كثيرات حدود لاغير
في الرياضيات ، تعد كثيرات حدود لاغير ، التي سميت على اسم إدموند لاغير (1834-1886)، حلولاً غير تافهة لمعادلة لاغير التفاضلية: وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية . لا تمتلك هذه المعادلة حلولاً شاذة إلا إذا كان n عددًا صحيحًا غير سالب.
يُستخدم أحيانًا اسم كثيرات حدود لاغير للإشارة إلى حلول حيث يظل n عددًا صحيحًا غير سالب. ثم تُسمى أيضًا كثيرات حدود لاغير المعممة ، كما سيتم هنا (أو كثيرات حدود لاغير المرتبطة ، أو نادرًا كثيرات حدود سونين ، نسبةً إلى مخترعها [ 1 ] نيكولاي ياكوفليفيتش سونين ).
وبشكل عام، فإن دالة لاغير هي حل عندما لا يكون n بالضرورة عددًا صحيحًا غير سالب.
تُستخدم كثيرات حدود لاغير أيضًا في تكامل غاوس-لاغير لحساب التكاملات العددية من الشكل
تُعرف هذه كثيرات الحدود، والتي يُرمز إليها عادةً بـ L 0 و L 1 و ...، بأنها متتالية من كثيرات الحدود التي يمكن تعريفها بواسطة صيغة رودريغز .
ويختزل إلى الشكل المغلق للقسم التالي.
هي كثيرات حدود متعامدة بالنسبة إلى جداء داخلي
تُشابه كثيرات حدود الرخ في التوافقية إلى حد كبير كثيرات حدود لاغير، باستثناء التغييرات الأولية للمتغيرات. انظر أيضًا كثيرات حدود تريكومي-كارليتز .
تظهر متعددات حدود لاغير في ميكانيكا الكم، في الجزء القطري من حل معادلة شرودنغر لذرة أحادية الإلكترون. كما أنها تصف دوال ويغنر الساكنة لأنظمة المذبذبات في ميكانيكا الكم في فضاء الطور . وتدخل أيضًا في ميكانيكا الكم لجهد مورس وللمذبذب التوافقي المتناحي ثلاثي الأبعاد .
يستخدم الفيزيائيون أحيانًا تعريفًا لكثيرات حدود لاغير أكبر بمعامل n من التعريف المستخدم هنا. (وبالمثل، قد يستخدم بعض الفيزيائيين تعريفات مختلفة نوعًا ما لما يسمى بكثيرات حدود لاغير المرتبطة).
التعريف التكراري، والصيغة المغلقة، والدالة المولدة
يمكن أيضًا تعريف كثيرات حدود لاغير بشكل تكراري، بتعريف أول كثيرتي حدود على النحو التالي: ثم باستخدام علاقة التكرار التالية لأي قيمة k ≥ 1 : بالإضافة إلى،
في حل بعض مسائل القيم الحدية، يمكن أن تكون القيم المميزة مفيدة:
الصيغة المغلقة هي
وبالمثل، فإن الدالة المولدة لها تتبع ذلك. صيغة المُعامل هي
يمكن التعبير عن كثيرات الحدود ذات الدليل السالب باستخدام تلك ذات الدليل الموجب:
| ن | |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 | |
| 6 | |
| 7 | |
| 8 | |
| 9 | |
| 10 | |
| ن |
كثيرات حدود لاغير المعممة
بالنسبة لأي عدد حقيقي α، فإن الحلول متعددة الحدود للمعادلة التفاضلية [ 2 ] تُسمى هذه كثيرات حدود لاغير المعممة ، أو كثيرات حدود لاغير المرتبطة .
يمكن أيضًا تعريف كثيرات حدود لاغير المعممة بشكل تكراري، بتعريف أول كثيرتي حدود على النحو التالي:
ثم باستخدام علاقة التكرار التالية لأي قيمة k ≥ 1 :
تعد كثيرات حدود لاغير البسيطة الحالة الخاصة α = 0 لكثيرات حدود لاغير المعممة:
معادلة رودريغز بالنسبة لهم هي
الدالة المولدة لها هي
ملكيات
- يتم تعريف دوال لاغير بواسطة دوال فوق هندسية متقاربة وتحويل كومر على النحو التالي [ 3 ]أينهو معامل ذو حدين معمّم . عندما يكون n عددًا صحيحًا، تختزل الدالة إلى متعددة حدود من الدرجة n . ولها الصيغة البديلة [ 4 ].من حيث دالة كومر من النوع الثاني .
- الصيغة المغلقة لكثيرات حدود لاغير المعممة هذه من الدرجة n هي [ 5 ]تم اشتقاقها من خلال تطبيق نظرية لايبنتز لتفاضل حاصل الضرب على صيغة رودريغز.
- تتمتع كثيرات حدود لاغير بتمثيل تفاضلي ، يشبه إلى حد كبير كثيرات حدود هيرميت ذات الصلة الوثيقة. أي، لنفترض وانظر إلى المؤثر التفاضلي. ثم.
- أولى كثيرات حدود لاغير المعممة هي:
| ن | |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 | |
| 6 | |
| 7 | |
| 8 | |
| 9 | |
| 10 |
كتكامل محيطي
بالنظر إلى الدالة المولدة المحددة أعلاه، يمكن التعبير عن كثيرات الحدود بدلالة التكامل الكفافي حيث يدور المحيط حول نقطة الأصل مرة واحدة في اتجاه عكس عقارب الساعة دون أن يحيط بالنقطة الشاذة الأساسية عند 1
العلاقات التكرارية
صيغة الجمع لكثيرات حدود لاغير: [ 7 ]تحقق كثيرات حدود لاغير العلاقات التكرارية بخاصة و أو علاوة على ذلك
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose nj}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(ni){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(ni){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e449381aff6f2b593def172ab03c17cb1bb57dfb)
ويمكن استخدامها لاستخلاص قواعد النقاط الثلاث الأربع.
![// +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{أو }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose ki}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(nx)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(nx)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff755ad59b503998c9e8898cb25b5ff1545520d7)
مجتمعة، فإنها تعطي علاقات تكرارية إضافية ومفيدة.
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc32e1d35979f9126c29a1b4fe1d3ae723d4641d)
منذهي متعددة حدود أحادية من الدرجةفي، هناك تحليل الكسور الجزئية تنتج المساواة الثانية من المتطابقة التالية، وهي صالحة للأعداد الصحيحة i و n ، ومستمدة مباشرة من تعبيرمن حيث كثيرات حدود شارلييه : بالنسبة للمساواة الثالثة، قم بتطبيق المتطابقتين الرابعة والخامسة من هذا القسم.
المشتقات
يؤدي تفاضل تمثيل متسلسلة القوى لكثير حدود لاغير المعمم k مرة إلى
يشير هذا إلى حالة خاصة ( α = 0 ) من الصيغة أعلاه: بالنسبة للعدد الصحيح α = k، يمكن كتابة متعددة الحدود المعممة على النحو التالي قد يتسبب الإزاحة بمقدار k أحيانًا في حدوث لبس مع تدوين الأقواس المعتاد للمشتقة.
علاوة على ذلك، تنطبق المعادلة التالية: والتي تُعمم باستخدام صيغة كوشي إلى
تأخذ المشتقة بالنسبة للمتغير الثاني α الشكل التالي، [ 8 ] تخضع كثيرات حدود لاغير المعممة للمعادلة التفاضلية والتي يمكن مقارنتها بالمعادلة التي تخضع لها المشتقة من الرتبة k لكثير الحدود العادي لاغير،
أينلهذا المعادلة فقط.
![{\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(nk)L_{n}^{[k]}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d6805dbdf16f74423e00fc23ca5ea675eabd49)
![{\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94adaf2e2b6fca61a722420bcb1a66576e10593a)
في صيغة ستورم-ليوفيل، تكون المعادلة التفاضلية كما يلي:
مما يدل على أن L (α) n هو متجه ذاتي للقيمة الذاتية n .
التعامد
تكون كثيرات حدود لاغير المعممة متعامدة على [ 0, ∞) بالنسبة للمقياس مع دالة الترجيح x α e − x : [ 9 ]
وهذا يتبع من
لوإذا كان يشير إلى توزيع جاما، فيمكن كتابة علاقة التعامد على النحو التالي:
تحتوي متعددة الحدود المتناظرة المرتبطة بها على التمثيلات ( صيغة كريستوفيل-داربو ).
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {xy}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{ni}^{(\alpha +i)}(x)L_{ni}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbc06de0ef9a87d70e951a09cacec0b7da13396)
بشكل متكرر
علاوة على ذلك،
يمكن استنتاج متباينات توران هنا، وهي
يلزم التكامل التالي في المعالجة الميكانيكية الكمية لذرة الهيدروجين ،
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb8646b87b220d879aec2c64ff9e7e15228b32a)
توسعات السلسلة
لنفترض أن دالة لها متسلسلة (رسمية)
ثم
تتقارب المتسلسلة في فضاء هيلبرت المرتبط L² [ 0, ∞) إذا وفقط إذا
أمثلة أخرى على التوسعات
تُمثل أحاديات الحدود على النحو التالي: بينما تمتلك ذات الحدين المعلمات
وهذا يؤدي مباشرة إلى بالنسبة للدالة الأسية. دالة غاما غير الكاملة لها التمثيل التالي
التقارب
من حيث الدوال الأولية
لأي عدد صحيح موجب ثابتعدد حقيقي ثابت، فترة ثابتة ومحدودة، بشكل موحد لـ، في:أينوهي وظائف تعتمد علىلكن ليس، ومنتظم لـأما الأمثلة القليلة الأولى فهي:هذه هي صيغة بيرون. [ 10 ] [ 11 ] : 78 وهناك أيضًا تعميم لـ[ 12 ] صيغة فيجير هي حالة خاصة من صيغة بيرون مع[ 13 ] [ 12 ] [ 14 ]
![{\displaystyle [c,d]\subset (0,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2eb822f2680f5956a7471a6da7ab5d972fc2a4)
![{\displaystyle x\in [c,d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef10ac7d23aac26f4cb71a2ad9745f574ca5af1)
من حيث دوال بيسل
تنص معادلة ميهلر -هاين على ما يلي :
أينهي دالة بيسل من النوع الأول .
انظر أيضًا: [ 10 ]
فيما يتعلق بوظائف Airy
يترك. يتركلتكن دالة آيري .كن عشوائياً وحقيقياً،وكن إيجابياً وثابتاً.
صيغ بلانشيريل -روتاش التقاربية : [ 15 ] [ 10 ]
- لو، بشكل موحد عند:
![{\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}(\pi \sin \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}{\big \{}\sin \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3\pi /4\right]+(nx)^{-1/2}{\mathcal {O}}(1){\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6119fe41d5a8158dcb3367e17825744761b19b35)
- لو، بشكل موحد عند:
![{\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(\pi \sinh \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}\exp \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]\{1+{\mathcal {O}}\left(n^{-1}\right)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b07b923bd08a7f942ce6fec0e9faf5456ab485)
- لومعقدة ومحدودة، بشكل منتظم عند:
انظر DLMF للاطلاع على الحدود ذات الرتبة الأعلى. [ 10 ]
أصفار
الترميز
هوالصفر الموجب رقم -th لدالة بيسل.
هوالصفر رقم -th لدالة آيري، بالترتيب التنازلي:.
.
لو، ثملديهجذور حقيقية. لذا نفترض في هذا القسم وجود جذور حقيقية.افتراضياً.
هي الجذور الحقيقية لـ.
لاحظ أنهي سلسلة ستورم .
عدم المساواة
للدينا هذه الحدود: [ 16 ] [ 17 ] [ 6 ] [ 18 ]
- متى
للثابت, [ 16 ] [ 6 ] [ 17 ]للثابتلدينالذا فإن المتباينة الأولى حادة.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nu x_{k}&>j_{\alpha ,k}^{2}\\x_{k}&<{\frac {j_{\alpha ,k}^{2}}{\nu /2+{\sqrt {(\nu /2)^{2}-j_{\alpha ,k}^{2}}}}}\quad {\text{ if }}\nu /2>j_{\alpha ,k}\\x_{k}&<\left[\nu ^{1/2}+2^{-1/3}\nu ^{-1/6}a_{n-k+1}\right]^{2}\quad {\text{ if }}|\alpha |\geqslant 1/4\\x_{k}&<\nu +2^{\frac {2}{3}}a_{k}\nu ^{\frac {1}{3}}+2^{-{\frac {2}{3}}}a_{k}^{2}\nu ^{-{\frac {1}{3}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df05e92ba86c7f3bcaf2af44d0eb81245065116d)
انظر أيضًا. [ 19 ]
الكهرباء الساكنة
تحقق الأصفار علاقات ستيلتجس : [ 20 ] [ 21 ]يمكن تفسير العلاقة الأولى تفسيراً فيزيائياً. لنفترض وجود جسيم كهربائي عند نقطة الأصل يحمل شحنة.وتنتج مجالًا كهربائيًا ثابتًا بقوةثم ضعجسيمات كهربائية مشحونةتنص العلاقة الأولى على أن أصفارهي مواضع التوازن للجسيمات.
بما أن الأصفار تحدد متعددة الحدود حتى القياس، فإن هذا يوفر طريقة بديلة لتوصيف متعددات حدود لاغير بشكل فريد.
كما أن الأصفار تحقق [ 22 ]مما يسمح بالحدود التالية
توزيع محدود
يتركإذا كانت دالة التوزيع التراكمي للجذور، فعندئذٍ لدينا قانون النهاية [ 23 ].والتي يمكن تفسيرها على أنها التوزيع الحدي لطيف مجموعة ويشارت.
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(4nt)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{t}{\sqrt {\frac {1-s}{s}}}ds\quad \forall t\in (0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc96768dcdede1c3671f6c52df5b2029ba7407b4)
للثابتوتم إصلاحه، مثل, [ 17 ]
ل, [ 22 ]
في ميكانيكا الكم
في ميكانيكا الكم، يمكن حل معادلة شرودنغر لذرة شبيهة بالهيدروجين بدقة عن طريق فصل المتغيرات في الإحداثيات الكروية. الجزء القطري من الدالة الموجية هو متعدد حدود لاغير (معمم). [ 24 ]
يمكن أيضًا وصف التحولات الاهتزازية الإلكترونية في تقريب فرانك-كوندون باستخدام كثيرات حدود لاغير. [ 25 ]
نظريات الضرب
يقدم إرديلي نظريتي الضرب التاليتين [ 26 ]
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{kn}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419e3fd18bf2b0ef484d747b9670be1f38888684)
العلاقة بمتعددات حدود هيرميت
ترتبط كثيرات حدود لاغير المعممة بكثيرات حدود هيرميت : حيث أن H n ( x ) هي كثيرات حدود هيرميت القائمة على دالة الترجيح exp(− x 2 ) ، ما يسمى "نسخة الفيزيائي".
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015273f34e288fc1847a90dd793e433e9dbb23d0)
وبسبب هذا، تظهر كثيرات حدود لاغير المعممة في معالجة المذبذب التوافقي الكمي .
بتطبيق صيغة الجمع،
العلاقة بالدوال فوق الهندسية
يمكن تعريف كثيرات حدود لاغير بدلالة الدوال فوق الهندسية ، وتحديداً الدوال فوق الهندسية المتداخلة ، كما يلي: أينهو رمز بوخامر (الذي يمثل في هذه الحالة المضروب التصاعدي).
صيغة هاردي-هيل
تحقق كثيرات حدود لاغير المعممة صيغة هاردي - هيل [ 27 ] [ 28 ] حيث تتقارب السلسلة على اليسار لـواستخدام الهوية (انظر دالة فرط هندسية معممة )، ويمكن كتابة ذلك أيضًا على النحو التالي أينتشير إلى دالة بيسل المعدلة من النوع الأول، المعرفة على النحو التالي:هذه الصيغة هي تعميم لنواة ميهلر لكثيرات حدود هيرميت ، والتي يمكن استخلاصها منها عن طريق وضع كثيرات حدود هيرميت كحالة خاصة من كثيرات حدود لاغير المرتبطة بها.
بديلوخذعند الوصول إلى الحد، نحصل على [ 29 ]سُميت التركيبة نسبة إلى جي إتش هاردي وإينار هيل . [ 30 ] [ 31 ]
الاصطلاح الفيزيائي
تُستخدم كثيرات حدود لاغير المعممة لوصف الدالة الموجية الكمومية لمدارات ذرة الهيدروجين . [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] ويُعبّر عن كثيرات حدود لاغير المعممة في هذا المقال بالصيغة التالية [ 35 ].
أينهي دالة فرط هندسية متقاربة . في الأدبيات الفيزيائية، [ 34 ] تُعرَّف كثيرات حدود لاغير المعممة على النحو التالي:
![{\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bfdcde9315fd8f61b7556fb8b93652a9ba59f2)
يرتبط الإصدار الفيزيائي بالإصدار القياسي من خلال
وهناك اصطلاح آخر، وإن كان أقل استخدامًا، في أدبيات الفيزياء [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]
اصطلاح حساب الظل
ترتبط كثيرات حدود لاغير المعممة بحساب الظلال من خلال كونها متتابعات شيفر لـعند ضربها فيفي اصطلاح حساب الظلال، [ 39 ] تُعرَّف كثيرات حدود لاغير الافتراضية على النحو التالي:أينهي أرقام لاه بدون إشارة .هي متتالية من كثيرات الحدود من النوع ذي الحدين ، أي أنها تحقق
انظر أيضاً
- كثيرات الحدود المتعامدة
- صيغة رودريغز
- كثيرات حدود أنجيلسكو
- كثيرات حدود بيسل
- كثيرات حدود دينيسيوك
- الوضع المستعرض ، وهو تطبيق مهم لكثيرات حدود لاغير لوصف شدة المجال داخل دليل موجي أو شكل شعاع الليزر.
ملحوظات
- ^ ن. سونين (1880). "البحث عن الوظائف الأسطوانية ويستمر تطوير الوظائف بشكل متسلسل" . الرياضيات. آن. 16 (1): 1– 80. دوى : 10.1007/BF01459227 . S2CID 121602983 .
- ↑ A&S ص 781
- ↑ A&S ص 509
- ↑ A&S ص 510
- ↑ A&S ص 775
- 1 2 3 "DLMF: §18.16 الأصفار ‣ كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية ‣ الفصل 18 كثيرات الحدود المتعامدة" . dlmf.nist.gov .
- ↑ "DLMF: §18.18 المجاميع ‣ كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية ‣ الفصل 18 كثيرات الحدود المتعامدة" . dlmf.nist.gov . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-03-2025 .
- ↑ Koepf, Wolfram (1997). "متطابقات لعائلات كثيرات الحدود المتعامدة والدوال الخاصة". التحويلات التكاملية والدوال الخاصة . 5 ( 1-2 ): 69-102 . CiteSeerX 10.1.1.298.7657 . doi : 10.1080/10652469708819127 .
- ^ “متعددة الحدود لاجير المرتبطة” .
- 1 2 3 4 "DLMF: §18.15 التقريبات التقاربية ‣ كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية ‣ الفصل 18 كثيرات الحدود المتعامدة" . dlmf.nist.gov . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-07-07 .
- ^ بيرون ، أوسكار (1921/01/01). "Über das Verhalten einer ausgearteten Hypergeometrischen Reihe bei unbegrenztem Wachstum eines Parameters" (في الألمانية). 1921 (151): 63–78 . دوى : 10.1515/crll.1921.151.63 . ردمك 1435-5345 .
{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal= - 1 2 Szegő، ص. 198.
- ^ توران، بال (1970)، “Asymptotikus Értékek Meghatározásáról” ، Leopold Fejér Gesammelte Arbeiten I (في الألمانية)، بازل: Birkhäuser Basel، الصفحات من 445 إلى 503، دوى : 10.1007/978-3-0348-5902-8_31 ، ISBN 978-3-0348-5903-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-07-07
- ↑ د. بورواين، ج. م. بورواين، ر. إ. كراندال، "التقارب الفعال لـ Laguerre"، مجلة SIAM للتحليل العددي ، المجلد 46 (2008)، العدد 6، الصفحات 3285-3312، doi : 10.1137/07068031X
- ↑ سيغو، الصفحات 200-201
- 1 2 درايفر، ك.؛ جوردان، ك. (يناير 2013). "متباينات الأصفار القصوى لبعض كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية وكثيرات الحدود المتعامدة من النوع q" . النمذجة الرياضية للظواهر الطبيعية . 8 (1): 48-59 . doi : 10.1051/mmnp/20138103 . ISSN 0973-5348 .
- 1 2 3 غاتيشي، لويجي (1 يوليو 2002). "التقارب والحدود لأصفار كثيرات حدود لاغير: دراسة استقصائية" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . أوراق مختارة من الندوة الدولية للرياضيات التطبيقية، أغسطس 2000، داليان، الصين. 144 (1): 7-27 . doi : 10.1016/S0377-0427(01)00549-0 . ISSN 0377-0427 .
- ↑ ديميتروف، ديميتار ك.؛ رافائيلي، فرناندو ر. (1 ديسمبر 2009). "رتابة أصفار كثيرات حدود لاغير" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . المؤتمر التاسع لجمعية الرياضيات التطبيقية والحسابية. 233 (3): 699-702 . doi : 10.1016/j.cam.2009.02.038 . ISSN 0377-0427 .
- ↑ ( Szegő 1975 ، القسم 6.21. متباينات لأصفار كثيرات الحدود الكلاسيكية)
- ↑ مارسيلان، ف.؛ مارتينيز-فينكلشتاين، أ.؛ مارتينيز-غونزاليس، ب. (15 أكتوبر 2007). "نماذج كهروستاتيكية لأصفار كثيرات الحدود: مسائل قديمة وجديدة وبعض المسائل المفتوحة" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . وقائع المؤتمر المُقام تكريمًا للدكتور نيكو تيمي بمناسبة عيد ميلاده الخامس والستين. 207 (2): 258-272 . arXiv : math/0512293 . doi : 10.1016/j.cam.2006.10.020 . ISSN 0377-0427 .
- ↑ ( Szegő 1975 ، القسم 6.7. التفسير الكهروستاتيكي لأصفار كثيرات الحدود الكلاسيكية)
- 1 2 غوبتا، دارما ب.؛ مولدون، مارتن إي. (2007). "متباينات لأصغر أصفار كثيرات حدود لاغير ونظائرها" . مجلة المتباينات في الرياضيات البحتة والتطبيقية (JIPAM) [إلكترونية فقط] . 8 (1): ورقة بحثية رقم 24، 7 صفحات، إلكترونية فقط. ISSN 1443-5756 .
- ↑ غاورونسكي، وولفغانغ (1987-07-01). "حول التوزيع التقاربي لأصفار كثيرات حدود هيرميت، ولاغير، وجونكيير" . مجلة نظرية التقريب . 50 (3): 214-231 . doi : 10.1016/0021-9045(87)90020-7 . ISSN 0021-9045 .
- ↑ راتنر، شاتز، مارك أ.، جورج سي. (2001). ميكانيكا الكم في الكيمياء . 0-13-895491-7: برنتيس هول. ص 90-91 .
{{cite book}}: صيانة CS1: الموقع ( رابط ) صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) - ↑ جونغ، ماثيس دي؛ سيجو، لويس؛ مايرنك، أندرياس؛ رابو، فريدي ت. (24-06-2015). "حل الغموض في العلاقة بين إزاحة ستوكس ومعامل هوانغ-ريس" . الكيمياء الفيزيائية والكيمياء الفيزيائية . 17 (26): 16959-16969 . Bibcode : 2015PCCP...1716959D . doi : 10.1039/ C5CP02093J . hdl : 1874/321453 . ISSN 1463-9084 . PMID 26062123. S2CID 34490576 .
- ↑ C. Truesdell, " حول نظريات الجمع والضرب للدوال الخاصة "، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم، الرياضيات ، (1950) ص 752-757.
- ↑ سيغو، ص 102.
- ↑ السلام، و. أ. (1964-03-01). "التمثيلات التشغيلية لكثيرات حدود لاغير وغيرها" . مجلة ديوك الرياضية . 31 (1). doi : 10.1215/S0012-7094-64-03113-8 . ISSN 0012-7094 .
- ^ سيجو، صفحة 102، المعادلة (5.1.16)
- ↑ GH Hardy، "مجموع سلسلة من كثيرات الحدود لـ Laguerre"، J. London Math. Soc.، المجلد 7، 1932، الصفحات 138-139؛ إضافة، 192.
- ↑ إي. هيل، "حول سلسلة لاغير. الأول، الثاني، الثالث"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية، المجلد 12، 1926، الصفحات 261-269؛ 348-352.
- ↑ غريفيث، ديفيد ج. (2005). مقدمة في ميكانيكا الكم ( الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: بيرسون برنتيس هول. ISBN 0131118927.
- ↑ ساكوراي، جيه جيه (2011). ميكانيكا الكم الحديثة ( الطبعة الثانية). بوسطن: أديسون-ويسلي. ISBN 978-0805382914.
- 1 2 ميرزباخر، يوجين (1998). ميكانيكا الكم ( الطبعة الثالثة). نيويورك: وايلي. ISBN 0471887021.
- ↑ أبراموفيتز، ميلتون (1965). دليل الدوال الرياضية، مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-61272-0.
- ↑ شيف، ليونارد آي. (1968). ميكانيكا الكم ( الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0070856435.
- ↑ ميسيا، ألبرت (2014). ميكانيكا الكم . منشورات دوفر. ISBN 9780486784557.
- ↑ بواس، ماري ل. (2006). الأساليب الرياضية في العلوم الفيزيائية ( الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN 9780471198260.
- ↑ روتا، جيان كارلو؛ كاهانر، د؛ أودليزكو، أ (1973-06-01). "حول أسس نظرية التوافيق. 8. حساب المؤثرات المحدودة" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 42 (3): 684-760 . doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . ISSN 0022-247X .
مراجع
- أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 22" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
- سيغو، غابور (1975). كثيرات الحدود المتعامدة . منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية. المجلد 23 ( الطبعة الرابعة). بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية.
- كورنويندر، توم هـ.؛ وونغ، رودريك إس سي؛ كوكوك، رويلوف؛ سوارتو، رينيه إف. (2010)، "كثيرات الحدود المتعامدة" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم.؛ بوافير، رونالد إف.؛ كلارك، تشارلز دبليو. (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248 .
- إسبانيا، ب.؛ سميث، إم جي (1970). "10. كثيرات حدود لاغير". دوال الفيزياء الرياضية . لندن: شركة فان نوستراند رينهولد.
- "متعددات حدود لاغير" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
- جورج أرفكن وهانز ويبر (2000). الأساليب الرياضية للفيزيائيين . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-059825-0.
روابط خارجية
- كثيرات الحدود
- كثيرات الحدود المتعامدة
- الدوال الهندسية الفائقة الخاصة