انتشار يحافظ على المتوسط

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف الانتشار الحافظ للمتوسط ​​( MPS ) ^{[ 1 ]} بأنه تغيير من توزيع احتمالي A إلى توزيع احتمالي B، حيث يتشكل B من خلال توزيع جزء أو أكثر من دالة كثافة الاحتمال أو دالة كتلة الاحتمال للتوزيع A مع الحفاظ على المتوسط ​​( القيمة المتوقعة ) دون تغيير. وبذلك، يوفر مفهوم الانتشار الحافظ للمتوسط ​​ترتيبًا عشوائيًا للمقامرات ذات المتوسط ​​المتساوي (التوزيعات الاحتمالية) وفقًا لدرجة المخاطرة ؛ وهذا الترتيب جزئي ، بمعنى أنه من بين مقامرتين متساويتين في المتوسط، ليس بالضرورة أن يكون أي منهما انتشارًا حافظًا للمتوسط ​​للآخر. ويُقال إن التوزيع A هو انكماش حافظ للمتوسط ​​للتوزيع B إذا كان B انتشارًا حافظًا للمتوسط ​​للتوزيع A. 

إن تصنيف المقامرات حسب فروق الأسعار التي تحافظ على المتوسط ​​هو حالة خاصة من تصنيف المقامرات حسب الهيمنة العشوائية من الدرجة الثانية - أي الحالة الخاصة للمتوسطات المتساوية: إذا كان B هو فرق أسعار يحافظ على المتوسط ​​لـ A، فإن A يكون مهيمنًا عشوائيًا من الدرجة الثانية على B؛ والعكس صحيح إذا كان لـ A و B متوسطات متساوية.

إذا كان B هو انتشار يحافظ على المتوسط ​​لـ A، فإن B لديه تباين أعلى من A والقيم المتوقعة لـ A و B متطابقة؛ لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام، لأن التباين هو ترتيب كامل بينما الترتيب حسب الانتشار الذي يحافظ على المتوسط ​​هو ترتيب جزئي فقط.

يُبيّن هذا المثال أن الحفاظ على متوسط ​​التوزيع لا يتطلب بالضرورة ابتعاد كل أو معظم كتلة الاحتمالات عن المتوسط. ^{[ 2 ]} لنفترض أن A لها احتمالات متساوية${\displaystyle 1/100}$في كل نتيجة${\displaystyle x_{Ai}}$، مع${\displaystyle x_{Ai}=198}$ل${\displaystyle i=1,\dots ,50}$و${\displaystyle x_{Ai}=202}$ل${\displaystyle i=51,\dots ,100}$ولتكن احتمالات B متساوية${\displaystyle 1/100}$في كل نتيجة${\displaystyle x_{Bi}}$، مع${\displaystyle x_{B1}=100}$،${\displaystyle x_{Bi}=200}$ل${\displaystyle i=2,\dots ,99}$، و${\displaystyle x_{B100}=300}$هنا، تم إنشاء B من A عن طريق نقل جزء واحد باحتمالية 1% من 198 إلى 100 ونقل 49 جزءًا من الاحتمالية من 198 إلى 200، ثم نقل جزء واحد من الاحتمالية من 202 إلى 300 ونقل 49 جزءًا من الاحتمالية من 202 إلى 200. هذا التسلسل من انتشارين يحافظان على المتوسط ​​هو في حد ذاته انتشار يحافظ على المتوسط، على الرغم من حقيقة أن 98% من كتلة الاحتمالية قد انتقلت إلى المتوسط ​​(200).

يترك${\displaystyle x_{A}}$و${\displaystyle x_{B}}$لتكن المتغيرات العشوائية المرتبطة بالمقامرة A و B. عندئذٍ يكون B انتشارًا يحافظ على المتوسط ​​لـ A إذا وفقط إذا ${\displaystyle x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+z)}$ لبعض المتغيرات العشوائية${\displaystyle z}$تناول${\displaystyle E(z\mid x_{A})=0}$لجميع قيم${\displaystyle x_{A}}$. هنا${\displaystyle {\overset {d}{=}}}$يعني " متساوي في التوزيع مع " (أي "له نفس التوزيع مثل").

يمكن أيضًا تعريف فروق الأسعار التي تحافظ على المتوسط ​​من حيث دوال التوزيع التراكمي${\displaystyle F_{A}}$و${\displaystyle F_{B}}$من A و B. إذا كان لـ A و B متوسطات متساوية، فإن B هو انتشار يحافظ على المتوسط ​​لـ A إذا وفقط إذا كانت المساحة تحت${\displaystyle F_{A}}$من سالب ما لا نهاية إلى${\displaystyle x}$أقل من أو يساوي ما هو تحت${\displaystyle F_{B}}$من سالب ما لا نهاية إلى${\displaystyle x}$لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$، مع وجود تفاوت صارم في بعض${\displaystyle x}$.

كلا التعريفين الرياضيين يكرران تعريفات الهيمنة العشوائية من الدرجة الثانية في حالة تساوي المتوسطات.

إذا كان الخيار B هو توزيع يحافظ على المتوسط ​​للخيار A، فإن الخيار A سيكون مفضلاً لدى جميع من يسعون إلى تعظيم المنفعة المتوقعة ولديهم دالة منفعة مقعرة. وينطبق العكس أيضاً: إذا كان للخيارين A وB متوسطات متساوية، وكان الخيار A مفضلاً لدى جميع من يسعون إلى تعظيم المنفعة المتوقعة ولديهم دالة منفعة مقعرة، فإن الخيار B هو توزيع يحافظ على المتوسط ​​للخيار A.

• الترتيب العشوائي
• المخاطر (الإحصاءات)
• معامل المقياس

• ماس-كوليل، أ .؛ وينستون، م.د.؛ غرين، ج.ر. (1995). نظرية الاقتصاد الجزئي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 197-199 . ISBN  0-19-510268-1– عبر كتب جوجل .