المجال (التحليل الرياضي)

في التحليل الرياضي ، ^{يُعرَّف} المجال أو المنطقة بأنه مجموعة غير فارغة ، متصلة ، ومفتوحة في فضاء طوبولوجي . وبالتحديد، هو أي مجموعة جزئية مفتوحة متصلة غير فارغة من فضاء الإحداثيات الحقيقي Rⁿ أو فضاء الإحداثيات المركب Cⁿ ^. وتُستخدم المجموعة الجزئية المفتوحة المتصلة من فضاء الإحداثيات بشكل متكرر كمجال لدالة ما . ^{[ 1 ]}

يعود المفهوم الأساسي للمجموعة الفرعية المتصلة في الفضاء إلى القرن التاسع عشر، إلا أن التعريفات الدقيقة تختلف قليلاً من جيل إلى جيل، ومن مؤلف إلى آخر، ومن طبعة إلى أخرى، وذلك نتيجة لتطور المفاهيم وترجمة المصطلحات بين الأعمال الألمانية والفرنسية والإنجليزية. في اللغة الإنجليزية، يستخدم بعض المؤلفين مصطلح " المجال" ^{[ 2 ]} ، بينما يستخدم آخرون مصطلح " المنطقة" ^{[ 3 ]} ، ويستخدم البعض كلا المصطلحين بشكل متبادل ^{[ 4 ]} ، ويُعرّف البعض الآخر المصطلحين بشكل مختلف قليلاً ^{[ 5 ]،} ويتجنب البعض الآخر الغموض بالالتزام بعبارة مثل " مجموعة فرعية مفتوحة متصلة غير فارغة" ^{[ 6 ]} .

من الاصطلاحات الشائعة تعريف المجال بأنه مجموعة مفتوحة متصلة، بينما تُعرَّف المنطقة بأنها اتحاد مجال مع بعض أو كل أو لا شيء من نقاطه الحدية . ^{[ 7 ]} المنطقة المغلقة أو المجال المغلق هو اتحاد مجال مع جميع نقاطه الحدية.

تتطلب خصائص مختلفة للدوال المعرفة على المجال درجات متفاوتة من سلاسة حدوده ، مثل نظريات التكامل ( نظرية غرين ، نظرية ستوكس )، وخصائص فضاءات سوبوليف ، وتعريف المقاييس على الحدود وفضاءات الآثار (الدوال المعممة المعرفة على الحدود). ومن أنواع المجالات الشائعة: المجالات ذات الحدود المتصلة ، والمجالات ذات حدود ليبشيتز ، ^{والمجالات ذات حدود} C1 ، وما إلى ذلك.

المجال المحدود هو مجال محصور داخل كرة ما. وتُعرَّف المنطقة المحدودة بشكل مشابه. أما المجال الخارجي فهو مجال يكون مكمله محدودًا؛ وفي بعض الأحيان تُفرض شروط سلاسة على حدوده.

في التحليل المركب ، يُعرف المجال المركب (أو ببساطة المجال ) بأنه أي مجموعة جزئية مفتوحة متصلة من المستوى المركب C. على سبيل المثال، يُعد المستوى المركب بأكمله مجالًا، وكذلك القرص المفتوح للوحدة ، والنصف العلوي المفتوح للمستوى المركب، وما إلى ذلك. غالبًا ما يُستخدم المجال المركب كمجال تعريف للدالة التحليلية . في دراسة عدة متغيرات مركبة ، يُوسّع تعريف المجال ليشمل أي مجموعة جزئية مفتوحة متصلة من Cⁿ ^.

في الفضاءات الإقليدية ، تعتبر المناطق أحادية وثنائية وثلاثية الأبعاد منحنيات وأسطحًا ومجسمات ، ويطلق على امتدادها ، على التوالي ، الطول والمساحة والحجم .

التعريف : تُسمى المجموعة المفتوحة متصلة إذا لم يكن بالإمكان التعبير عنها كمجموع مجموعتين مفتوحتين. وتُسمى المجموعة المفتوحة المتصلة مجالاً.

الألمانية : Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. تعمل إحدى الهجمات على زيادة التركيز على العمل.

بحسب هانز هان ، ^{[ 8 ]} فقد قدّم قسطنطين كاراثيودوري مفهوم المجال كمجموعة مفتوحة متصلة في كتابه الشهير ( كاراثيودوري، 1918 ) . في هذا التعريف، يعتبر كاراثيودوري المجموعات المنفصلة غير الفارغة بشكل واضح . ويشير هان أيضًا إلى أن كلمة " Gebiet " (" مجال ") كانت تُستخدم أحيانًا كمرادف للمجموعة المفتوحة . [ ^{9 ] أما المفهوم العام فهو أقدم. ففي القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين ،} كان مصطلحا المجال والمنطقة يُستخدمان بشكل غير رسمي (وأحيانًا بشكل متبادل) دون تعريف صريح. [ ^{10 ]}

مع ذلك، استُخدم مصطلح "المجال" أحيانًا للإشارة إلى مفاهيم وثيقة الصلة ولكنها مختلفة قليلاً. على سبيل المثال، في دراساته المؤثرة حول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية ، يستخدم كارلو ميراندا مصطلح "المنطقة" للإشارة إلى مجموعة مفتوحة متصلة، ^{[ 11 ] [ 12 ]} ويحتفظ بمصطلح "المجال" للإشارة إلى مجموعة كاملة متصلة داخليًا، ^{[ 13 ]} حيث تمثل كل نقطة فيها نقطة تراكم لنقاط داخلية، ^{[ 11 ]} وذلك تبعًا لأستاذه السابق ماورو بيكوني : ^{[ 14 ]} ووفقًا لهذا الاصطلاح، إذا كانت المجموعة A منطقة، فإن إغلاقها A هو مجال. ^{[ 11 ]}

• متعدد السطوح التحليلي – مجموعة فرعية من الفضاء المركب ذي الأبعاد n والمحدود بدوال تحليلية 
• مجموعة كاتشوبولي – منطقة ذات حدود ذات قياس محدود 
• الفضاء المتناظر الهرميتي#المجالات الكلاسيكية – متعدد الشعب ذو تناظر انعكاسي 
• الفترة (في الرياضيات) - جميع الأعداد الواقعة بين عددين معطيين 
• نطاق ليبشيتز – نطاق في فضاء إقليدي تكون حدوده منتظمة بدرجة كافية 
• الدعم (الرياضيات) - المدخلات التي تكون قيمة الدالة عندها غير صفرية 
• هندسة وايتهيد الخالية من النقاط – نظرية هندسية قائمة على المناطق 

• أهلفورس، لارس (1953). التحليل المركب . ماكجرو هيل.
• بريمرمان، هـ. ج. (1956). "التحدب المركب" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 82 (1): 17-51 . doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR 1992976 . 
• كاراتيودوري، قسطنطين (1918). Vorlesungen über reelle Funktionen [ محاضرات عن الوظائف الحقيقية ] (باللغة الألمانية). بي جي تيوبنر. جي اف ام 46.0376.12 . السيد 0225940 .  أعيد طبعه عام 1968 (تشيلسي).
• كاراثيودوري، كونستانتين (1964) [1954]. نظرية الدوال لمتغير مركب، المجلد الأول (الطبعة الثانية  ). تشيلسي.الترجمة الإنجليزية لكتاب كاراثيودوري، كونستانتين (1950). نظرية الدوال 1 (بالألمانية). دار بيركهاوزر للنشر.
• كارير، جورج ؛ كروك، ماكس ؛ بيرسون، كارل (1966). دوال المتغير المركب: النظرية والتقنية . ماكجرو هيل.
• تشرشل، رويل (1948). مقدمة في المتغيرات المركبة وتطبيقاتها (  الطبعة الأولى). ماكجرو هيل.تشرشل، رويل (1960). المتغيرات المركبة وتطبيقاتها (  الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ISBN 9780070108530.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• ديودوني ، جان (1960). أسس التحليل الحديث . الصحافة الأكاديمية.
• إيفز، هوارد (1966). دوال المتغير المركب . بريندل، ويبر وشميدت. ص  105.
• فورسيث، أندرو (1893). نظرية الدوال لمتغير مركب . كامبريدج. JFM 25.0652.01 . 
• فوكس، بوريس؛ شابات، بوريس (1964). دوال المتغير المركب وبعض تطبيقاتها، المجلد 1. بيرغامون.الترجمة الإنجليزية لـ فوكس، بوريس؛ شابات ، بوريس (1949). الوظائف المجمعة للتحسينات وبعض التطبيقات (PDF) (بالروسية). الطبيعة.
• جورسات، إدوارد (1905). Cours d'analyse mathématique، المجلد 2 [ دورة في التحليل الرياضي، المجلد. 2 ] (بالفرنسية). غوتييه فيلارز.
• هان ، هانز (1921). وظائف نظرية البكرة. فرقة إرستر [ نظرية الوظائف الحقيقية، المجلد. أنا ] (باللغة الألمانية). سبرينغر. جي اف ام 48.0261.09 . 
• كرانز، ستيفن ؛ باركس، هارولد (1999). هندسة المجالات في الفضاء . بيركهاوزر.
• كريزيج، إروين (1972) [1962]. الرياضيات الهندسية المتقدمة (  الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 9780471507284.
• كوك، يو-كوين (2002). المتغيرات المركبة التطبيقية للعلماء والمهندسين . كامبريدج.
• ميراندا، كارلو (1955). Equazioni alle derivate parziali di Tipo ellittico (باللغة الإيطالية). سبرينغر. السيد 0087853 . زبل 0065.08503 .  ترجمة: ميراندا، كارلو (1970). المعادلات التفاضلية الجزئية من النوع الإهليلجي . ترجمة: موتيلر، زين سي. (الطبعة الثانية ) . سبرينغر. MR 0284700. Zbl 0198.14101 .   
• بيكوني، ماورو (1923). “Parte Prima – La Derivazione” (PDF) . Lezioni di analisi infinitesimale، المجلد. أنا [ دروس في التحليل المتناهي الصغر ] (باللغة الإيطالية). Circolo matematico di Catania. جي اف ام 49.0172.07 . 
• رودين، والتر (1974) [1966]. التحليل الحقيقي والمركب (  الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ISBN 9780070542334.
• سولومينتسيف، يفغيني (2001) [1994]، "المجال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• سفشنيكوف، أليكسي ؛ تيخونوف، أندريه (1978). نظرية الدوال لمتغير مركب . مير.الترجمة الإنجليزية لـ Свеšников, Alexey; تيخونوف ، أندريه (1967). Теолия функций комплексной променной (بالروسية). نيوكا.
• تاونسند، إدغار (1915). دوال المتغير المركب . هولت.
• ويتاكر، إدموند (1902). دورة في التحليل الحديث (  الطبعة الأولى). كامبريدج. JFM 33.0390.01 . ويتكر، إدموند؛ واتسون، جورج (1915). دورة في التحليل الحديث (  الطبعة الثانية). كامبريدج.