صيغة ميهلر-هاين

في الرياضيات، تصف صيغة ميهلر-هاين، التي وضعها غوستاف فرديناند ميهلر ^{[ 1 ]} وإدوارد هاين ^{[ 2 ]} ، السلوك التقاربي لكثيرات حدود ليجندر عندما يؤول الدليل إلى اللانهاية، بالقرب من حواف نطاق الوزن. وهناك تعميمات لهذه الصيغة لتشمل كثيرات حدود متعامدة كلاسيكية أخرى ، تُعرف أيضًا بصيغة ميهلر-هاين. وتُكمّل هذه الصيغة صيغ داربو التي تصف السلوك التقاربي داخل نطاق الوزن وخارجه.

تنص أبسط حالات صيغة ميهلر-هاين على ما يلي:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }P_{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{2n^{2}}}\right)=J_{0}(z),}$

حيث P _n هي متعددة حدود ليجندر من الدرجة n ، و J ₀ هي دالة بيسل من الدرجة 0. النهاية منتظمة على z في مجال محدود عشوائي في المستوى المركب .

يُقدّم غابور سيغو ^{[ 3 ]} التعميم لكثيرات حدود جاكوبي P ^{( α , β )} _n على النحو التالي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(1-{\frac {z^{2}}{2n^{2}}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z),}$

حيث J _α هي دالة بيسل من الرتبة α .

باستخدام كثيرات حدود لاغير المعممة ودوال فوق الهندسية المتقاربة ، يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z^{2}}{4n}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z),}$

حيث L ^{( α )} _n هي دالة لاغير.

باستخدام الصيغ التي تربط بين كثيرات حدود هيرميت وكثيرات حدود لاغير حيث توجد معادلتان ، ^{[ 4 ]} يمكن كتابتها على النحو التالي

$\begin{aligned}\lim_{n\to \infty}{\frac{(-1)^{n}}{4^{n}n!}}{\sqrt{n}}H_{2n}\left({\frac{z}{2{\sqrt{n}}}}\right)&=\left({\frac{z}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}J_{-{\frac{1}{2}}}(z)\\\lim_{n\to \infty}{\frac{(-1)^{n}}{4^{n}n!}}H_{2n+1}\left({\frac{z}{2{\sqrt{n}}}}\right)&=(2z)^{\frac{1}{2}}J_{\frac{1}{2}}(z),\end{aligned}}}$

حيث H _n هي دالة هيرميت.