} )\otimes [\mathbf {B} ,\mathbf {D} ]}$.

تنطبق خاصية الضرب المختلط أيضًا على الضرب العنصري. إذا كانت A و C مصفوفتين من نفس الحجم، و B و D مصفوفتين من نفس الحجم، فإن ^{[ 7 ]}

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).}$

يستنتج من ذلك أن A ⊗ B قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت كل من A و B قابلة للعكس، وفي هذه الحالة يُعطى المعكوس بواسطة

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}$

تنطبق خاصية الضرب العكسي على المعكوس الزائف لمور-بنروز أيضًا، ^{[ 7 ] [ 8 ]} أي

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.}$

بلغة نظرية الفئات ، تُظهر خاصية الضرب المختلط لضرب كرونكر (وضرب الموتر الأكثر عمومية) أن فئة Mat _F للمصفوفات على حقل F هي في الواقع فئة أحادية ، حيث تكون عناصرها أعدادًا طبيعية n ، والتشاكلات n → m هي مصفوفات n × m ذات عناصر في F ، ويتم إعطاء التركيب عن طريق ضرب المصفوفات، وأسهم الوحدة هي ببساطة مصفوفات وحدة n × n ، _ويتم إعطاء ضرب الموتر بواسطة ضرب كرونكر. ^{[ 9 ]}

يكون التبديل والتبديل المترافق توزيعيين على ناتج كرونكر:

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$و${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\otimes \mathbf {B} ^{*}.}$

لتكن A مصفوفة من الرتبة n × n ولتكن B مصفوفة من الرتبة m × m .

${\displaystyle \left|\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right|=\left|\mathbf {A} \right|^{m}\left|\mathbf {B} \right|^{n}.}$

إذا كانت A مصفوفة من الرتبة n × n ، وB مصفوفة من الرتبة m × m ، و I _{_k} مصفوفة الوحدة من الرتبة k × k ، فيمكننا تعريف ما يُسمى أحيانًا بمجموع كرونكر ، ⊕ ، كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {A} \,{\overline {\oplus }}\,\mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

يختلف هذا عن الجمع المباشر لمصفوفتين. ترتبط هذه العملية بضرب الموتر على جبر لي ، كما هو موضح بالتفصيل أدناه ( الخصائص المجردة ) في النقطة "العلاقة بضرب الموتر المجرد ".

لدينا الصيغة التالية للدالة الأسية للمصفوفة ، وهي مفيدة في بعض التقييمات العددية. ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \exp({\mathbf {N} \,{\overline {\oplus }}\,\mathbf {M} })=\exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M} )}$

تظهر مجاميع كرونكر بشكل طبيعي في الفيزياء عند النظر في مجموعات من الأنظمة غير المتفاعلة .

إذا كان H r  هو الهاميلتوني للنظام رقم r من هذا النوع، فإن الهاميلتوني الكلي للمجموعة هو

${\displaystyle H_{\operatorname {Tot} }={\overline {\bigoplus _{r}}}H^{r}.}$

يترك${\displaystyle A}$كن${\displaystyle m\times n}$المصفوفة و${\displaystyle B}$أ${\displaystyle p\times q}$المصفوفة. عند تبديل ترتيب ضرب كرونكر والتحويل إلى متجه، يمكن ربط العمليتين خطيًا من خلال دالة تتضمن مصفوفة التبديل .${\displaystyle K_{qm}}$. إنه،${\displaystyle \operatorname {vec} (\operatorname {Kron} (A,B))}$و${\displaystyle \operatorname {Kron} (\operatorname {vec} A,\operatorname {vec} B)}$تربطها العلاقة التالية:

${\displaystyle \operatorname {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes K_{qm}\otimes I_{p})(\operatorname {vec} A\otimes \operatorname {vec} B).}$

علاوة على ذلك، يمكن إعادة ترتيب العلاقة المذكورة أعلاه بدلالة إما${\displaystyle \operatorname {vec} A}$أو${\displaystyle \operatorname {vec} B}$على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes G)\operatorname {vec} A=(H\otimes I_{p})\operatorname {vec} B,}$

أين

${\displaystyle G=(K_{qm}\otimes I_{p})(I_{m}\otimes \operatorname {vec} B){\text{ and }}H=(I_{n}\otimes K_{qm})(\operatorname {vec} A\otimes I_{q}).}$

لنفترض أن A و B مصفوفتان مربعتان من الرتبة n و m على التوالي. ولتكن λ₁ , ..., λₙ القيم الذاتية للمصفوفة A _، و μ₁ _{, ...} , μₘ القيم الذاتية للمصفوفة B (مرتبة حسب التكرار ). عندئذٍ، _تكون القيم الذاتية للمصفوفة A ⊗ B هي

${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m.}$

وبناءً على ذلك، فإن أثر ومحدد جداء كرونكر يُعطيان بالعلاقة التالية

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\text{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{m}(\det \mathbf {B} )^{n}.}$

إذا كانت A و B مصفوفتين مستطيلتين، فيمكننا النظر في قيمهما المفردة . لنفترض أن A لها r قيمة مفردة غير صفرية، وهي _:

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}$

وبالمثل، نرمز إلى القيم المفردة غير الصفرية لـ B بـ

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

إذن، فإن حاصل ضرب كرونكر A ⊗ B له r _A r _B قيم مفردة غير صفرية، وهي

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

بما أن رتبة المصفوفة تساوي عدد القيم المفردة غير الصفرية، فإننا نجد أن

${\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}$

يتوافق حاصل ضرب كرونكر للمصفوفات مع حاصل الضرب الموتر المجرد للخرائط الخطية. _على وجه التحديد، إذا كانت الفضاءات المتجهة V و W و X و Y لها قواعد { v₁ _, ..., vₘ } و { w₁ _, ..., wₙ } _و { x₁ , _... , xₘ } و { y₁ , ..., _{yₑ }} على التوالي ، وإذا _كانت المصفوفتان A و B تمثلان التحويلين الخطيين S  : V → X و T  : W → Y على التوالي في القواعد المناسبة، فإن المصفوفة A ⊗ B تمثل حاصل الضرب الموتري للخريطتين S ⊗ T  : V ⊗ W → X ⊗ Y بالنسبة للقاعدة { v₁ ⊗ w₁ , _v₁ ⊗ w₂ , ... , v₂ _⊗ w₁ _, ... , _vₘ ⊗ wₙ _} للفضاء V ⊗ W _{والقاعدة} المعرفة بشكل مماثل للفضاء X ⊗ Y _، بحيث تكون A ⊗ B ( vᵢ ) _{= ∑ᵢᵢ} ⊗ w _j ) = ( Av _i ) ⊗ ( Bw _j ) ، حيث i و j عددان صحيحان في النطاق المناسب. ^{[ 11 ]}