طريقة مونت كارلو

تُعدّ طرق مونت كارلو ، والتي تُسمى أيضاً تجارب مونت كارلو أو محاكاة مونت كارلو ، فئة واسعة من الخوارزميات الحسابية القائمة على أخذ عينات عشوائية متكررة للحصول على نتائج عددية، وقد وضع مفهومها عالم الرياضيات البولندي ستانيسواف أولام . ويتمثل المفهوم الأساسي في استخدام العشوائية لحل المسائل الحتمية .

تُستخدم طرق مونت كارلو بشكل أساسي في ثلاث فئات متميزة من المسائل: التحسين ، والتكامل العددي ، وتوليد المتغيرات العشوائية غير المنتظمة ، وهي متاحة لنمذجة الظواهر ذات الشكوك الكبيرة في المدخلات ، مثل تقييمات المخاطر لمحطات الطاقة النووية. غالبًا ما تُنفذ طرق مونت كارلو باستخدام المحاكاة الحاسوبية، ويمكنها توفير حلول تقريبية للمسائل المعقدة للغاية بحيث لا يمكن تحليلها رياضيًا .

ملخص

يُستمد اسم مونت كارلو من كازينو مونت كارلو في موناكو ، حيث استلهم عالم الرياضيات ستانيسواف أولام ، المطور الرئيسي لهذه الطريقة، فكرتها من عادة عمه في المقامرة . تُستخدم طرق مونت كارلو على نطاق واسع في مختلف مجالات العلوم والهندسة والرياضيات، مثل الفيزياء والكيمياء والأحياء والإحصاء والذكاء الاصطناعي والتمويل والتشفير. كما طُبقت في العلوم الاجتماعية، مثل علم الاجتماع وعلم النفس والعلوم السياسية. تُعتبر طرق مونت كارلو من أهم الأفكار وأكثرها تأثيرًا في القرن العشرين، وقد ساهمت في تحقيق العديد من الإنجازات العلمية والتكنولوجية.

تُعاني طرق مونت كارلو من بعض القيود والتحديات، مثل المفاضلة بين الدقة والتكلفة الحسابية، ولعنة الأبعاد ، وموثوقية مولدات الأرقام العشوائية، والتحقق من صحة النتائج. وتختلف طرق مونت كارلو، لكنها تميل إلى اتباع نمط معين:

حدد نطاق المدخلات الممكنة.
قم بتوليد المدخلات عشوائياً من توزيع احتمالي على المجال.
قم بإجراء حساب حتمي للمخرجات.
قم بتجميع النتائج.

على سبيل المثال، لنفترض وجود ربع دائرة (قطاع دائري) مرسوم داخل مربع طول ضلعه وحدة واحدة . وبما أن نسبة مساحتيهما هي π / 4 ، $فإنه$ يمكن تقريب قيمة $π باستخدام طريقة مونت كارلو:$ ^{[ 1 ]}

ارسم مربعًا، ثم ارسم ربع دائرة داخله.
انشر عددًا معينًا من النقاط بشكل منتظم على المربع.
احسب عدد النقاط داخل الربع، أي التي تبعد مسافة أقل من 1 عن نقطة الأصل.
نسبة عدد العناصر داخل العينة إلى إجمالي عدد العناصر في العينة هي تقدير لنسبة المساحتين، $π$ / 4. اضرب الناتج في 4 لتقدير قيمة $π$ .

في هذه العملية، يكون نطاق المدخلات هو المربع المحيط بالربع. يمكن توليد مدخلات عشوائية عن طريق نثر الحبيبات على المربع، ثم إجراء عملية حسابية على كل مدخل لاختبار ما إذا كان يقع ضمن الربع. يؤدي تجميع النتائج إلى النتيجة النهائية، وهي تقريب لقيمة $π$ . هناك اعتباران مهمان:

إذا لم تكن النقاط موزعة بشكل منتظم، فسيكون التقريب ضعيفاً.
يتحسن التقريب كلما تم وضع المزيد من النقاط بشكل عشوائي في المربع بأكمله.

تتطلب استخدامات طرق مونت كارلو كميات كبيرة من الأرقام العشوائية، وقد استفاد استخدامها بشكل كبير من مولدات الأرقام العشوائية الزائفة ، والتي هي أسرع بكثير في الاستخدام من جداول الأرقام العشوائية التي تم استخدامها سابقًا.

التطبيقات

تُستخدم طرق مونت كارلو بكثرة في المسائل الفيزيائية والرياضية ، وتكون أكثر فائدة عندما يصعب أو يستحيل استخدام طرق أخرى. وتُستخدم هذه الطرق بشكل أساسي في ثلاث فئات من المسائل: ^{[ 2 ]} التحسين ، والتكامل العددي ، وتوليد السحوبات من توزيع احتمالي .

في المسائل المتعلقة بالفيزياء، تعتبر طرق مونت كارلو مفيدة لمحاكاة الأنظمة ذات درجات الحرية المترابطة العديدة ، مثل السوائل والمواد غير المنتظمة والمواد الصلبة المترابطة بقوة والهياكل الخلوية، على سبيل المثال نموذج بوتس الخلوي ، وأنظمة الجسيمات المتفاعلة ، وعمليات ماكين-فلاسوف ، والنماذج الحركية للغازات .

تشمل الأمثلة الأخرى نمذجة الظواهر التي تنطوي على قدر كبير من عدم اليقين في المدخلات، مثل حساب المخاطر في الأعمال التجارية، وفي الرياضيات، تقييم التكاملات المحددة متعددة الأبعاد ذات الشروط الحدية المعقدة . عند تطبيقها على مشاكل هندسة النظم (الفضاء، واستكشاف النفط ، وتصميم الطائرات، وما إلى ذلك)، فإن التنبؤات القائمة على طريقة مونت كارلو بشأن الفشل وتجاوزات التكاليف وتجاوزات الجداول الزمنية تكون عادةً أفضل من الحدس البشري أو الطرق "الناعمة" البديلة. ^{[ 3 ]}

من حيث المبدأ، يمكن استخدام طرق مونت كارلو لحل أي مشكلة ذات تفسير احتمالي. وبحسب قانون الأعداد الكبيرة ، يمكن تقريب التكاملات الموصوفة بالقيمة المتوقعة لمتغير عشوائي ما بأخذ المتوسط التجريبي ( المعروف أيضًا باسم "متوسط العينة") لعينات مستقلة من هذا المتغير. عندما يكون التوزيع الاحتمالي للمتغير مُعَلمًا، غالبًا ما يستخدم علماء الرياضيات خوارزمية مونت كارلو لسلسلة ماركوف (MCMC). ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} وتتمثل الفكرة الأساسية في تصميم نموذج سلسلة ماركوف مناسب ذي توزيع احتمالي ثابت مُحدد مسبقًا . أي أنه في النهاية، ستكون العينات التي تُولدها طريقة MCMC عينات من التوزيع المطلوب (المستهدف). ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} وبحسب نظرية الإرجودية ، يُقارب التوزيع الثابت بالقياسات التجريبية للحالات العشوائية لخوارزمية MCMC.

في مسائل أخرى، يتمثل الهدف في توليد عينات من سلسلة من التوزيعات الاحتمالية التي تحقق معادلة تطور غير خطية. ويمكن تفسير تدفقات التوزيعات الاحتمالية هذه دائمًا على أنها توزيعات الحالات العشوائية لعملية ماركوف ، حيث تعتمد احتمالات انتقالها على توزيعات الحالات العشوائية الحالية (انظر عمليات ماكين-فلاسوف ، معادلة الترشيح غير الخطية ). ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} وفي حالات أخرى، ينشأ تدفق للتوزيعات الاحتمالية مع ازدياد مستوى تعقيد أخذ العينات (نماذج فضاءات المسار ذات الأفق الزمني المتزايد، ومقاييس بولتزمان-جيبس المرتبطة بانخفاض معلمات درجة الحرارة، وغيرها الكثير). ويمكن أيضًا اعتبار هذه النماذج بمثابة تطور لقانون الحالات العشوائية لسلسلة ماركوف غير خطية. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

إحدى الطرق الطبيعية لمحاكاة عمليات ماركوف غير الخطية المعقدة هذه هي أخذ عينات من نسخ متعددة من العملية، واستبدال التوزيعات المجهولة للحالات العشوائية في معادلة التطور بالقياسات التجريبية المأخوذة. وعلى عكس منهجيات مونت كارلو وMCMC التقليدية، تعتمد تقنيات الجسيمات ذات المجال المتوسط هذه على عينات متسلسلة متفاعلة. ويعكس مصطلح " المجال المتوسط" حقيقة أن كل عينة ( أو جسيم ، أو فرد، أو كائن حي، أو عامل، أو كائن حي، أو نمط ظاهري) تتفاعل مع القياسات التجريبية للعملية. وعندما يؤول حجم النظام إلى اللانهاية، تتقارب هذه القياسات التجريبية العشوائية إلى التوزيع الحتمي للحالات العشوائية لسلسلة ماركوف غير الخطية، بحيث يتلاشى التفاعل الإحصائي بين الجسيمات.

مونت كارلو البسيطة

لنفترض أن المرء يريد معرفة القيمة المتوقعة $\mu$ من السكان (ويعلم أن $\mu$ (موجود)، ولكن لا توجد صيغة متاحة لحسابه. تعطي طريقة مونت كارلو البسيطة تقديرًا لـ $\mu$ عن طريق الجري $n$ تعتمد هذه الطريقة على المحاكاة وحساب متوسط نتائجها. ولا تفرض أي قيود على التوزيع الاحتمالي للمدخلات، بل تشترط فقط أن تكون هذه المدخلات مُولَّدة عشوائيًا ومستقلة عن بعضها البعض. $\mu$ موجود. كبير بما فيه الكفاية $n$ سينتج قيمة لـ $m$ هذا قريب بشكل تعسفي من $\mu$ أو بعبارة أدق، سيكون الأمر كذلك بالنسبة لأي $\epsilon >0$ ، $|\mu -m|\leq \epsilon$ [ ¹²^] عادةً، الخوارزمية المستخدمة للحصول ^على $m$ يكون

s = 0; for i = 1 to n do run the simulation for the i ^th time, giving result r _i ;  s = s + r _i ; repeat m = s / n ;

أمثلة

لنفترض أننا نريد معرفة عدد المرات التي نتوقع فيها رمي ثلاثة نرد ثمانية الأوجه ليكون مجموع رميات النرد على الأقل $T$ نعلم أن القيمة المتوقعة موجودة. رميات النرد موزعة عشوائياً ومستقلة عن بعضها البعض. لذا، فإن طريقة مونت كارلو البسيطة قابلة للتطبيق.

s = 0; for i = 1 to n do ارمِ النرد الثلاثة حتى يتم الوصول إلى T أو تجاوزه أولاً ؛ r _i = عدد الرميات ؛  s = s + r _i ؛ كرر m = s / n ؛

لو $n$ كبيرة بما يكفي، $m$ سيكون في غضون $\epsilon$ ل $\mu$ لأي $\epsilon >0$ .

تحديد قيمة n كبيرة بما فيه الكفاية

الصيغة العامة

يترك $\epsilon =|\mu -m|>0$ اختر مستوى الثقة المطلوب – النسبة المئوية لاحتمالية أن، عند اكتمال خوارزمية مونت كارلو، $m$ يقع بالفعل ضمن $\epsilon$ ل $\mu$ . يترك $z$ كن $z$ -الدرجة المقابلة لمستوى الثقة هذا.

يترك $s^{2}$ ليكن التباين المقدر، والذي يُسمى أحيانًا تباين "العينة"؛ وهو تباين النتائج التي تم الحصول عليها من عدد صغير نسبيًا $k$ من عمليات المحاكاة "العينة". اختر واحدة $k$ لاحظ دريلز وشين أنه " حتى بالنسبة لأحجام العينات التي تقل بمقدار عشرة أضعاف عن العدد المطلوب، فإن حساب هذا العدد يكون مستقرًا تمامًا. " ^{[ 13 ]} تحسب الخوارزمية التالية $s^{2}$ في تمريرة واحدة مع تقليل احتمالية أن يؤدي الخطأ العددي المتراكم إلى نتائج خاطئة: ^{[ 12 ]}

s ₁ = 0; قم بتشغيل المحاكاة للمرة الأولى، مما ينتج عنه النتيجة r1؛ m1 ₌r1 ؛ // m1 هو متوسط أول i محاكاة. _من أجل i = 2 إلى _k، _قمبتشغيل المحاكاة للمرة ⁱ، مما ينتج عنه النتيجة r1 _؛ δ1 ₌ r1 - _m1 - 1 ؛ m1 ₌ m1 _{- 1} + (1/ i ) δ1 _؛ s1 = s1 _{- 1}₊ (( _i- 1)/ i ) ( δ1 ₎²_؛ كرر s2 = ^s2 / ( k _- 1) .

لاحظ أنه عند اكتمال الخوارزمية، $m_{k}$ هو متوسط $k$ نتائج.

القيمة $n$ تكون كبيرة بما يكفي عندما

n\geq s^{2}z^{2}/\epsilon ^{2}.

^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

لو $n\leq k$ ، ثم $m_{k}=m$ تم إجراء عمليات محاكاة كافية لضمان ذلك. $m_{k}$ يقع ضمن $\epsilon$ ل $\mu$ . لو $n>k$ ، ثم $n$ يمكن تشغيل عمليات المحاكاة "من الصفر"، أو، بما أن $k$ لقد تم إجراء عمليات المحاكاة بالفعل، ويمكن للمرء تشغيلها ببساطة $n-k$ إجراء المزيد من عمليات المحاكاة وإضافة نتائجها إلى نتائج عمليات المحاكاة النموذجية:

s = m _k * k ; for i = k + 1 to n do run the simulation for the i ^th time, giving result r _i ; s = s + r _i ; m = s / n ;

صيغ نتائج المحاكاة مع الحدود

يمكن استخدام صيغة بديلة في الحالة الخاصة حيث تكون جميع نتائج المحاكاة محدودة من الأعلى والأسفل.

اختر قيمة لـ $\epsilon$ هذا ضعف الحد الأقصى المسموح به للفرق بين $\mu$ و $m$ . يترك $0<\delta <100$ ليكن مستوى الثقة المطلوب، معبراً عنه كنسبة مئوية. ولتكن كل نتيجة محاكاة $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{i},\ldots ,r_{n}$ أن يكون على هذا النحو $a\leq r_{i}\leq b$ لـ finity $a$ و $b$ أن يكون لديك ثقة على الأقل $\delta$ الذي - التي $|\mu -m|<\epsilon /2$ استخدم قيمة لـ $n$ بحيث:

n\geq 2(b-a)^{2}\ln(2/(1-(\delta /100)))/\epsilon ^{2}

على سبيل المثال، إذا $\delta =99\%$ ، ثم $n\geq 2(b-a)^{2}\ln(2/0.01)/\epsilon ^{2}\approx 10.6(b-a)^{2}/\epsilon ^{2}$ [ ¹²^]

التكاليف الحسابية

على الرغم من بساطتها المفاهيمية والخوارزمية، إلا أن التكلفة الحسابية المرتبطة بمحاكاة مونت كارلو قد تكون باهظة للغاية. تتطلب هذه الطريقة عمومًا عددًا كبيرًا من العينات للحصول على تقريب جيد، مما قد يؤدي إلى وقت تشغيل إجمالي طويل جدًا إذا كان وقت معالجة عينة واحدة مرتفعًا. ^{[ 14 ]} مع أن هذا يُعدّ قيدًا كبيرًا في المسائل شديدة التعقيد، إلا أن الطبيعة المتوازية للخوارزمية تسمح بتقليل هذه التكلفة الباهظة (ربما إلى مستوى مقبول) من خلال استراتيجيات الحوسبة المتوازية في المعالجات المحلية، والمجموعات الحاسوبية، والحوسبة السحابية، ووحدات معالجة الرسومات (GPU)، ومصفوفات البوابات المنطقية القابلة للبرمجة (FPGA)، وما إلى ذلك. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} في التطبيقات المالية والتطبيقات الحساسة للسلامة، قد يؤدي عدم حتمية الأرقام العشرية عبر منصات الأجهزة إلى تفاقم هذه التكاليف، حيث قد تختلف النتائج بين عمليات التشغيل أو عبر معالجات مختلفة (x86، ARM، GPU)، مما يتطلب أحيانًا عمليات محاكاة زائدة أو آليات توافق للتحقق من صحة النتائج العددية. ^{[ 19 ]}

تاريخ

قبل تطوير طريقة مونت كارلو، كانت عمليات المحاكاة تختبر مشكلة حتمية مفهومة مسبقًا، وكان يتم استخدام أخذ العينات الإحصائية لتقدير حالات عدم اليقين في عمليات المحاكاة. وتقوم محاكاة مونت كارلو بعكس هذا النهج، حيث تحل المشكلات الحتمية باستخدام أساليب الاستدلال الفوقي الاحتمالية (انظر التلدين المحاكي ).

طُوِّرَ شكلٌ مبكرٌ من طريقة مونت كارلو لحلّ مسألة إبرة بوفون ، حيث يُمكن تقدير قيمة $π عن طريق إسقاط إبر على أرضية مصنوعة من شرائح متوازية متساوية البعد. في ثلاثينيات القرن العشرين، أجرى$ إنريكو فيرمي أولى تجاربه على طريقة مونت كارلو أثناء دراسته لانتشار النيوترونات، لكنه لم ينشر هذا العمل. ^{[ 20 ]}

في أواخر أربعينيات القرن العشرين، ابتكر ستانيسواف أولام النسخة الحديثة من طريقة مونت كارلو لسلسلة ماركوف أثناء عمله على مشاريع الأسلحة النووية في مختبر لوس ألاموس الوطني . في عام 1946، كان علماء فيزياء الأسلحة النووية في لوس ألاموس يدرسون انتشار النيوترونات في قلب سلاح نووي. ^{[ 20 ]}

على الرغم من امتلاك علماء الفيزياء في لوس ألاموس معظم البيانات اللازمة، مثل متوسط المسافة التي يقطعها النيوترون في المادة قبل اصطدامه بنواة الذرة، ومقدار الطاقة التي من المحتمل أن يطلقها النيوترون بعد الاصطدام، إلا أنهم لم يتمكنوا من حل المشكلة باستخدام الأساليب الرياضية التقليدية الحتمية. اقترح أولام استخدام التجارب العشوائية، ويروي مصدر إلهامه على النحو التالي:

بدأت أفكاري ومحاولاتي الأولى لتطبيق [طريقة مونت كارلو] بسؤالٍ خطر ببالي عام ١٩٤٦ أثناء فترة نقاهتي من المرض ولعبي لعبة سوليتير. كان السؤال: ما هي احتمالات نجاح لعبة سوليتير كانفيلد المكونة من ٥٢ ورقة؟ بعد قضاء وقت طويل في محاولة تقدير هذه الاحتمالات باستخدام حسابات توافقية بحتة، تساءلت عما إذا كان من الأنسب، بدلاً من التفكير المجرد، إعادة ترتيب الأوراق، مثلاً، مئة مرة، ثم مراقبة عدد مرات النجاح وحسابها. كان هذا الأمر قابلاً للتصور مع بداية عصر الحواسيب فائقة السرعة، ففكرت فوراً في مسائل انتشار النيوترونات وغيرها من مسائل الفيزياء الرياضية، وبشكل أعم، في كيفية تحويل العمليات الموصوفة بمعادلات تفاضلية معينة إلى صيغة مكافئة يمكن تفسيرها كسلسلة من العمليات العشوائية. لاحقاً [عام ١٩٤٦]، شرحت الفكرة لجون فون نيومان ، وبدأنا التخطيط لإجراء حسابات فعلية. ^{[ ٢١ ]}

نظراً لسرية عمل فون نيومان وأولام، فقد استلزم الأمر استخدام اسم رمزي. ^{[ 22 ]} اقترح زميل فون نيومان وأولام، نيكولاس متروبوليس ، استخدام اسم "مونت كارلو" ، نسبةً إلى كازينو مونت كارلو في موناكو، حيث كان عم أولام يقترض المال من أقاربه للمقامرة. ^{[ 20 ]} كانت أساليب مونت كارلو أساسيةً في عمليات المحاكاة اللازمة لمزيد من تطوير الأسلحة النووية بعد الحرب، بما في ذلك تصميم القنبلة الهيدروجينية، على الرغم من محدودية الأدوات الحاسوبية المتاحة آنذاك. قام فون نيومان ونيكولاس متروبوليس وآخرون ببرمجة حاسوب إينياك لإجراء أولى حسابات مونت كارلو المؤتمتة بالكامل، لنواة سلاح انشطاري ، في ربيع عام 1948. ^{[ 23 ]}

في خمسينيات القرن العشرين، استُخدمت أساليب مونت كارلو في مختبر لوس ألاموس لتطوير القنبلة الهيدروجينية ، واكتسبت شعبية واسعة في مجالات الفيزياء والكيمياء الفيزيائية وبحوث العمليات . وكانت مؤسسة راند والقوات الجوية الأمريكية من أبرز الجهات المسؤولة عن تمويل ونشر المعلومات حول أساليب مونت كارلو خلال تلك الفترة، وبدأت هذه الأساليب تجد تطبيقات واسعة في العديد من المجالات المختلفة.

بدأت نظرية طرق مونت كارلو الجسيمية الأكثر تطوراً من نوع المجال المتوسط في منتصف ستينيات القرن العشرين، مع عمل هنري ب. ماكين الابن على تفسيرات ماركوف لفئة من المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة غير الخطية التي تظهر في ميكانيكا الموائع. ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]} وقد استخدمت مقالة رائدة سابقة لثيودور إي. هاريس وهيرمان كان، نُشرت عام 1951، طرق مونت كارلو الجينية من نوع المجال المتوسط لتقدير طاقات انتقال الجسيمات. ^{[ 26 ]}

تُستخدم منهجيات مونت كارلو للنمط الجيني في مجال المتوسط أيضًا كخوارزميات بحث طبيعي استدلالية (تُعرف أيضًا باسم ما وراء الاستدلال ) في الحوسبة التطورية. ويمكن تتبع أصول هذه التقنيات الحسابية للنمط الجيني في مجال المتوسط إلى عامي 1950 و1954 مع أعمال آلان تورينج حول آلات التعلم القائمة على الطفرات والاختيار في النمط الجيني ^{[ 27 ]} ومقالات نيلز آل باريسيلي في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، نيو جيرسي . ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}

يمكن أيضًا تفسير طرق مونت كارلو الكمومية ، وبشكل أكثر تحديدًا طرق مونت كارلو الانتشارية، على أنها تقريب مونت كارلو للجسيمات في المجال المتوسط لتكاملات مسار فاينمان - كاكس . ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}^{[ 36 ]} تُنسب أصول طرق مونت كارلو الكمومية غالبًا إلى إنريكو فيرمي وروبرت ريختماير اللذين طورا في عام 1948 تفسيرًا للجسيمات في مجال متوسط لتفاعلات سلسلة النيوترونات، ^{[ 37 ]} ولكن أول خوارزمية جسيمات شبيهة بالأساليب الاستدلالية والوراثية (المعروفة أيضًا باسم طرق مونت كارلو المُعاد تشكيلها أو إعادة تكوينها) لتقدير طاقات الحالة الأرضية للأنظمة الكمومية (في نماذج المصفوفة المُختزلة) تعود إلى جاك هـ. هيذرينغتون في عام 1984. ^{[ 36 ]} في الكيمياء الجزيئية، يمكن تتبع استخدام منهجيات الجسيمات الوراثية الشبيهة بالأساليب الاستدلالية (المعروفة أيضًا باسم استراتيجيات التقليم والإثراء) إلى عام 1955 مع العمل الرائد لمارشال ن. روزنبلث وأريانا و. روزنبلث . ^{[ 38 ]}

يُعدّ استخدام طريقة مونت كارلو التسلسلية في معالجة الإشارات المتقدمة والاستدلال البايزي حديثًا نسبيًا. ففي عام 1993، نشر غوردون وزملاؤه، في عملهم الرائد ^{[ 39 ]،} أول تطبيق لخوارزمية إعادة التشكيل مونت كارلو في الاستدلال الإحصائي البايزي. أطلق المؤلفون على خوارزميتهم اسم "مرشح التمهيد"، وأثبتوا أنها، مقارنةً بطرق الترشيح الأخرى، لا تتطلب أي افتراضات حول فضاء الحالة أو ضوضاء النظام. ومن المقالات الرائدة الأخرى في هذا المجال مقالة جينشيرو كيتاغاوا حول "مرشح مونت كارلو" ذي الصلة ^{[ 40 ]} ، بالإضافة إلى مقالات بيير ديل مورال ^{[ 41 ]} وهيميلكون كارفاليو، وبيير ديل مورال، وأندريه مونين، وجيرار سالو ^{[ 42 ]} حول مرشحات الجسيمات، والتي نُشرت في منتصف التسعينيات. طُوِّرت مرشحات الجسيمات أيضًا في مجال معالجة الإشارات خلال الفترة 1989-1992 على يد كلٍّ من ب. ديل مورال، وج. س. نوييه، وج. ريغال، وج. سالوت في مختبر تحليل وهندسة الأنظمة التابع للمركز الوطني الفرنسي للبحث العلمي (LAAS-CNRS)، وذلك ضمن سلسلة من التقارير البحثية السرية والمقيدة بالتعاون مع قسم الخدمات الفنية للإنشاءات والأسلحة البحرية (STCAN)، وشركة تكنولوجيا المعلومات DIGILOG، ومختبر تحليل وهندسة الأنظمة التابع للمركز الوطني الفرنسي للبحث العلمي ( LAAS-CNRS )، حول مشاكل معالجة إشارات الرادار/السونار ونظام تحديد المواقع العالمي (GPS). ^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}^{[ 48 ]} ويمكن تفسير منهجيات مونت كارلو التسلسلية هذه على أنها أداة أخذ عينات قبول-رفض مزودة بآلية إعادة تدوير تفاعلية.

من عام 1950 إلى عام 1996، قدمت جميع المنشورات المتعلقة بمنهجيات مونت كارلو المتسلسلة، بما في ذلك طرق مونت كارلو للتقليم وإعادة التشكيل التي طُرحت في الفيزياء الحاسوبية والكيمياء الجزيئية، خوارزميات طبيعية وشبه استدلالية تُطبق على مواقف مختلفة دون أي دليل على اتساقها، ولا مناقشة حول تحيز التقديرات أو الخوارزميات القائمة على شجرة الأنساب والأسلاف. وقد وضع بيير ديل مورال الأسس الرياضية وأول تحليل دقيق لهذه الخوارزميات الجسيمية في عام 1996. ^{[ 41 ]}^{[ 49 ]}

طُوِّرت منهجيات الجسيمات المتفرعة ذات الأحجام السكانية المتفاوتة في أواخر التسعينيات من القرن الماضي على يد دان كريسان وجيسيكا غينز وتيري ليونز، ^{[ 50 ]}^{[ 51 ]}^{[ 52 ]} ودان كريسان وبيير ديل مورال وتيري ليونز. ^{[ 53 ]} ووُصفت تطورات أخرى في هذا المجال في الفترة من 1999 إلى 2001 من قِبَل بيير ديل مورال وأ. غيونيه ول. ميكلو. ^{[ 31 ]}^{[ 54 ]}^{[ 55 ]}

التعريفات

لا يوجد إجماع حول تعريف مونت كارلو . على سبيل المثال، يُعرّف ريبلي ^{[ 56 ]} معظم النماذج الاحتمالية بأنها محاكاة عشوائية ، مع تخصيص مصطلح مونت كارلو لتكامل مونت كارلو واختباراته الإحصائية. ويُفرّق ساويلوفسكي ^{[ 57 ]} بين المحاكاة ، وطريقة مونت كارلو، ومحاكاة مونت كارلو: فالمحاكاة هي تمثيل افتراضي للواقع، بينما طريقة مونت كارلو هي تقنية تُستخدم لحل مشكلة رياضية أو إحصائية. وتستخدم محاكاة مونت كارلو أخذ عينات متكررة للحصول على الخصائص الإحصائية لبعض الظواهر. وفيما يلي بعض الأمثلة:

المحاكاة: يمكن استخدام اختيار متغير عشوائي موحد من الفترة [0،1] لمحاكاة رمي قطعة نقدية: إذا كانت القيمة أقل من أو تساوي 0.50، تُعتبر النتيجة صورة، أما إذا كانت القيمة أكبر من 0.50، فتُعتبر النتيجة كتابة. هذه محاكاة، ولكنها ليست محاكاة مونت كارلو.
طريقة مونت كارلو: إن سكب صندوق من العملات المعدنية على طاولة، ثم حساب نسبة العملات التي تظهر عليها الصورة مقابل الكتابة هي طريقة مونت كارلو لتحديد سلوك رمي العملات المعدنية المتكرر، لكنها ليست محاكاة.
محاكاة مونت كارلو: إن سحب عدد كبير من المتغيرات العشوائية الزائفة المنتظمة من الفترة [0،1] في وقت واحد، أو مرة واحدة في أوقات مختلفة، وتعيين قيم أقل من أو تساوي 0.50 كرؤوس وأكبر من 0.50 كذيول، هو محاكاة مونت كارلو لسلوك رمي العملة بشكل متكرر.

يشير كالوس وويتلوك ^{[ 58 ]} إلى أن الحفاظ على هذه الفروقات ليس بالأمر السهل دائمًا. فعلى سبيل المثال، يُعد انبعاث الإشعاع من الذرات عملية عشوائية طبيعية. يمكن محاكاتها مباشرةً، أو يمكن وصف سلوكها المتوسط بمعادلات عشوائية يمكن حلها باستخدام طرق مونت كارلو. "في الواقع، يمكن النظر إلى نفس برنامج الحاسوب في آنٍ واحد على أنه "محاكاة طبيعية" أو كحل للمعادلات عن طريق أخذ عينات طبيعية." ويمكن التحقق من تقارب محاكاة مونت كارلو باستخدام إحصائية جيلمان-روبين .

مونت كارلو والأرقام العشوائية

تعتمد الفكرة الرئيسية وراء هذه الطريقة على حساب النتائج بناءً على أخذ عينات عشوائية متكررة وتحليل إحصائي. في الواقع، تُعدّ محاكاة مونت كارلو تجارب عشوائية، حيث تكون نتائج هذه التجارب غير معروفة بدقة. وتتميز محاكاة مونت كارلو عادةً بوجود العديد من المعاملات المجهولة، والتي يصعب الحصول على الكثير منها تجريبيًا. ^{[ 59 ]} لا تتطلب طرق محاكاة مونت كارلو دائمًا أرقامًا عشوائية حقيقية لتكون مفيدة (مع أن عدم القدرة على التنبؤ أمر بالغ الأهمية في بعض التطبيقات، مثل اختبار أولية الأعداد ). ^{[ 60 ]} تستخدم العديد من التقنيات الأكثر فائدة متواليات حتمية شبه عشوائية ، مما يُسهّل اختبار المحاكاة وإعادة تشغيلها. والصفة الوحيدة الضرورية عادةً لإجراء محاكاة جيدة هي أن تبدو المتوالية شبه العشوائية "عشوائية بما فيه الكفاية" بمعنى ما.

يختلف معنى ذلك باختلاف التطبيق، ولكن عادةً ما ينبغي أن تجتاز سلسلة من الاختبارات الإحصائية. يُعد اختبار التوزيع المنتظم للأرقام أو اتباعها لتوزيع مرغوب فيه آخر عند النظر في عدد كافٍ من عناصر المتتالية أحد أبسط الاختبارات وأكثرها شيوعًا. كما أن وجود ارتباطات ضعيفة بين العينات المتتالية غالبًا ما يكون مرغوبًا فيه/ضروريًا. يسرد ساويلوفسكي خصائص محاكاة مونت كارلو عالية الجودة: ^[⁵⁷^]

يتميز مولد الأرقام (شبه العشوائي) بخصائص معينة (مثل "فترة" طويلة قبل تكرار التسلسل).
يُنتج مولد الأرقام (شبه العشوائي) قيمًا تجتاز اختبارات العشوائية
توجد عينات كافية لضمان دقة النتائج
يتم استخدام أسلوب أخذ العينات المناسب
الخوارزمية المستخدمة صالحة لما يتم نمذجته.
إنه يحاكي الظاهرة المذكورة.

تُستخدم خوارزميات أخذ عينات الأرقام شبه العشوائية لتحويل الأرقام شبه العشوائية الموزعة بانتظام إلى أرقام موزعة وفقًا لتوزيع احتمالي مُحدد . غالبًا ما تُستخدم متواليات ذات تباين منخفض بدلًا من أخذ عينات عشوائية من فضاء معين، لأنها تضمن تغطية متساوية، وعادةً ما يكون تقاربها أسرع من محاكاة مونت كارلو باستخدام متواليات عشوائية أو شبه عشوائية. تُسمى الطرق القائمة على استخدامها طرق شبه مونت كارلو .

في محاولة لتقييم تأثير جودة الأرقام العشوائية على نتائج محاكاة مونت كارلو، اختبر باحثون في الفيزياء الفلكية أرقامًا شبه عشوائية آمنة تشفيرًا، مُولَّدة باستخدام مجموعة تعليمات RDRAND من إنتل ، مقارنةً بتلك المُستمدة من خوارزميات، مثل Mersenne Twister ، في محاكاة مونت كارلو للتوهجات الراديوية من الأقزام البنية . لم يُلاحظ أي فرق ذي دلالة إحصائية بين النماذج المُولَّدة باستخدام مولدات الأرقام شبه العشوائية التقليدية وRDRAND في التجارب التي تضمنت توليد 10⁷ ^أرقام عشوائية. ^{[ 61 ]}

محاكاة مونت كارلو مقابل سيناريوهات "ماذا لو"

توجد طرق لاستخدام الاحتمالات لا تُعدّ محاكاة مونت كارلو، على سبيل المثال، النمذجة الحتمية باستخدام تقديرات أحادية النقطة. يُخصّص لكل متغير غير مؤكد في النموذج تقدير "أفضل تخمين". تُختار سيناريوهات (مثل أفضل حالة، أو أسوأ حالة، أو الحالة الأكثر ترجيحًا) لكل متغير مُدخل، وتُسجّل النتائج. ^{[ 62 ]}

على النقيض من ذلك، تستخدم محاكاة مونت كارلو عينات من توزيع احتمالي لكل متغير لإنتاج مئات أو آلاف النتائج المحتملة. تُحلل النتائج للحصول على احتمالات حدوث النتائج المختلفة. ^{[ 63 ]} على سبيل المثال، تُظهر مقارنة نموذج تكلفة بناء باستخدام جداول البيانات، والذي تم تشغيله باستخدام سيناريوهات "ماذا لو" التقليدية، ثم إعادة تشغيل المقارنة باستخدام محاكاة مونت كارلو وتوزيعات احتمالية مثلثية، أن نطاق تحليل مونت كارلو أضيق من نطاق تحليل "ماذا لو". ويعود ذلك إلى أن تحليل "ماذا لو" يُعطي وزنًا متساويًا لجميع السيناريوهات (انظر: قياس عدم اليقين في تمويل الشركات )، بينما نادرًا ما تستخدم طريقة مونت كارلو عينات في مناطق الاحتمالية المنخفضة جدًا. تُسمى العينات في هذه المناطق "الأحداث النادرة".

التطبيقات

تُعدّ طرق مونت كارلو مفيدة بشكل خاص لمحاكاة الظواهر التي تتسم بدرجة عالية من عدم اليقين في المدخلات والأنظمة ذات درجات الحرية المترابطة المتعددة. وتشمل مجالات التطبيق ما يلي:

العلوم الفيزيائية

تُعدّ طرق مونت كارلو بالغة الأهمية في الفيزياء الحاسوبية والكيمياء الفيزيائية والمجالات التطبيقية ذات الصلة، ولها تطبيقات متنوعة بدءًا من حسابات الديناميكا اللونية الكمومية المعقدة وصولًا إلى تصميم الدروع الحرارية والأشكال الديناميكية الهوائية ، فضلًا عن نمذجة انتقال الإشعاع لحسابات قياس جرعات الإشعاع. ^{[ 64 ]}^{[ 65 ]}^{[ 66 ]}

الفيزياء الإحصائية

في الفيزياء الإحصائية ، يُعدّ نمذجة مونت كارلو الجزيئية بديلاً عن الديناميكا الجزيئية الحاسوبية ، وتُستخدم طرق مونت كارلو لحساب نظريات المجال الإحصائي لأنظمة الجسيمات والبوليمرات البسيطة. ^{[ 38 ]}^{[ 67 ]} أما طرق مونت كارلو الكمومية فتُستخدم لحل مشكلة الأجسام المتعددة للأنظمة الكمومية. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 30 ]}

علم المواد الإشعاعية

في علم المواد الإشعاعية، يعتمد تقريب التصادم الثنائي لمحاكاة زرع الأيونات عادةً على أسلوب مونت كارلو لاختيار الذرة التالية المتصادمة. ^{[ 68 ]} في فيزياء الجسيمات التجريبية ، تُستخدم طرق مونت كارلو لتصميم الكواشف ، وفهم سلوكها، ومقارنة البيانات التجريبية بالنظرية. في الفيزياء الفلكية ، تُستخدم هذه الطرق بطرق متنوعة، منها نمذجة تطور المجرات ^{[ 69 ]} وانتقال إشعاع الميكروويف عبر سطح كوكب خشن. ^{[ 70 ]} كما تُستخدم طرق مونت كارلو في نماذج المجموعات التي تُشكل أساس التنبؤات الجوية الحديثة .

هندسة

تُستخدم طرق مونت كارلو على نطاق واسع في الهندسة لتحليل الحساسية والتحليل الاحتمالي الكمي في تصميم العمليات . وتنشأ الحاجة إليها من السلوك التفاعلي والخطّي وغير الخطي لعمليات المحاكاة النموذجية. على سبيل المثال:

في هندسة الإلكترونيات الدقيقة ، يتم تطبيق طرق مونت كارلو لتحليل التغيرات المترابطة وغير المترابطة في الدوائر المتكاملة التناظرية والرقمية .
في علم الإحصاء الجيولوجي وعلم المعادن الجيولوجي ، تدعم طرق مونت كارلو تصميم مخططات تدفق معالجة المعادن وتساهم في التحليل الكمي للمخاطر . ^[²²^]
في ديناميكا الموائع ، وخاصة ديناميكا الغازات المخففة ، حيث يتم حل معادلة بولتزمان لتدفقات الموائع ذات عدد كنودسن المحدود باستخدام طريقة محاكاة مونت كارلو المباشرة ^{[ 71 ]} بالاشتراك مع خوارزميات حسابية عالية الكفاءة. ^{[ 72 ]}
في مجال الروبوتات المستقلة ، يمكن لتقنية تحديد الموقع باستخدام مونت كارلو تحديد موقع الروبوت. وغالبًا ما تُطبق هذه التقنية على المرشحات العشوائية مثل مرشح كالمان أو مرشح الجسيمات ، والتي تُشكل جوهر خوارزمية SLAM (تحديد الموقع ورسم الخرائط المتزامنين).
في مجال الاتصالات ، عند تخطيط شبكة لاسلكية، يجب إثبات فعالية التصميم في ظل سيناريوهات متنوعة تعتمد بشكل أساسي على عدد المستخدمين ومواقعهم والخدمات التي يرغبون في استخدامها. تُستخدم عادةً طرق مونت كارلو لتوليد هؤلاء المستخدمين وحالاتهم. بعد ذلك، يتم تقييم أداء الشبكة، وإذا لم تكن النتائج مُرضية، يخضع تصميم الشبكة لعملية تحسين.
في هندسة الموثوقية ، يتم استخدام محاكاة مونت كارلو لحساب استجابة النظام على مستوى النظام بالنظر إلى استجابة المكونات على مستوى النظام.
في معالجة الإشارات والاستدلال البايزي ، تعتبر مرشحات الجسيمات وتقنيات مونت كارلو المتسلسلة فئة من طرق الجسيمات ذات المجال المتوسط لأخذ العينات وحساب التوزيع الخلفي لعملية الإشارة بالنظر إلى بعض الملاحظات الجزئية والضوضائية باستخدام مقاييس تجريبية متفاعلة . ^{[ 73 ]}

تغير المناخ والتأثير الإشعاعي

تعتمد الهيئة الحكومية الدولية المعنية بتغير المناخ على أساليب مونت كارلو في تحليل دالة كثافة الاحتمال للتأثير الإشعاعي . ^{[ 74 ]}

علم الأحياء الحاسوبي

تُستخدم طرق مونت كارلو في مجالات متنوعة من البيولوجيا الحاسوبية ، على سبيل المثال للاستدلال البايزي في علم الوراثة العرقي ، أو لدراسة الأنظمة البيولوجية مثل الجينومات والبروتينات ^{[ 75 ]} والأغشية ^{[ 76 ]} . ويمكن دراسة هذه الأنظمة ضمن أطر تقريبية أو من الصفر، وذلك حسب الدقة المطلوبة. تسمح المحاكاة الحاسوبية بمراقبة البيئة المحلية لجزيء معين لمعرفة ما إذا كان يحدث تفاعل كيميائي ما ، على سبيل المثال. في الحالات التي يتعذر فيها إجراء تجربة فيزيائية، يمكن إجراء تجارب فكرية ، مثل كسر الروابط، أو إدخال شوائب في مواقع محددة، أو تغيير البنية المحلية/العالمية، أو إدخال مجالات خارجية.

رسومات الحاسوب

تُعرف تقنية تتبع المسار ، والتي تُسمى أحيانًا بتتبع أشعة مونت كارلو، بأنها تقنية تُستخدم لعرض مشهد ثلاثي الأبعاد من خلال تتبع عينات عشوائية من مسارات الضوء المحتملة. يؤدي تكرار أخذ عينات من أي بكسل معين في النهاية إلى تقارب متوسط العينات نحو الحل الصحيح لمعادلة العرض ، مما يجعلها واحدة من أكثر طرق عرض الرسومات ثلاثية الأبعاد دقةً من الناحية الفيزيائية.

الإحصاء التطبيقي

وضع ساويلوفسكي معايير تجارب مونت كارلو في الإحصاء. ^{[ 77 ]} في الإحصاء التطبيقي، يمكن استخدام طرق مونت كارلو لأربعة أغراض على الأقل:

لمقارنة الإحصاءات المتنافسة للعينات الصغيرة في ظل ظروف بيانات واقعية. على الرغم من إمكانية حساب الخطأ من النوع الأول وخصائص قوة الإحصاءات للبيانات المستمدة من التوزيعات النظرية الكلاسيكية ( مثل منحنى التوزيع الطبيعي ، وتوزيع كوشي ) في ظل ظروف تقاربية ( أي حجم عينة لا نهائي وتأثير معالجة ضئيل للغاية)، إلا أن البيانات الحقيقية غالبًا لا تمتلك مثل هذه التوزيعات. ^{[ 78 ]}
توفير تطبيقات لاختبارات الفرضيات تكون أكثر كفاءة من الاختبارات الدقيقة مثل اختبارات التبديل (التي غالباً ما يكون من المستحيل حسابها) مع كونها أكثر دقة من القيم الحرجة للتوزيعات التقاربية .
لتوفير عينة عشوائية من التوزيع الاحتمالي اللاحق في الاستدلال البايزي . تقوم هذه العينة بعد ذلك بتقريب وتلخيص جميع السمات الأساسية للتوزيع الاحتمالي اللاحق.
لتوفير تقديرات عشوائية فعالة لمصفوفة هيسيان لدالة الاحتمالية اللوغاريتمية السالبة التي يمكن حساب متوسطها لتكوين تقدير لمصفوفة معلومات فيشر . ^{[ 79 ]}^{[ 80 ]}

تُعدّ طرق مونت كارلو حلاً وسطاً بين التوزيع العشوائي التقريبي واختبارات التبديل. يعتمد اختبار التوزيع العشوائي التقريبي على مجموعة فرعية محددة من جميع التبديلات (مما يستلزم جهداً هائلاً في تتبع التبديلات التي تمّ أخذها في الاعتبار). أما طريقة مونت كارلو فتعتمد على عدد محدد من التبديلات المختارة عشوائياً (مع خسارة طفيفة في الدقة إذا تمّ اختيار تبديل مرتين - أو أكثر - مقابل كفاءة عدم الحاجة إلى تتبع التبديلات التي تمّ اختيارها مسبقاً).

الذكاء الاصطناعي للألعاب

طُوِّرت طرق مونت كارلو إلى تقنية تُسمى بحث شجرة مونت كارلو، وهي مفيدة للبحث عن أفضل نقلة في اللعبة. تُنظَّم النقلات الممكنة في شجرة بحث ، وتُستخدم العديد من المحاكاة العشوائية لتقدير الإمكانات طويلة المدى لكل نقلة. يُمثِّل مُحاكي الصندوق الأسود نقلات الخصم. ^{[ 81 ]} تتكون طريقة بحث شجرة مونت كارلو (MCTS) من أربع خطوات: ^{[ 82 ]}

بدءاً من العقدة الجذرية للشجرة، قم باختيار العقد الفرعية المثلى حتى الوصول إلى عقدة ورقية.
قم بتوسيع العقدة الطرفية واختر أحد أبنائها.
العب لعبة محاكاة تبدأ من تلك العقدة.
استخدم نتائج تلك اللعبة المحاكاة لتحديث العقدة وأسلافها.

النتيجة النهائية، على مدار العديد من الألعاب المحاكاة، هي أن قيمة العقدة التي تمثل حركة ما سترتفع أو تنخفض، بما يتناسب مع ما إذا كانت تلك العقدة تمثل حركة جيدة أم لا. وقد استُخدمت خوارزمية بحث شجرة مونت كارلو بنجاح في ألعاب ^مثل غو ^{[ 83 ]} ، وتانتريكس ^{[ 84 ]} ، وباتلشيب ^{[ 85 ]} ، وهافانا ^{[ 86 ]} ، وأريما [ ⁸⁷^] .

التصميم والمؤثرات البصرية

تُعدّ طرق مونت كارلو فعّالة أيضاً في حلّ المعادلات التفاضلية التكاملية المقترنة لحقول الإشعاع ونقل الطاقة، ولذلك استُخدمت هذه الطرق في حسابات الإضاءة الشاملة التي تُنتج صوراً واقعية لنماذج ثلاثية الأبعاد افتراضية، مع تطبيقات في ألعاب الفيديو ، والهندسة المعمارية ، والتصميم ، والأفلام المُولّدة بالحاسوب ، والمؤثرات السينمائية الخاصة. ^{[ 88 ]}

البحث والإنقاذ

يستخدم خفر السواحل الأمريكي أساليب مونت كارلو ضمن برنامج النمذجة الحاسوبية SAROPS لحساب المواقع المحتملة للسفن أثناء عمليات البحث والإنقاذ . يمكن لكل محاكاة أن تولد ما يصل إلى عشرة آلاف نقطة بيانات موزعة عشوائيًا بناءً على المتغيرات المُدخلة. ^{[ 89 ]}

ثم تُنشأ أنماط البحث بناءً على استقراءات هذه البيانات لتحسين احتمالية الاحتواء (POC) واحتمالية الكشف (POD)، والتي تُساوي معًا احتمالية النجاح الإجمالية (POS). في نهاية المطاف، يُعد هذا تطبيقًا عمليًا لتوزيع الاحتمالات لتوفير أسرع وأنسب طريقة للإنقاذ، مما يُنقذ الأرواح والموارد على حد سواء. ^{[ 90 ]}

التمويل والأعمال

تُستخدم محاكاة مونت كارلو بشكل شائع لتقييم المخاطر وعدم اليقين اللذين قد يؤثران على نتائج خيارات القرار المختلفة. تُمكّن محاكاة مونت كارلو محلل مخاطر الأعمال من دمج التأثيرات الكاملة لعدم اليقين في متغيرات مثل حجم المبيعات، وأسعار السلع الأساسية والعمالة، وأسعار الفائدة والصرف، بالإضافة إلى تأثير أحداث المخاطر المحددة مثل إلغاء عقد أو تغيير قانون ضريبي.

تُستخدم أساليب مونت كارلو في مجال التمويل غالبًا لتقييم الاستثمارات في المشاريع على مستوى وحدة الأعمال أو الشركة، أو لأغراض التقييم المالي الأخرى. ويمكن استخدامها لنمذجة جداول المشاريع ، حيث تُجمع عمليات المحاكاة تقديرات أسوأ السيناريوهات وأفضلها وأكثرها ترجيحًا لفترات كل مهمة لتحديد نتائج المشروع ككل. ^{[ 91 ]} كما تُستخدم أساليب مونت كارلو في تسعير الخيارات وتحليل مخاطر التخلف عن السداد. ^{[ 92 ]}^{[ 93 ]} بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدامها لتقدير الأثر المالي للتدخلات الطبية. ^{[ 94 ]}

قانون

استُخدمت طريقة مونت كارلو لتقييم القيمة المحتملة لبرنامج مُقترح لمساعدة النساء في ولاية ويسكونسن على النجاح في طلباتهن للحصول على أوامر حماية من التحرش والعنف المنزلي . وقد طُرح البرنامج لمساعدة النساء على النجاح في طلباتهن من خلال توفير دعم أكبر لهن، مما قد يُقلل من خطر الاغتصاب والاعتداء الجسدي . إلا أن هناك العديد من المتغيرات التي يصعب تقديرها بدقة، بما في ذلك فعالية أوامر الحماية، ونسبة نجاح مقدمات الطلبات سواءً مع الدعم أو بدونه، وغيرها. وقد أجرت الدراسة تجاربًا تباينت فيها هذه المتغيرات للتوصل إلى تقدير شامل لمستوى نجاح البرنامج المُقترح ككل. ^[⁹⁵^]

علم المكتبات

استُخدمت طريقة مونت كارلو أيضًا لمحاكاة عدد منشورات الكتب في ماليزيا بناءً على نوعها الأدبي . اعتمدت محاكاة مونت كارلو على بيانات النشر الوطنية المنشورة سابقًا وأسعار الكتب وفقًا لنوعها الأدبي في السوق المحلية. استُخدمت نتائج مونت كارلو لتحديد أنواع الكتب التي يفضلها الماليزيون، كما استُخدمت لمقارنة منشورات الكتب بين ماليزيا واليابان . ^[⁹⁶^]

آحرون

يكتب نسيم نيكولاس طالب عن مولدات مونت كارلو في كتابه الصادر عام 2001 بعنوان "مخدوع بالعشوائية" كمثال حقيقي لاختبار تورينج العكسي : يمكن اعتبار الإنسان غير ذكي إذا لم يكن من الممكن التمييز بين كتابته وكتابة مولدة.

التطبيقات الرياضية

تُستخدم طرق مونت كارلو عمومًا في الرياضيات لحلّ مسائل متنوعة عن طريق توليد أرقام عشوائية مناسبة (انظر أيضًا: توليد الأرقام العشوائية ) وملاحظة نسبة هذه الأرقام التي تحقق خاصية أو خصائص معينة. تُفيد هذه الطريقة في الحصول على حلول عددية لمسائل بالغة التعقيد يصعب حلّها تحليليًا. ويُعدّ التكامل باستخدام طريقة مونت كارلو التطبيق الأكثر شيوعًا لهذه الطريقة.

اندماج

يعمل التكامل باستخدام طريقة مونت كارلو عن طريق مقارنة نقاط عشوائية بقيمة الدالة.

{\displaystyle \scriptstyle 1/{\sqrt {N}}} — تقل الأخطاء بمعامل $\scriptstyle 1/{\sqrt {N}}$ .

تُحقق خوارزميات التكامل العددي الحتمية نتائج جيدة في عدد قليل من الأبعاد، لكنها تواجه مشكلتين عند وجود متغيرات كثيرة في الدوال. أولًا، يزداد عدد عمليات تقييم الدالة المطلوبة بسرعة مع ازدياد عدد الأبعاد. على سبيل المثال، إذا كانت 10 عمليات تقييم كافية لتحقيق دقة مناسبة في بُعد واحد، فسيلزم 100 نقطة لـ ¹⁰⁰ بُعد، وهو عدد كبير جدًا يصعب حسابه. يُعرف هذا بـ" لعنة الأبعاد " . ثانيًا، قد تكون حدود المنطقة متعددة الأبعاد معقدة للغاية، لذا قد لا يكون من الممكن اختزال المسألة إلى تكامل متكرر . ^{[ 97 ]} لا يُعدّ وجود 100 بُعد أمرًا غير مألوف، ففي العديد من المسائل الفيزيائية، يُعادل "البُعد" درجة حرية .

توفر طرق مونت كارلو حلاً لهذه الزيادة الأسية في وقت الحساب. فما دامت الدالة المعنية ذات سلوك جيد نسبياً ، يمكن تقديرها باختيار نقاط عشوائياً في فضاء ذي 100 بُعد، ثم حساب متوسط قيم الدالة عند هذه النقاط. وبحسب نظرية النهاية المركزية ، تُظهر هذه الطريقة $\scriptstyle 1/{\sqrt {N}}$ التقارب - أي أن مضاعفة عدد النقاط المأخوذة عينات منها أربع مرات يقلل الخطأ إلى النصف، بغض النظر عن عدد الأبعاد. ^{[ 97 ]}

تتضمن إحدى طرق تحسين هذه الطريقة، والمعروفة في الإحصاء باسم أخذ العينات المهمة ، أخذ عينات من النقاط عشوائيًا، ولكن بتكرار أكبر عندما تكون قيمة التكامل كبيرة. وللقيام بذلك بدقة، يجب معرفة التكامل مسبقًا، ولكن يمكن تقريب التكامل بتكامل دالة مشابهة أو استخدام إجراءات تكيفية مثل أخذ العينات الطبقية ، وأخذ العينات الطبقية المتكررة ، وأخذ العينات التكيفية الشاملة ^{[ 98 ]}^{[ 99 ]} أو خوارزمية VEGAS .

يستخدم أسلوب مشابه، وهو أسلوب شبه مونت كارلو ، متواليات ذات تباين منخفض . تعمل هذه المتواليات على "ملء" المنطقة بشكل أفضل، وتأخذ عينات من أهم النقاط بتكرار أكبر، لذا غالبًا ما تتقارب أساليب شبه مونت كارلو نحو التكامل بسرعة أكبر. وهناك فئة أخرى من أساليب أخذ عينات النقاط في حجم ما، وهي محاكاة المسارات العشوائية عليه ( مونت كارلو لسلسلة ماركوف ). تشمل هذه الأساليب خوارزمية متروبوليس-هاستينغز ، وأخذ عينات جيبس ، وخوارزمية وانغ ولاندو ، ومنهجيات سلسلة ماركوف لسلسلة ماركوف التفاعلية، مثل عينات مونت كارلو المتسلسلة . ^[¹⁰⁰^]

المحاكاة والتحسين

يُعدّ التحسين العددي تطبيقًا قويًا وشائعًا جدًا للأرقام العشوائية في المحاكاة العددية . وتتمثل المشكلة في تقليل (أو زيادة) دوال متجه ما، غالبًا ما يكون متعدد الأبعاد. ويمكن صياغة العديد من المشكلات بهذه الطريقة: على سبيل المثال، يمكن اعتبار برنامج الشطرنج الحاسوبي محاولةً لإيجاد مجموعة من عشر حركات، على سبيل المثال، تُنتج أفضل دالة تقييم في النهاية. وفي مسألة البائع المتجول، يكون الهدف هو تقليل المسافة المقطوعة. كما توجد تطبيقات في التصميم الهندسي، مثل تحسين التصميم متعدد التخصصات . وقد طُبّق هذا الأسلوب مع نماذج شبه أحادية البعد لحل مشكلات ديناميكيات الجسيمات من خلال استكشاف فضاء التكوين الكبير بكفاءة. ويُقدّم المرجع ^{[ 101 ]} مراجعة شاملة للعديد من القضايا المتعلقة بالمحاكاة والتحسين.

تُصنف مسألة البائع المتجول ضمن مسائل التحسين التقليدية. أي أن جميع المعطيات (المسافات بين كل وجهة) اللازمة لتحديد المسار الأمثل معروفةٌ يقينًا، والهدف هو استعراض خيارات السفر الممكنة للوصول إلى المسار ذي أقصر مسافة إجمالية. أما إذا كان الهدف هو تقليل الوقت الإجمالي اللازم للوصول إلى كل وجهة، بدلًا من تقليل المسافة الإجمالية المقطوعة، فإن ذلك يتجاوز التحسين التقليدي نظرًا لعدم اليقين المتأصل في وقت السفر (بسبب الازدحام المروري، ووقت اليوم، وما إلى ذلك). ونتيجةً لذلك، يتطلب تحديد المسار الأمثل محاكاةً مختلفة: تحسينٌ لفهم نطاق الأوقات المحتملة للانتقال من نقطة إلى أخرى (مُمثلة بتوزيع احتمالي في هذه الحالة بدلًا من مسافة محددة)، ثم تحسين قرارات السفر لتحديد أفضل مسار مع مراعاة هذا عدم اليقين.

المسائل العكسية

يؤدي الصياغة الاحتمالية للمسائل العكسية إلى تعريف توزيع احتمالي في فضاء النموذج. يجمع هذا التوزيع الاحتمالي بين المعلومات المسبقة والمعلومات الجديدة المُستقاة من قياس بعض المعلمات القابلة للملاحظة (البيانات). ولأن النظرية التي تربط البيانات بمعلمات النموذج غير خطية في الحالة العامة، فقد يصعب وصف الاحتمال اللاحق في فضاء النموذج (قد يكون متعدد الأنماط، وقد لا تكون بعض العزوم مُعرَّفة، إلخ).

عند تحليل مسألة عكسية، لا يكفي عادةً الحصول على نموذج الاحتمال الأقصى، إذ يُفضّل عادةً الحصول على معلومات حول دقة البيانات. في الحالة العامة، يتم نمذجة العديد من المعلمات، وقد يكون فحص كثافات الاحتمال الهامشية ذات الأهمية غير عملي، أو حتى عديم الفائدة. ولكن من الممكن توليد مجموعة كبيرة من النماذج بشكل شبه عشوائي وفقًا لتوزيع الاحتمال اللاحق ، وتحليل هذه النماذج وعرضها بطريقة تُوصل معلومات حول الاحتمالات النسبية لخصائص النموذج إلى المُشاهد. يُمكن تحقيق ذلك باستخدام طريقة مونت كارلو الفعّالة، حتى في الحالات التي لا تتوفر فيها صيغة صريحة للتوزيع المسبق .

يمكن تعميم خوارزمية متروبوليس، وهي أشهر طرق أخذ العينات المهمة، مما يوفر طريقة تسمح بتحليل المسائل العكسية (التي قد تكون غير خطية للغاية) ذات المعلومات المسبقة المعقدة والبيانات ذات التوزيع العشوائي للضوضاء. ^{[ 102 ]}^{[ 103 ]}

فلسفة

قام ماكراكين بتقديم شرح مبسط لطريقة مونت كارلو. ^{[ 104 ]} ناقش إليشاكوف ^{[ 105 ]} وغرون-يانوف وويريش الفلسفة العامة لهذه الطريقة. ^{[ 106 ]}

انظر أيضاً

مونت كارلو للحقل المساعد
طريقة مونت كارلو في علم الأحياء – طريقة لمحاكاة نقل الأيونات
محاكاة مونت كارلو المباشرة - طريقة مونت كارلو
طريقة مونت كارلو الديناميكية
الإرجودية – فرع من الرياضيات يدرس الأنظمة الديناميكية
الخوارزميات الجينية – خوارزمية تنافسية للبحث في فضاء المشكلة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه.
طريقة المحاكاة الإحصائية مونت كارلو الحركية
قائمة برامج الفيزياء الحاسوبية
قائمة برامج مونت كارلو مفتوحة المصدر
قائمة برامج نمذجة الجزيئات باستخدام طريقة مونت كارلو
طرق الجسيمات ذات المجال المتوسط – خوارزميات حل المشكلات الاحتمالية
طريقة مونت كارلو لنقل الفوتونات - تطبيق النمذجة
طرق مونت كارلو لنقل الإلكترون
برنامج مونت كارلو لنقل الجسيمات المتعددة – حزمة برامج لمحاكاة العمليات النووية
طريقة موريس – التحليل في الإحصاء التطبيقي
طريقة مونت كارلو متعددة المستويات
طريقة شبه مونت كارلو – عملية التكامل العددي
متتالية سوبول – نوع من المتتاليات في التحليل العددي
التعلم بالفرق الزمني – مفهوم برمجة الحاسوب

مراجع

الاقتباسات

↑ كالوس وويتلوك 2008 .
↑ كروس، د.ب.؛ بريرتون، ت.؛ تايمر، ت.؛ بوتيف، ز.إ. (2014). "لماذا تُعدّ طريقة مونت كارلو مهمة للغاية اليوم" (ملف PDF) . مجلة WIREs للحوسبة الإحصائية . 6 (6): 386-392 . doi : 10.1002/wics.1314 . S2CID 18521840. مؤرشف من الأصل في 27 يونيو 2024. تم الاطلاع عليه في 30 يناير 2026 . {{cite journal}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )
↑ هوبارد، دوغلاس؛ سامويلسون، دوغلاس أ. (أكتوبر 2009). "النمذجة بدون قياسات" . OR/MS Today : 28–33 .
↑ متروبوليس، نيكولاس؛ روزنبلث، أريانا و.؛ روزنبلث، مارشال ن.؛ تيلر، أوغوستا هـ.؛ تيلر، إدوارد (1 يونيو 1953). "حسابات معادلة الحالة باستخدام أجهزة الحوسبة السريعة". مجلة الفيزياء الكيميائية . 21 (6): 1087-1092 . Bibcode : 1953JChPh..21.1087M . doi : 10.1063/1.1699114 . ISSN 0021-9606 . OSTI 4390578. S2CID 1046577 .
↑ هاستينغز، دبليو كيه (1 أبريل 1970). "طرق أخذ العينات مونت كارلو باستخدام سلاسل ماركوف وتطبيقاتها". Biometrika . 57 (1): 97–109 . Bibcode : 1970Bimka..57...97H . doi : 10.1093/biomet/57.1.97 . ISSN 0006-3444 . S2CID 21204149 .
↑ ليو، جون س.؛ ليانغ، فامينغ؛ وونغ، وينغ هونغ (1 مارس 2000). "طريقة المحاولات المتعددة والتحسين المحلي في أخذ عينات المدن الكبرى". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 95 (449): 121-134 . Bibcode : 2000JASA...95..121L . doi : 10.1080/01621459.2000.10473908 . ISSN 0162-1459 . S2CID 123468109 .
↑ سبال، جيه سي (2003). "التقدير باستخدام سلسلة ماركوف مونت كارلو". مجلة أنظمة التحكم IEEE . 23 (2): 34-45 . Bibcode : 2003ICSys..23b..34S . doi : 10.1109/MCS.2003.1188770 .
↑ هيل، ستايسي د.؛ سبال، جيمس س. (2019). "استقرار وتقارب خوارزمية متروبوليس-هاستينغز: رؤى حول الجوانب النظرية". مجلة أنظمة التحكم IEEE . 39 (1): 56-67 . Bibcode : 2019ICSys..39a..56H . doi : 10.1109/MCS.2018.2876959 . S2CID 58672766 .
1 2 كولوكولتسوف، فاسيلي (2010). عمليات ماركوف غير الخطية . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 375.
1 2 3 ديل مورال، بيير (2013). محاكاة المجال المتوسط لتكامل مونت كارلو . تشابمان آند هول/ سي آر سي برس . ص 626. دراسات في الإحصاء والاحتمالات التطبيقية
^ ديل مورال، ص. دوسيه، أ.؛ جسرا، ع. (2006). “أخذ عينات مونت كارلو المتسلسلة”. مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 68 (3): 411– 436. أرخايف : cond-mat/0212648 . دوى : 10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x . S2CID 12074789 .
1 2 3 4 أوين، آرت ب. (2013). نظرية مونت كارلو، والأساليب، والأمثلة (ملف PDF) . عمل قيد الإنجاز. الصفحات 15-36 .
1 2 دريلز، موريس ر.؛ شين، يونغ س. (أبريل 2004). "تحديد عدد التكرارات لمحاكاة مونت كارلو لفعالية الأسلحة" . التقرير الفني لكلية الدراسات العليا البحرية (مارس 2003 - مارس 2004): 10-11 .
↑ شونكوايلر، آر دبليو؛ مينديفيل، إف. (2009). استكشافات في طرق مونت كارلو . سبرينغر.
↑ أتاناسوفا، إي.؛ غوروف، ت.؛ كاراييفانوفا، أ.؛ إيفانوفسكا، س.؛ دورتشوفا، م.؛ ديميتروف، د. (2016). "حول مناهج التوازي لبنية Intel MIC". وقائع مؤتمر AIP . 1773 (1): 070001. Bibcode : 2016AIPC.1773g0001A . doi : 10.1063/1.4964983 .
↑ كونها الابن، أ.؛ ناصر، ر.؛ سامبايو، ر.؛ لوبيز، هـ.؛ بريتمان، ك. (2014). "تحديد عدم اليقين باستخدام طريقة مونت كارلو في بيئة الحوسبة السحابية". مجلة اتصالات فيزياء الحاسوب . 185 (5): 1355-1363 . arXiv : 2105.09512 . Bibcode : 2014CoPhC.185.1355C . doi : 10.1016/j.cpc.2014.01.006 . S2CID 32376269 .
↑ وي، ج.؛ كرويس، ف. إي. (2013). "طريقة مونت كارلو المتوازية القائمة على وحدة معالجة الرسومات لتخثر الجسيمات باستخدام استراتيجية القبول والرفض". مجلة علوم الهندسة الكيميائية . 104 : 451-459 . Bibcode : 2013ChEnS.104..451W . doi : 10.1016/j.ces.2013.08.008 .
↑ لين، ي.؛ وانغ، ف.؛ ليو، ب. (2018). "مولدات الأرقام العشوائية لمحاكاة مونت كارلو المتوازية واسعة النطاق على FPGA". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 360 : 93-103 . Bibcode : 2018JCoPh.360...93L . doi : 10.1016/j.jcp.2018.01.029 .
↑ IEEE 754-2008 - معيار IEEE للحسابات ذات الفاصلة العائمة . IEEE. 2008. ص 1-70 . doi : 10.1109/IEEESTD.2008.4610935 . ISBN 978-0-7381-5752-8.
1 2 3 متروبوليس 1987 .
↑ إيكهارت 1987 .
1 2 مازدراكوف، بينوف وفالكانوف 2018 ، ص. 250.
↑ هايغ، توماس؛ بريستلي، مارك؛ روب، كريسبين (2014). "مختبر لوس ألاموس يراهن على إينياك: محاكاة مونت كارلو النووية، 1947-1948". حوليات IEEE لتاريخ الحوسبة . 36 (3): 42-63 . Bibcode : 2014IAHC...36c..42H . doi : 10.1109/MAHC.2014.40 . S2CID 17470931 .
↑ ماكين، هنري ب. (1967). "انتشار الفوضى لفئة من المعادلات القطعية غير الخطية". سلسلة محاضرات في المعادلات التفاضلية، الجامعة الكاثوليكية . 7 : 41-57 .
↑ ماكين، هنري ب. (1966). "فئة من عمليات ماركوف المرتبطة بالمعادلات القطعية غير الخطية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 56 (6): 1907-1911 . Bibcode : 1966PNAS...56.1907M . doi : 10.1073 / pnas.56.6.1907 . PMC 220210. PMID 16591437 .
↑ هيرمان، كان؛ ثيودور، هاريس إي. (1951). "تقدير انتقال الجسيمات عن طريق أخذ عينات عشوائية" (ملف PDF) . المكتب الوطني للمعايير. سلسلة الرياضيات التطبيقية 12 : 27-30 .
↑ تورينج، آلان م. (1950). "آلات الحوسبة والذكاء". العقل . LIX (238): 433-460 . doi : 10.1093/mind/LIX.236.433 .
^ باريتشيلي، نيلز آل (1954). "نماذج رقمية من عمليات التطور". الطرق : 45 – 68.
↑ باريسيلي، نيلز آل (1957). "عمليات التطور التكافلي التي تحققت بواسطة طرق اصطناعية". ميثودوس : 143-182 .
1 2 ديل مورال، بيير (2004). صيغ فاينمان-كاك. تقريبات الجسيمات الجينية والمتفاعلة . الاحتمالات وتطبيقاتها. سبرينغر. ص 575. ISBN 978-0-387-20268-6سلسلة : الاحتمالات وتطبيقاتها
1 2 ديل مورال، ب.؛ ميكلو، ل. (2000). "تقريبات أنظمة الجسيمات المتفرعة والمتفاعلة لصيغ فاينمان-كاك مع تطبيقات على الترشيح غير الخطي" . ندوة الاحتمالات 34. سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1729. برلين: سبرينغر. الصفحات 1-145. doi : 10.1007 / BFb0103798 . ISBN 978-3-540-67314-9MR 1768060 .
↑ ديل مورال، بيير؛ ميكلو، لوران (2000). "تقريب نظام جسيمات موران لصيغ فاينمان-كاك" . العمليات العشوائية وتطبيقاتها . 86 (2): 193-216 . doi : 10.1016/S0304-4149(99)00094-0 .
↑ ديل مورال، بيير (2003). "تقريبات الجسيمات لأسس ليابونوف المرتبطة بمؤثرات شرودنغر وشبه مجموعات فاينمان-كاك" . مجلة ESAIM للاحتمالات والإحصاء . 7 : 171-208 . doi : 10.1051/ps:2003001 .
↑ أساراف، رولاند؛ كافاريل، ميشيل؛ خليف، أناتول (2000). "طرق مونت كارلو الانتشارية مع عدد ثابت من المتجولين" (ملف PDF) . مجلة Physical Review E ، 61 (4): 4566-4575 . رمز Bibcode : 2000PhRvE..61.4566A . doi : 10.1103/physreve.61.4566 . PMID 11088257. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 نوفمبر 2014.
↑ كافاريل، ميشيل؛ سيبرلي، ديفيد؛ كالوس، مالفين (1993). "تعليق على حساب تكامل المسار لفينمان-كاك لطاقات الحالة الأرضية للذرات". مجلة Physical Review Letters ، 71 (13): 2159. Bibcode : 1993PhRvL..71.2159C . doi : 10.1103/physrevlett.71.2159 . PMID: 10054598 .
1 2 هيذرينغتون، جاك هـ. (1984). "ملاحظات حول التكرار الإحصائي للمصفوفات". مجلة الفيزياء أ . 30 (2713): 2713-2719 . رمز Bibcode : 1984PhRvA..30.2713H . doi : 10.1103/PhysRevA.30.2713 .
↑ فيرمي، إنريكي؛ ريختماير، روبرت د. (1948). "ملاحظة حول إجراء التعداد في حسابات مونت كارلو" (ملف PDF) . أرشيف لوس ألاموس . 805 (أ). تقرير رُفعت عنه السرية.
1 2 روزنبلث، مارشال ن.؛ روزنبلث، أريانا و. (1955). "حسابات مونت كارلو لمتوسط امتداد السلاسل الجزيئية الكبيرة" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 23 (2): 356-359 . Bibcode : 1955JChPh..23..356R . doi : 10.1063/1.1741967 . S2CID 89611599 .
↑ غوردون، ن. ج.؛ سالمون، د. ج.؛ سميث، أ. ف. م. (أبريل 1993). "نهج جديد لتقدير الحالة البايزية غير الخطية/غير الغاوسية". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات F - الرادار ومعالجة الإشارات . 140 (2): 107-113 . doi : 10.1049/ip-f-2.1993.0015 . ISSN 0956-375X . S2CID 12644877 .
↑ كيتاغاوا، ج. (1996). "مرشح مونت كارلو ومُنعِّم لنماذج فضاء الحالة غير الخطية غير الغاوسية". مجلة الإحصاءات الحاسوبية والرسومية . 5 (1): 1-25 . doi : 10.2307/1390750 . JSTOR 1390750 .
1 2 ديل مورال، بيير (1996). "الترشيح غير الخطي: حل الجسيمات المتفاعلة" (ملف PDF) . عمليات ماركوف والمجالات ذات الصلة . 2 (4): 555-580 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 4 مارس 2016. تم الاسترجاع في 11 يونيو 2015 .
↑ كارفاليو، هيميلكون؛ ديل مورال، بيير؛ مونين، أندريه؛ سالو، جيرار (يوليو 1997). "الترشيح غير الخطي الأمثل في تكامل نظام تحديد المواقع العالمي/نظام الملاحة بالقصور الذاتي" (ملف PDF) . معاملات IEEE في أنظمة الفضاء والطيران والإلكترونيات . 33 (3): 835-850 . رمز Bibcode : 1997ITAES..33..835C . doi : 10.1109/7.599254 . S2CID 27966240. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 10 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 11 يونيو 2015 .
^ ب. ديل مورال، ج. ريجال، و ج. سالوت. “التقدير والتحكم الأمثل غير الخطي: إطار موحد لحلول الجسيمات”. LAAS-CNRS، تولوز، تقرير البحث رقم. 91137، عقد DRET-DIGILOG- LAAS/CNRS، أبريل (1991).
↑ ب. ديل مورال، ج. ريغال، وج. سالوت. "مرشحات الجسيمات غير الخطية وغير الغاوسية المطبقة على إعادة تموضع المنصة بالقصور الذاتي." LAAS-CNRS، تولوز، تقرير بحثي رقم 92207، اتفاقية STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS رقم STCAN A.91.77.013، (94 صفحة) سبتمبر (1991).
↑ ب. ديل مورال، ج. ريغال، وج. سالوت. "التقدير والتحكم الأمثل غير الخطي: دقة الجسيمات في الترشيح والتقدير: نتائج تجريبية". اتفاقية DRET رقم 89.34.553.00.470.75.01، تقرير بحثي رقم 2 (54 صفحة)، يناير (1992).
↑ ب. ديل مورال، ج. ريغال، وج. سالوت. "التقدير والتحكم الأمثل غير الخطي: دقة الجسيمات في الترشيح والتقدير: نتائج نظرية". اتفاقية DRET رقم 89.34.553.00.470.75.01، تقرير بحثي رقم 3 (123 صفحة)، أكتوبر (1992).
↑ ب. ديل مورال، ج.-ش. نوييه، ج. ريغال، وج. سالوت. "مرشحات الجسيمات في معالجة إشارات الرادار: الكشف والتقدير والتعرف على الأهداف الجوية". مختبر LAAS-CNRS، تولوز، تقرير بحثي رقم 92495، ديسمبر (1992).
↑ ب. ديل مورال، ج. ريغال، وج. سالوت. "التقدير والتحكم الأمثل غير الخطي: دقة الجسيمات في الترشيح والتقدير". دراسات حول: الترشيح، والتحكم الأمثل، وتقدير الاحتمال الأقصى. اتفاقية DRET رقم 89.34.553.00.470.75.01. تقرير بحثي رقم 4 (210 صفحة)، يناير (1993).
^ ديل مورال، بيير (1998). "قياس العمليات القيمة وأنظمة الجسيمات المتفاعلة. التطبيق على مشاكل التصفية غير الخطية " . حوليات الاحتمالية التطبيقية . 8 (2) (منشورات مختبر الإحصاء والاحتمالات، 96-15 (1996) طبعة): 438-495 . CiteSeerX 10.1.1.55.5257 . دوى : 10.1214/aoap/1028903535 .
↑ كريسان، دان؛ غينز، جيسيكا؛ ليونز، تيري (1998). "تقارب طريقة الجسيمات المتفرعة لحل مسألة زاكاي". مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية . 58 (5): 1568-1590 . doi : 10.1137/s0036139996307371 . S2CID 39982562 .
↑ كريسان، دان؛ ليونز، تيري (1997). "الترشيح غير الخطي والعمليات ذات القيم القياسية" . نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة . 109 (2): 217-244 . doi : 10.1007/s004400050131 . S2CID 119809371 .
↑ كريسان، دان؛ ليونز، تيري (1999). "تقريب جسيمي لحل معادلة كوشنر-ستراتونوفيتش" . نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة . 115 (4): 549-578 . doi : 10.1007/s004400050249 . S2CID 117725141 .
↑ كريسان، دان؛ ديل مورال، بيير؛ ليونز، تيري (1999). "الترشيح المنفصل باستخدام أنظمة الجسيمات المتفرعة والمتفاعلة" (ملف PDF) . عمليات ماركوف والمجالات ذات الصلة . 5 (3): 293-318 .
↑ ديل مورال، بيير؛ غيونيه، أليس (1999). "حول استقرار العمليات ذات القيم القياسية مع تطبيقات على الترشيح". CR Acad. Sci. Paris . 39 (1): 429–434 .
↑ ديل مورال، بيير؛ غيونيه، أليس (2001). "حول استقرار العمليات المتفاعلة مع تطبيقات على الترشيح والخوارزميات الجينية" . حوليات معهد هنري بوانكاريه . 37 (2): 155-194 . Bibcode : 2001AIHPB..37..155D . doi : 10.1016/s0246-0203(00)01064-5 .
↑ ريبلي 1987
1 2 ساويلوفسكي 2003
↑ كالوس وويتلوك 2008
↑ شجاعي فرد، م.ح.؛ خلخالي، أ.؛ يارمحمديستري، صادق (2017). "طريقة فعالة لتحليل حساسية الهندسة المعدلة لنظام تعليق ماكفرسون بناءً على معامل ارتباط بيرسون". ديناميكيات أنظمة المركبات . 55 (6): 827-852 . Bibcode : 2017VSD....55..827S . doi : 10.1080/00423114.2017.1283046 . S2CID 114260173 .
↑ دافنبورت 1992
↑ روت، ماثيو (10 أغسطس/آب 2017). "تخليق تجمعات الأقزام فائقة البرودة ذات التوهجات الراديوية" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 845 (1): 66. arXiv : 1707.02212 . Bibcode : 2017ApJ...845...66R . doi : 10.3847/1538-4357/aa7ede . S2CID 118895524 .
↑ فوز 2008 ، ص 13.
↑ فوز 2008 ، ص 16.
↑ جيا، شون؛ زيغينهاين، بيتر؛ جيانغ، ستيف ب (2014). "الحوسبة عالية الأداء القائمة على وحدة معالجة الرسومات للعلاج الإشعاعي" . الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 59 (4): R151– R182 . Bibcode : 2014PMB....59R.151J . doi : 10.1088/0031-9155/59/4/R151 . PMC 4003902. PMID 24486639 .
↑ هيل، ر.؛ هيلي، ب.؛ هولواي، ل.؛ كونسيك، ز.؛ ثويتس، د.؛ بالدوك، س. (مارس 2014). "تطورات في قياس جرعات حزم الأشعة السينية ذات الجهد العالي". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 59 (6): R183– R231 . Bibcode : 2014PMB....59R.183H . doi : 10.1088/0031-9155/59/6/R183 . PMID 24584183. S2CID 18082594 .
↑ روجرز، د. و. أ. (2006). "خمسون عامًا من محاكاة مونت كارلو للفيزياء الطبية". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 51 (13): R287– R301 . Bibcode : 2006PMB....51R.287R . doi : 10.1088/0031-9155/51/13/R17 . PMID 16790908. S2CID 12066026 .
↑ باورل 2009
↑ مولر، دبليو؛ إيكشتاين، دبليو (1 مارس 1984). "ترايدن - برنامج محاكاة TRIM يتضمن تغييرات التركيب الديناميكية". مجلة الأدوات والأساليب النووية في بحوث الفيزياء، القسم ب: تفاعلات الحزم مع المواد والذرات . 2 (1): 814-818 . رمز Bibcode : 1984NIMPB...2..814M . doi : 10.1016/0168-583X(84)90321-5 .
↑ ماكجيليفراي ودود 1982
↑ جولدن 1979
↑ جي إيه بيرد، ديناميكا الغازات الجزيئية، كلارندون، أكسفورد (1976)
↑ ديتريش، س.؛ بويد، إ. (1996). "تطبيق متوازي مُحسَّن عدديًا لتقنية DSMC" . مجلة الفيزياء الحاسوبية . 126 (2): 328-342 . Bibcode : 1996JCoPh.126..328D . doi : 10.1006/jcph.1996.0141 .
↑ تشين، شانغ-ينغ؛ هسو، كو-تشين؛ فان، تشيا-مينغ (15 مارس 2021). "تحسين طريقة الفروق المحدودة المعممة لنمذجة التدفق العشوائي تحت السطحي". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 429 110002. Bibcode : 2021JCoPh.42910002C . doi : 10.1016/J.JCP.2020.110002 . S2CID 228828681 .
↑ تغير المناخ 2013: الأسس العلمية الفيزيائية (ملف PDF) . مطبعة جامعة كامبريدج . 2013. ص 697. ISBN 978-1-107-66182-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 يوليو 2023 .
↑ أوجيدا وآخرون 2009 .
↑ ميليك وسكولنيك 1993 .
↑ كاسي؛ سميث (2014). "محاكاة الثقة لمؤشر إليسون-جلايزر". مجلة الاقتصاد الحضري . 81 : 93. doi : 10.1016/j.jue.2014.02.005 .
↑ ساويلوفسكي وفاهوم 2003
↑ سبال، جيمس سي. (2005). "حساب مونت كارلو لمصفوفة معلومات فيشر في بيئات غير قياسية". مجلة الإحصاءات الحاسوبية والرسومية . 14 (4): 889-909 . CiteSeerX 10.1.1.142.738 . doi : 10.1198/106186005X78800 . S2CID 16090098 .
↑ داس، سونجوي؛ سبال، جيمس سي؛ غانم، روجر (2010). "حساب مونت كارلو الفعال لمصفوفة معلومات فيشر باستخدام المعلومات المسبقة". الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات . 54 (2): 272-289 . doi : 10.1016/j.csda.2009.09.018 .
^ تشاسلوت، غيوم. باكس، ساندر؛ سزيتا، إستفان؛ سبرونك، بيتر. "بحث شجرة مونت كارلو: إطار عمل جديد للعبة الذكاء الاصطناعي" (PDF) . Sander.landofsand.com . تم الاسترجاع في 28 أكتوبر 2017 .
↑ "بحث شجرة مونت كارلو - حول" . مؤرشف من الأصل في 29 نوفمبر 2015. تم الاسترجاع في 15 مايو 2013 .
^ تشاسلوت، غيوم إم جي -ب؛ ويناندز، مارك جلالة؛ فان دن هيريك، هـ. جاب (2008). “البحث الموازي عن شجرة مونت كارلو”. أجهزة الكمبيوتر والألعاب . ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر. المجلد. 5131. الصفحات من 60 إلى 71. CiteSeerX 10.1.1.159.4373 . دوى : 10.1007/978-3-540-87608-3_6 . رقم ISBN 978-3-540-87607-6.
↑ برونز، بيت. بحث شجرة مونت كارلو في لعبة تانتريكس: التقرير النهائي Cosc490 (PDF) (تقرير).
↑ سيلفر، ديفيد؛ فينيس، جويل. "تخطيط مونت كارلو في نماذج POMDP الكبيرة" (ملف PDF) . 0.cs.ucl.ac.uk. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 18 يوليو 2016. تم الاطلاع عليه في 28 أكتوبر 2017 .
↑ لورنتز، ريتشارد ج. (2011). "تحسين بحث شجرة مونت كارلو في هافانا". الحوسبة والألعاب . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 6515. الصفحات 105-115 . Bibcode : 2011LNCS.6515..105L . doi : 10.1007/978-3-642-17928-0_10 . ISBN 978-3-642-17927-3.
↑ جاكل، توماس. "تحدي أريما - دراسة مقارنة بين طريقة مونت كارلو لسلاسل البحث وطرق ألفا-بيتا" (ملف PDF) . Arimaa.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أكتوبر 2017 .
↑ Szirmay-Kalos 2008 .
↑ "كيف يستخدم خفر السواحل التحليلات للبحث عن المفقودين في البحر" . دايس إنسايتس . 3 يناير 2014.
↑ ستون، لورانس د.؛ كراتزكي، توماس م.؛ فروست، جون ر. "نمذجة البحث وتحسينه في نظام التخطيط الأمثل للبحث والإنقاذ التابع لخفر السواحل الأمريكي (SAROPS)" (ملف PDF) . Ifremer.fr . تاريخ الاطلاع: 28 أكتوبر 2017 .
↑ "محاكاة مخاطر المشروع (نسخة تجريبية)" . risk.octigo.pl . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 مايو 2024 .
↑ كارمونا، رينيه؛ ديل مورال، بيير؛ هو، بينغ؛ أودجان، نادية (2012). "مقدمة في طرق الجسيمات مع تطبيقات مالية". في: كارمونا، رينيه أ.؛ مورال، بيير ديل؛ هو، بينغ؛ وآخرون (محررون). الطرق العددية في التمويل . وقائع سبرينغر في الرياضيات. المجلد 12. سبرينغر برلين هايدلبرغ. الصفحات 3-49 . CiteSeerX 10.1.1.359.7957 . doi : 10.1007/978-3-642-25746-9_1 . ISBN 978-3-642-25745-2.
↑ كروس، د.ب.؛ تايمر، ت.؛ بوتيف، ز.إ. (2011). دليل طرق مونت كارلو . جون وايلي وأولاده.
↑ أريناس، دانيال جيه؛ ليت، لانير أ؛ كلوساريتز، هيذر؛ تيتلمان، آن م. (2017). " نهج محاكاة مونت كارلو لتقدير الأثر الصحي والاقتصادي للتدخلات المقدمة في عيادة يديرها الطلاب" . PLOS ONE . 12 (12) e0189718. Bibcode : 2017PLoSO..1289718A . doi : 10.1371/journal.pone.0189718 . PMC 5746244. PMID 29284026 .
↑ إلوارت، ليز؛ إيمرسون، نينا؛ إندرز، كريستينا؛ فوميا، داني؛ مورفي، كيفن (ديسمبر 2006). "زيادة فرص الحصول على أوامر الحماية لضحايا العنف المنزلي من ذوي الدخل المنخفض: تحليل التكلفة والعائد لبرنامج المنح المقترح لمكافحة العنف المنزلي" (ملف PDF) . نقابة المحامين بولاية ويسكونسن . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 6 نوفمبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 ديسمبر 2016 .
↑ دحلان، هادي أكبر (29 أكتوبر 2021). "Perbandingan Penerbitan dan Harga Buku Mengikut Genre di Malaysia dan Jepun Menggunakan Data Akses Terbuka dan Simulasi Monte Carlo" (PDF) . كاجيان ماليزيا . 39 (2): 179– 202. دوى : 10.21315/km2021.39.2.8 . S2CID 240435973 .
1 2 بريس وآخرون 1996
↑ ميزي، م (31 ديسمبر 1986). "أخذ العينات التكيفي المظلي: تحديد متسق ذاتيًا للانحياز غير البولتزماني". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 68 (1): 237-248 . Bibcode : 1987JCoPh..68..237M . doi : 10.1016/0021-9991(87)90054-4 .
↑ بارتلز، كريستيان؛ كاربلوس، مارتن (31 ديسمبر 1997). "توزيعات الاحتمالات للأنظمة المعقدة: أخذ عينات المظلة التكيفية لطاقة الوضع". مجلة الكيمياء الفيزيائية ب . 102 (5): 865-880 . doi : 10.1021/jp972280j .
^ ديل مورال، بيير. دوسيه، أرنو؛ جسرا، أجاي (2006). “أخذ عينات مونت كارلو المتسلسلة”. مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 68 (3): 411– 436. أرخايف : cond-mat/0212648 . دوى : 10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x . S2CID 12074789 .
↑ سبال، جيه سي (2003)، مقدمة في البحث والتحسين العشوائي: التقدير والمحاكاة والتحكم ، وايلي، هوبوكين، نيوجيرسي. http://www.jhuapl.edu/ISSO
^ موسجارد وتارانتولا 1995
↑ تارانتولا 2005
↑ ماكراكين، د.د.، (1955) طريقة مونت كارلو، مجلة ساينتفك أمريكان، 192(5)، ص 90-97
↑ إليشاكوف، آي. (2003). "ملاحظات حول فلسفة طريقة مونت كارلو". الميكانيكا التطبيقية الدولية . 39 (7): 753-762 . Bibcode : 2003IAM....39..753E . doi : 10.1023/A:1026236621486 .
^ جرون يانوف، حتى؛ ويريش، بول (2010). “فلسفة ونظرية المعرفة في المحاكاة: مراجعة”. المحاكاة والألعاب . 41 (1): 20-50 . دوى : 10.1177 / 1046878109353470 .

مصادر

أندرسون، هربرت ل. (1986). "متروبوليس، مونت كارلو، والمجنون" (ملف PDF) . مجلة لوس ألاموس للعلوم . 14 : 96-108 .
بينوف، دوبريان م. (2016). "مشروع مانهاتن، أول حاسوب إلكتروني، وطريقة مونت كارلو". طرق وتطبيقات مونت كارلو . 22 (1): 73-79 . doi : 10.1515/mcma-2016-0102 . S2CID 30198383 .
باورل، ستيفان أ. (2009). "النمذجة متعددة المقاييس للمواد البوليمرية باستخدام منهجيات نظرية المجال: دراسة استقصائية حول التطورات الحديثة". مجلة الكيمياء الرياضية . 46 (2): 363-426 . doi : 10.1007/s10910-008-9467-3 . S2CID 117867762 .
بيرغ، بيرند أ. (2004). محاكاة مونت كارلو لسلاسل ماركوف وتحليلها الإحصائي (مع كود فورتران متاح عبر الإنترنت) . هاكنساك، نيوجيرسي: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-238-935-0.
بايندر، كورت (1995). طريقة مونت كارلو في فيزياء المادة المكثفة . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-54369-7.
كافليش، ري (1998). طرق مونت كارلو وشبه مونت كارلو . اكتا نومريكا. المجلد. 7. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 1 – 49.
دافنبورت، جيه إتش (1992). "إعادة النظر في اختبار الأعداد الأولية". أوراق من الندوة الدولية حول الحساب الرمزي والجبري - ISSAC '92 . الصفحات 123-129 . CiteSeerX 10.1.1.43.9296 . doi : 10.1145/143242.143290 . ISBN 978-0-89791-489-5. S2CID 17322272 .
دوسيه، أرنو؛ فريتاس، ناندو دي؛ غوردون، نيل (2001). أساليب مونت كارلو المتسلسلة في الممارسة العملية . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-95146-1.
إيكهاردت، روجر (1987). “ستان أولام، جون فون نيومان، وطريقة مونت كارلو” (PDF) . علوم لوس ألاموس (15): 131- 137.
فيشمان، جي إس (1995). مونت كارلو: المفاهيم والخوارزميات والتطبيقات . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-94527-9.
سي. فوراستيرو، إل. زامورا، دي. غيرادو، وإيه. لالينا (2010). "أداة مونت كارلو لمحاكاة برامج الكشف عن سرطان الثدي". مجلة الفيزياء الطبية والبيولوجية ، 55 (17): 5213-5229 . رمز Bibcode : 2010PMB....55.5213F . doi : 10.1088/0031-9155/55/17/021 . PMID: 20714045. S2CID : 30021759 .
جولدن، ليزلي م. (1979). "تأثير خشونة السطح على انتقال إشعاع الميكروويف عبر سطح كوكب". إيكاروس . 38 (3): 451-455 . Bibcode : 1979Icar...38..451G . doi : 10.1016/0019-1035(79)90199-4 .
جولد، هارفي؛ توبوشنيك، جان (1988). مقدمة في أساليب المحاكاة الحاسوبية، الجزء 2، تطبيقات على الأنظمة الفيزيائية . ريدينغ: أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-201-16504-3.
غرينستيد، تشارلز؛ سنيل، ج. لوري (1997). مقدمة في الاحتمالات . الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 10-11 .
هامرسلي، جيه إم؛ هاندسكومب، دي سي (1975). طرق مونت كارلو . لندن: ميثوين. ISBN 978-0-416-52340-9.
هارتمان، أ.ك. (2009). دليل عملي لمحاكاة الحاسوب . وورلد ساينتيفيك. رقم ISBN 978-981-283-415-7تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي في 11 فبراير 2009.
هوبارد ، دوغلاس (2007). كيف تقيس أي شيء: إيجاد قيمة الأصول غير الملموسة في الأعمال . جون وايلي وأولاده . ص 46. ISBN 978-0-470-11012-6.
هوبارد، دوغلاس (2009). فشل إدارة المخاطر: لماذا هي معيبة وكيفية إصلاحها . جون وايلي وأولاده .
كانيمان، د.؛ تفيرسكي، أ. (1982). الحكم في ظل عدم اليقين: الاستدلالات والتحيزات . مطبعة جامعة كامبريدج.
كالوس، مالفين H .؛ ويتلوك، باولا أ. (2008). طرق مونت كارلو . وايلي-VCH . رقم ISBN 978-3-527-40760-6.
كروسي، دي بي؛ تيمري، ت.؛ بوتيف، زي (2011). دليل أساليب مونت كارلو . نيويورك: جون وايلي وأولاده . ص. 772. ردمك 978-0-470-17793-8.
ماكجيليفراي، إتش تي؛ دود، آر جيه (1982). "محاكاة مونت كارلو لأنظمة المجرات". الفيزياء الفلكية وعلوم الفضاء . 86 (2): 419-435 . doi : 10.1007/BF00683346 . S2CID 189849365 .
ماكيون، ب. كيفن (1997). المحاكاة العشوائية في الفيزياء . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-981-3083-26-4.
متروبوليس، ن. (1987). "بداية طريقة مونت كارلو" . Los Alamos Science (عدد خاص لعام 1987 مخصص لستانيسلاف أولام): 125– 130. مؤرشفة من الأصلي في 24 فبراير 2021.
متروبوليس، ن .؛ روزنبلث، أريانا و.؛ روزنبلث، مارشال ن.؛ تيلر، أوغستا هـ.؛ تيلر، إدوارد (1953). "حسابات معادلة الحالة باستخدام أجهزة الحوسبة السريعة" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 21 (6): 1087. Bibcode : 1953JChPh..21.1087M . doi : 10.1063/ 1.1699114 . OSTI 4390578. S2CID 1046577 .
متروبوليس، ن .؛ أولام، س. ( 1949). "طريقة مونت كارلو". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 44 (247): 335-341 . doi : 10.1080/01621459.1949.10483310 . JSTOR 2280232. PMID 18139350 .
ميليك، م.؛ سكولنيك، ج. (يناير 1993). "إدخال سلاسل الببتيد في الأغشية الدهنية: نموذج ديناميكي مونت كارلو خارج الشبكة". البروتينات . 15 ( 1): 10-25 . doi : 10.1002/prot.340150104 . PMID 8451235. S2CID 7450512 .
موسغارد، كلاوس؛ تارانتولا، ألبرت (1995). "أخذ عينات مونت كارلو لحلول المسائل العكسية" (ملف PDF) . مجلة البحوث الجيوفيزيائية 100 (B7): 12431-12447 . رمز Bibcode : 1995JGR...10012431M . doi : 10.1029/94JB03097 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 10 مارس 2021. تم الاطلاع عليه في 1 نوفمبر 2017 .
أوجيدا، ب.؛ غارسيا، م.؛ لوندونو، أ.؛ تشين، نيويورك (فبراير 2009). "محاكاة مونت كارلو للبروتينات في الأقفاص: تأثير الحصر على استقرار الحالات الوسيطة" . مجلة الفيزياء الحيوية 96 (3): 1076-1082 . Bibcode : 2009BpJ....96.1076O . doi : 10.1529 / biophysj.107.125369 . PMC 2716574. PMID 18849410 .
بانيس، ل.؛ دي نوكر، ل.؛ دي فليجر، إ.؛ تورفس، ر. (2001). "الاتجاهات وعدم اليقين في تأثيرات تلوث الهواء والتكاليف الخارجية لحركة مرور سيارات الركاب في بلجيكا". المجلة الدولية لتصميم المركبات . 27 ( 1-4 ): 183-194 . doi : 10.1504/IJVD.2001.001963 .
إنت بانيس، إل؛ ربل، أ. دي نوكر، L.؛ تورفس، ر. (2002). شتورم، P. (محرر). “الديزل أم البنزين ؟ مقارنة بيئية يعوقها عدم اليقين “. معهد ميتيلونجن لصناعة الآلات والديناميكية الحرارية . Heft 81 Vol 1. الجامعة التقنية في غراتس النمسا: 48-54 .
بريس، ويليام هـ.؛ تيوكولسكي، شاول أ.؛ فيترلينغ، ويليام ت.؛ فلاني، برايان ب. (1996) [1986]. الوصفات العددية في فورتران 77: فن الحوسبة العلمية . وصفات فورتران العددية. المجلد 1 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-43064-7.
ريبلي، بي دي (1987). المحاكاة العشوائية . وايلي وأولاده .
روبرت، C .؛ كاسيلا، ج. (2004). الأساليب الإحصائية لمونت كارلو ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-21239-5.
روبنشتاين، ر.ي.؛ كروس، د.ب. (2007). المحاكاة وطريقة مونت كارلو (الطبعة الثانية ). نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-17793-8.
سافيدس، سافاكيس سي. (1994). "تحليل المخاطر في تقييم الاستثمار" (ملف PDF) . مجلة تقييم المشاريع . 9 (1). doi : 10.2139/ssrn.265905 . S2CID 2809643 .
ساويلوفسكي، شلومو س.؛ فاهومي، غيل س. (2003). الإحصاء عبر محاكاة مونت كارلو باستخدام لغة فورتران . روتشستر هيلز، ميشيغان: JMASM. ISBN 978-0-9740236-0-1.
ساويلوفسكي، شلومو س. (2003). "هل تعتقد أن لديك أشياء تافهة؟" . مجلة الأساليب الإحصائية التطبيقية الحديثة . 2 (1) jmasm.eP1744: 218–225 . doi : 10.22237/jmasm/1051748460 .
سيلفر، ديفيد؛ فينيس، جويل (2010). "تخطيط مونت كارلو في نماذج ماركوف الجزئية الكبيرة" (ملف PDF) . في: لافيرتي، ج.؛ ويليامز، سي كي آي؛ شاو-تايلور، ج.؛ زيميل، آر إس؛ كولوتّا، أ. (محررون). التطورات في أنظمة معالجة المعلومات العصبية 23. أنظمة معالجة المعلومات العصبية 2010. مؤسسة أنظمة معالجة المعلومات العصبية. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 25 مايو 2012. تم الاطلاع عليه في 15 مارس 2011 .
زيرماي كالوس، لازلو (2008). طرق مونت كارلو في الإضاءة العالمية – تقديم صور واقعية مع التوزيع العشوائي . VDM Verlag Dr. Mueller eK ISBN 978-3-8364-7919-6.
تارانتولا، ألبرت (2005). نظرية المسائل العكسية . فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 978-0-89871-572-9.
فوز، ديفيد (2008). تحليل المخاطر: دليل كمي ( الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده . ISBN 978-0-470-51284-5.
مازدراكوف، ميتودي؛ بينوف، دوبريان؛ فالكانوف، نيكولاي (2018). طريقة مونت كارلو. التطبيقات الهندسية . مطبعة ACMO الأكاديمية. رقم ISBN 978-619-90684-3-4.

روابط خارجية

[FOOTNOTEKalosWhitlock2008-1] كالوس وويتلوك 2008 .

[2] كروس، د.ب.؛ بريرتون، ت.؛ تايمر، ت.؛ بوتيف، ز.إ. (2014). "لماذا تُعدّ طريقة مونت كارلو مهمة للغاية اليوم" (ملف PDF) . مجلة WIREs للحوسبة الإحصائية . 6 (6): 386-392 . doi : 10.1002/wics.1314 . S2CID 18521840. مؤرشف من الأصل في 27 يونيو 2024. تم الاطلاع عليه في 30 يناير 2026 . {{cite journal}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )

[3] هوبارد، دوغلاس؛ سامويلسون، دوغلاس أ. (أكتوبر 2009). "النمذجة بدون قياسات" . OR/MS Today : 28–33 .

[4] متروبوليس، نيكولاس؛ روزنبلث، أريانا و.؛ روزنبلث، مارشال ن.؛ تيلر، أوغوستا هـ.؛ تيلر، إدوارد (1 يونيو 1953). "حسابات معادلة الحالة باستخدام أجهزة الحوسبة السريعة". مجلة الفيزياء الكيميائية . 21 (6): 1087-1092 . Bibcode : 1953JChPh..21.1087M . doi : 10.1063/1.1699114 . ISSN 0021-9606 . OSTI 4390578. S2CID 1046577 .

[5] هاستينغز، دبليو كيه (1 أبريل 1970). "طرق أخذ العينات مونت كارلو باستخدام سلاسل ماركوف وتطبيقاتها". Biometrika . 57 (1): 97–109 . Bibcode : 1970Bimka..57...97H . doi : 10.1093/biomet/57.1.97 . ISSN 0006-3444 . S2CID 21204149 .

[6] ليو، جون س.؛ ليانغ، فامينغ؛ وونغ، وينغ هونغ (1 مارس 2000). "طريقة المحاولات المتعددة والتحسين المحلي في أخذ عينات المدن الكبرى". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 95 (449): 121-134 . Bibcode : 2000JASA...95..121L . doi : 10.1080/01621459.2000.10473908 . ISSN 0162-1459 . S2CID 123468109 .

[7] سبال، جيه سي (2003). "التقدير باستخدام سلسلة ماركوف مونت كارلو". مجلة أنظمة التحكم IEEE . 23 (2): 34-45 . Bibcode : 2003ICSys..23b..34S . doi : 10.1109/MCS.2003.1188770 .

[8] هيل، ستايسي د.؛ سبال، جيمس س. (2019). "استقرار وتقارب خوارزمية متروبوليس-هاستينغز: رؤى حول الجوانب النظرية". مجلة أنظمة التحكم IEEE . 39 (1): 56-67 . Bibcode : 2019ICSys..39a..56H . doi : 10.1109/MCS.2018.2876959 . S2CID 58672766 .

[kol10-9] 1 2 كولوكولتسوف، فاسيلي (2010). عمليات ماركوف غير الخطية . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 375.

[dp13-10] 1 2 3 ديل مورال، بيير (2013). محاكاة المجال المتوسط لتكامل مونت كارلو . تشابمان آند هول/ سي آر سي برس . ص 626. دراسات في الإحصاء والاحتمالات التطبيقية

[11] ديل مورال، ص. دوسيه، أ.؛ جسرا، ع. (2006). “أخذ عينات مونت كارلو المتسلسلة”. مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 68 (3): 411– 436. أرخايف : cond-mat/0212648 . دوى : 10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x . S2CID 12074789 .

[:1-12] 1 2 3 4 أوين، آرت ب. (2013). نظرية مونت كارلو، والأساليب، والأمثلة (ملف PDF) . عمل قيد الإنجاز. الصفحات 15-36 .

[:2-13] 1 2 دريلز، موريس ر.؛ شين، يونغ س. (أبريل 2004). "تحديد عدد التكرارات لمحاكاة مونت كارلو لفعالية الأسلحة" . التقرير الفني لكلية الدراسات العليا البحرية (مارس 2003 - مارس 2004): 10-11 .

[sw09-14] شونكوايلر، آر دبليو؛ مينديفيل، إف. (2009). استكشافات في طرق مونت كارلو . سبرينغر.

[15] أتاناسوفا، إي.؛ غوروف، ت.؛ كاراييفانوفا، أ.؛ إيفانوفسكا، س.؛ دورتشوفا، م.؛ ديميتروف، د. (2016). "حول مناهج التوازي لبنية Intel MIC". وقائع مؤتمر AIP . 1773 (1): 070001. Bibcode : 2016AIPC.1773g0001A . doi : 10.1063/1.4964983 .

[16] كونها الابن، أ.؛ ناصر، ر.؛ سامبايو، ر.؛ لوبيز، هـ.؛ بريتمان، ك. (2014). "تحديد عدم اليقين باستخدام طريقة مونت كارلو في بيئة الحوسبة السحابية". مجلة اتصالات فيزياء الحاسوب . 185 (5): 1355-1363 . arXiv : 2105.09512 . Bibcode : 2014CoPhC.185.1355C . doi : 10.1016/j.cpc.2014.01.006 . S2CID 32376269 .

[17] وي، ج.؛ كرويس، ف. إي. (2013). "طريقة مونت كارلو المتوازية القائمة على وحدة معالجة الرسومات لتخثر الجسيمات باستخدام استراتيجية القبول والرفض". مجلة علوم الهندسة الكيميائية . 104 : 451-459 . Bibcode : 2013ChEnS.104..451W . doi : 10.1016/j.ces.2013.08.008 .

[18] لين، ي.؛ وانغ، ف.؛ ليو، ب. (2018). "مولدات الأرقام العشوائية لمحاكاة مونت كارلو المتوازية واسعة النطاق على FPGA". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 360 : 93-103 . Bibcode : 2018JCoPh.360...93L . doi : 10.1016/j.jcp.2018.01.029 .

[19] IEEE 754-2008 - معيار IEEE للحسابات ذات الفاصلة العائمة . IEEE. 2008. ص 1-70 . doi : 10.1109/IEEESTD.2008.4610935 . ISBN 978-0-7381-5752-8.

[FOOTNOTEMetropolis1987-20] 1 2 3 متروبوليس 1987 .

[FOOTNOTEEckhardt1987-21] إيكهارت 1987 .

[FOOTNOTEMazhdrakovBenovValkanov2018250-22] 1 2 مازدراكوف، بينوف وفالكانوف 2018 ، ص. 250.

[ENIAC-23] هايغ، توماس؛ بريستلي، مارك؛ روب، كريسبين (2014). "مختبر لوس ألاموس يراهن على إينياك: محاكاة مونت كارلو النووية، 1947-1948". حوليات IEEE لتاريخ الحوسبة . 36 (3): 42-63 . Bibcode : 2014IAHC...36c..42H . doi : 10.1109/MAHC.2014.40 . S2CID 17470931 .

[mck67-24] ماكين، هنري ب. (1967). "انتشار الفوضى لفئة من المعادلات القطعية غير الخطية". سلسلة محاضرات في المعادلات التفاضلية، الجامعة الكاثوليكية . 7 : 41-57 .

[25] ماكين، هنري ب. (1966). "فئة من عمليات ماركوف المرتبطة بالمعادلات القطعية غير الخطية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 56 (6): 1907-1911 . Bibcode : 1966PNAS...56.1907M . doi : 10.1073 / pnas.56.6.1907 . PMC 220210. PMID 16591437 .

[26] هيرمان، كان؛ ثيودور، هاريس إي. (1951). "تقدير انتقال الجسيمات عن طريق أخذ عينات عشوائية" (ملف PDF) . المكتب الوطني للمعايير. سلسلة الرياضيات التطبيقية 12 : 27-30 .

[27] تورينج، آلان م. (1950). "آلات الحوسبة والذكاء". العقل . LIX (238): 433-460 . doi : 10.1093/mind/LIX.236.433 .

[28] باريتشيلي، نيلز آل (1954). "نماذج رقمية من عمليات التطور". الطرق : 45 – 68.

[29] باريسيلي، نيلز آل (1957). "عمليات التطور التكافلي التي تحققت بواسطة طرق اصطناعية". ميثودوس : 143-182 .

[dp04-30] 1 2 ديل مورال، بيير (2004). صيغ فاينمان-كاك. تقريبات الجسيمات الجينية والمتفاعلة . الاحتمالات وتطبيقاتها. سبرينغر. ص 575. ISBN 978-0-387-20268-6سلسلة : الاحتمالات وتطبيقاتها

[dmm002-31] 1 2 ديل مورال، ب.؛ ميكلو، ل. (2000). "تقريبات أنظمة الجسيمات المتفرعة والمتفاعلة لصيغ فاينمان-كاك مع تطبيقات على الترشيح غير الخطي" . ندوة الاحتمالات 34. سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1729. برلين: سبرينغر. الصفحات 1-145. doi : 10.1007 / BFb0103798 . ISBN 978-3-540-67314-9MR 1768060 .

[dmm00m-32] ديل مورال، بيير؛ ميكلو، لوران (2000). "تقريب نظام جسيمات موران لصيغ فاينمان-كاك" . العمليات العشوائية وتطبيقاتها . 86 (2): 193-216 . doi : 10.1016/S0304-4149(99)00094-0 .

[dm-esaim03-33] ديل مورال، بيير (2003). "تقريبات الجسيمات لأسس ليابونوف المرتبطة بمؤثرات شرودنغر وشبه مجموعات فاينمان-كاك" . مجلة ESAIM للاحتمالات والإحصاء . 7 : 171-208 . doi : 10.1051/ps:2003001 .

[caffarel1-34] أساراف، رولاند؛ كافاريل، ميشيل؛ خليف، أناتول (2000). "طرق مونت كارلو الانتشارية مع عدد ثابت من المتجولين" (ملف PDF) . مجلة Physical Review E ، 61 (4): 4566-4575 . رمز Bibcode : 2000PhRvE..61.4566A . doi : 10.1103/physreve.61.4566 . PMID 11088257. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 نوفمبر 2014.

[caffarel2-35] كافاريل، ميشيل؛ سيبرلي، ديفيد؛ كالوس، مالفين (1993). "تعليق على حساب تكامل المسار لفينمان-كاك لطاقات الحالة الأرضية للذرات". مجلة Physical Review Letters ، 71 (13): 2159. Bibcode : 1993PhRvL..71.2159C . doi : 10.1103/physrevlett.71.2159 . PMID: 10054598 .

[h84-36] 1 2 هيذرينغتون، جاك هـ. (1984). "ملاحظات حول التكرار الإحصائي للمصفوفات". مجلة الفيزياء أ . 30 (2713): 2713-2719 . رمز Bibcode : 1984PhRvA..30.2713H . doi : 10.1103/PhysRevA.30.2713 .

[37] فيرمي، إنريكي؛ ريختماير، روبرت د. (1948). "ملاحظة حول إجراء التعداد في حسابات مونت كارلو" (ملف PDF) . أرشيف لوس ألاموس . 805 (أ). تقرير رُفعت عنه السرية.

[:0-38] 1 2 روزنبلث، مارشال ن.؛ روزنبلث، أريانا و. (1955). "حسابات مونت كارلو لمتوسط امتداد السلاسل الجزيئية الكبيرة" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 23 (2): 356-359 . Bibcode : 1955JChPh..23..356R . doi : 10.1063/1.1741967 . S2CID 89611599 .

[39] غوردون، ن. ج.؛ سالمون، د. ج.؛ سميث، أ. ف. م. (أبريل 1993). "نهج جديد لتقدير الحالة البايزية غير الخطية/غير الغاوسية". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات F - الرادار ومعالجة الإشارات . 140 (2): 107-113 . doi : 10.1049/ip-f-2.1993.0015 . ISSN 0956-375X . S2CID 12644877 .

[40] كيتاغاوا، ج. (1996). "مرشح مونت كارلو ومُنعِّم لنماذج فضاء الحالة غير الخطية غير الغاوسية". مجلة الإحصاءات الحاسوبية والرسومية . 5 (1): 1-25 . doi : 10.2307/1390750 . JSTOR 1390750 .

[dm9622-41] 1 2 ديل مورال، بيير (1996). "الترشيح غير الخطي: حل الجسيمات المتفاعلة" (ملف PDF) . عمليات ماركوف والمجالات ذات الصلة . 2 (4): 555-580 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 4 مارس 2016. تم الاسترجاع في 11 يونيو 2015 .

[42] كارفاليو، هيميلكون؛ ديل مورال، بيير؛ مونين، أندريه؛ سالو، جيرار (يوليو 1997). "الترشيح غير الخطي الأمثل في تكامل نظام تحديد المواقع العالمي/نظام الملاحة بالقصور الذاتي" (ملف PDF) . معاملات IEEE في أنظمة الفضاء والطيران والإلكترونيات . 33 (3): 835-850 . رمز Bibcode : 1997ITAES..33..835C . doi : 10.1109/7.599254 . S2CID 27966240. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 10 نوفمبر 2022. تم الاسترجاع في 11 يونيو 2015 .

[43] ب. ديل مورال، ج. ريجال، و ج. سالوت. “التقدير والتحكم الأمثل غير الخطي: إطار موحد لحلول الجسيمات”. LAAS-CNRS، تولوز، تقرير البحث رقم. 91137، عقد DRET-DIGILOG- LAAS/CNRS، أبريل (1991).

[44] ب. ديل مورال، ج. ريغال، وج. سالوت. "مرشحات الجسيمات غير الخطية وغير الغاوسية المطبقة على إعادة تموضع المنصة بالقصور الذاتي." LAAS-CNRS، تولوز، تقرير بحثي رقم 92207، اتفاقية STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS رقم STCAN A.91.77.013، (94 صفحة) سبتمبر (1991).

[45] ب. ديل مورال، ج. ريغال، وج. سالوت. "التقدير والتحكم الأمثل غير الخطي: دقة الجسيمات في الترشيح والتقدير: نتائج تجريبية". اتفاقية DRET رقم 89.34.553.00.470.75.01، تقرير بحثي رقم 2 (54 صفحة)، يناير (1992).

[46] ب. ديل مورال، ج. ريغال، وج. سالوت. "التقدير والتحكم الأمثل غير الخطي: دقة الجسيمات في الترشيح والتقدير: نتائج نظرية". اتفاقية DRET رقم 89.34.553.00.470.75.01، تقرير بحثي رقم 3 (123 صفحة)، أكتوبر (1992).

[47] ب. ديل مورال، ج.-ش. نوييه، ج. ريغال، وج. سالوت. "مرشحات الجسيمات في معالجة إشارات الرادار: الكشف والتقدير والتعرف على الأهداف الجوية". مختبر LAAS-CNRS، تولوز، تقرير بحثي رقم 92495، ديسمبر (1992).

[48] ب. ديل مورال، ج. ريغال، وج. سالوت. "التقدير والتحكم الأمثل غير الخطي: دقة الجسيمات في الترشيح والتقدير". دراسات حول: الترشيح، والتحكم الأمثل، وتقدير الاحتمال الأقصى. اتفاقية DRET رقم 89.34.553.00.470.75.01. تقرير بحثي رقم 4 (210 صفحة)، يناير (1993).

[:22-49] ديل مورال، بيير (1998). "قياس العمليات القيمة وأنظمة الجسيمات المتفاعلة. التطبيق على مشاكل التصفية غير الخطية " . حوليات الاحتمالية التطبيقية . 8 (2) (منشورات مختبر الإحصاء والاحتمالات، 96-15 (1996) طبعة): 438-495 . CiteSeerX 10.1.1.55.5257 . دوى : 10.1214/aoap/1028903535 .

[:42-50] كريسان، دان؛ غينز، جيسيكا؛ ليونز، تيري (1998). "تقارب طريقة الجسيمات المتفرعة لحل مسألة زاكاي". مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية . 58 (5): 1568-1590 . doi : 10.1137/s0036139996307371 . S2CID 39982562 .

[51] كريسان، دان؛ ليونز، تيري (1997). "الترشيح غير الخطي والعمليات ذات القيم القياسية" . نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة . 109 (2): 217-244 . doi : 10.1007/s004400050131 . S2CID 119809371 .

[52] كريسان، دان؛ ليونز، تيري (1999). "تقريب جسيمي لحل معادلة كوشنر-ستراتونوفيتش" . نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة . 115 (4): 549-578 . doi : 10.1007/s004400050249 . S2CID 117725141 .

[:52-53] كريسان، دان؛ ديل مورال، بيير؛ ليونز، تيري (1999). "الترشيح المنفصل باستخدام أنظمة الجسيمات المتفرعة والمتفاعلة" (ملف PDF) . عمليات ماركوف والمجالات ذات الصلة . 5 (3): 293-318 .

[dg99-54] ديل مورال، بيير؛ غيونيه، أليس (1999). "حول استقرار العمليات ذات القيم القياسية مع تطبيقات على الترشيح". CR Acad. Sci. Paris . 39 (1): 429–434 .

[dg01-55] ديل مورال، بيير؛ غيونيه، أليس (2001). "حول استقرار العمليات المتفاعلة مع تطبيقات على الترشيح والخوارزميات الجينية" . حوليات معهد هنري بوانكاريه . 37 (2): 155-194 . Bibcode : 2001AIHPB..37..155D . doi : 10.1016/s0246-0203(00)01064-5 .

[Ripley-56] ريبلي 1987

[Sawilowsky-57] 1 2 ساويلوفسكي 2003

[Kalos-58] كالوس وويتلوك 2008

[usaus-59] شجاعي فرد، م.ح.؛ خلخالي، أ.؛ يارمحمديستري، صادق (2017). "طريقة فعالة لتحليل حساسية الهندسة المعدلة لنظام تعليق ماكفرسون بناءً على معامل ارتباط بيرسون". ديناميكيات أنظمة المركبات . 55 (6): 827-852 . Bibcode : 2017VSD....55..827S . doi : 10.1080/00423114.2017.1283046 . S2CID 114260173 .

[60] دافنبورت 1992

[61] روت، ماثيو (10 أغسطس/آب 2017). "تخليق تجمعات الأقزام فائقة البرودة ذات التوهجات الراديوية" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 845 (1): 66. arXiv : 1707.02212 . Bibcode : 2017ApJ...845...66R . doi : 10.3847/1538-4357/aa7ede . S2CID 118895524 .

[FOOTNOTEVose200813-62] فوز 2008 ، ص 13.

[FOOTNOTEVose200816-63] فوز 2008 ، ص 16.

[64] جيا، شون؛ زيغينهاين، بيتر؛ جيانغ، ستيف ب (2014). "الحوسبة عالية الأداء القائمة على وحدة معالجة الرسومات للعلاج الإشعاعي" . الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 59 (4): R151– R182 . Bibcode : 2014PMB....59R.151J . doi : 10.1088/0031-9155/59/4/R151 . PMC 4003902. PMID 24486639 .

[65] هيل، ر.؛ هيلي، ب.؛ هولواي، ل.؛ كونسيك، ز.؛ ثويتس، د.؛ بالدوك، س. (مارس 2014). "تطورات في قياس جرعات حزم الأشعة السينية ذات الجهد العالي". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 59 (6): R183– R231 . Bibcode : 2014PMB....59R.183H . doi : 10.1088/0031-9155/59/6/R183 . PMID 24584183. S2CID 18082594 .

[66] روجرز، د. و. أ. (2006). "خمسون عامًا من محاكاة مونت كارلو للفيزياء الطبية". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 51 (13): R287– R301 . Bibcode : 2006PMB....51R.287R . doi : 10.1088/0031-9155/51/13/R17 . PMID 16790908. S2CID 12066026 .

[67] باورل 2009

[68] مولر، دبليو؛ إيكشتاين، دبليو (1 مارس 1984). "ترايدن - برنامج محاكاة TRIM يتضمن تغييرات التركيب الديناميكية". مجلة الأدوات والأساليب النووية في بحوث الفيزياء، القسم ب: تفاعلات الحزم مع المواد والذرات . 2 (1): 814-818 . رمز Bibcode : 1984NIMPB...2..814M . doi : 10.1016/0168-583X(84)90321-5 .

[69] ماكجيليفراي ودود 1982

[70] جولدن 1979

[71] جي إيه بيرد، ديناميكا الغازات الجزيئية، كلارندون، أكسفورد (1976)

[72] ديتريش، س.؛ بويد، إ. (1996). "تطبيق متوازي مُحسَّن عدديًا لتقنية DSMC" . مجلة الفيزياء الحاسوبية . 126 (2): 328-342 . Bibcode : 1996JCoPh.126..328D . doi : 10.1006/jcph.1996.0141 .

[73] تشين، شانغ-ينغ؛ هسو، كو-تشين؛ فان، تشيا-مينغ (15 مارس 2021). "تحسين طريقة الفروق المحدودة المعممة لنمذجة التدفق العشوائي تحت السطحي". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 429 110002. Bibcode : 2021JCoPh.42910002C . doi : 10.1016/J.JCP.2020.110002 . S2CID 228828681 .

[74] تغير المناخ 2013: الأسس العلمية الفيزيائية (ملف PDF) . مطبعة جامعة كامبريدج . 2013. ص 697. ISBN 978-1-107-66182-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 يوليو 2023 .

[FOOTNOTEOjedaGarciaLondonoChen2009-75] أوجيدا وآخرون 2009 .

[FOOTNOTEMilikSkolnick1993-76] ميليك وسكولنيك 1993 .

[77] كاسي؛ سميث (2014). "محاكاة الثقة لمؤشر إليسون-جلايزر". مجلة الاقتصاد الحضري . 81 : 93. doi : 10.1016/j.jue.2014.02.005 .

[78] ساويلوفسكي وفاهوم 2003

[79] سبال، جيمس سي. (2005). "حساب مونت كارلو لمصفوفة معلومات فيشر في بيئات غير قياسية". مجلة الإحصاءات الحاسوبية والرسومية . 14 (4): 889-909 . CiteSeerX 10.1.1.142.738 . doi : 10.1198/106186005X78800 . S2CID 16090098 .

[80] داس، سونجوي؛ سبال، جيمس سي؛ غانم، روجر (2010). "حساب مونت كارلو الفعال لمصفوفة معلومات فيشر باستخدام المعلومات المسبقة". الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات . 54 (2): 272-289 . doi : 10.1016/j.csda.2009.09.018 .

[81] تشاسلوت، غيوم. باكس، ساندر؛ سزيتا، إستفان؛ سبرونك، بيتر. "بحث شجرة مونت كارلو: إطار عمل جديد للعبة الذكاء الاصطناعي" (PDF) . Sander.landofsand.com . تم الاسترجاع في 28 أكتوبر 2017 .

[82] "بحث شجرة مونت كارلو - حول" . مؤرشف من الأصل في 29 نوفمبر 2015. تم الاسترجاع في 15 مايو 2013 .

[83] تشاسلوت، غيوم إم جي -ب؛ ويناندز، مارك جلالة؛ فان دن هيريك، هـ. جاب (2008). “البحث الموازي عن شجرة مونت كارلو”. أجهزة الكمبيوتر والألعاب . ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر. المجلد. 5131. الصفحات من 60 إلى 71. CiteSeerX 10.1.1.159.4373 . دوى : 10.1007/978-3-540-87608-3_6 . رقم ISBN 978-3-540-87607-6.

[84] برونز، بيت. بحث شجرة مونت كارلو في لعبة تانتريكس: التقرير النهائي Cosc490 (PDF) (تقرير).

[85] سيلفر، ديفيد؛ فينيس، جويل. "تخطيط مونت كارلو في نماذج POMDP الكبيرة" (ملف PDF) . 0.cs.ucl.ac.uk. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 18 يوليو 2016. تم الاطلاع عليه في 28 أكتوبر 2017 .

[86] لورنتز، ريتشارد ج. (2011). "تحسين بحث شجرة مونت كارلو في هافانا". الحوسبة والألعاب . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 6515. الصفحات 105-115 . Bibcode : 2011LNCS.6515..105L . doi : 10.1007/978-3-642-17928-0_10 . ISBN 978-3-642-17927-3.

[87] جاكل، توماس. "تحدي أريما - دراسة مقارنة بين طريقة مونت كارلو لسلاسل البحث وطرق ألفا-بيتا" (ملف PDF) . Arimaa.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أكتوبر 2017 .

[FOOTNOTESzirmay-Kalos2008-88] Szirmay-Kalos 2008 .

[89] "كيف يستخدم خفر السواحل التحليلات للبحث عن المفقودين في البحر" . دايس إنسايتس . 3 يناير 2014.

[90] ستون، لورانس د.؛ كراتزكي، توماس م.؛ فروست، جون ر. "نمذجة البحث وتحسينه في نظام التخطيط الأمثل للبحث والإنقاذ التابع لخفر السواحل الأمريكي (SAROPS)" (ملف PDF) . Ifremer.fr . تاريخ الاطلاع: 28 أكتوبر 2017 .

[91] "محاكاة مخاطر المشروع (نسخة تجريبية)" . risk.octigo.pl . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 مايو 2024 .

[92] كارمونا، رينيه؛ ديل مورال، بيير؛ هو، بينغ؛ أودجان، نادية (2012). "مقدمة في طرق الجسيمات مع تطبيقات مالية". في: كارمونا، رينيه أ.؛ مورال، بيير ديل؛ هو، بينغ؛ وآخرون (محررون). الطرق العددية في التمويل . وقائع سبرينغر في الرياضيات. المجلد 12. سبرينغر برلين هايدلبرغ. الصفحات 3-49 . CiteSeerX 10.1.1.359.7957 . doi : 10.1007/978-3-642-25746-9_1 . ISBN 978-3-642-25745-2.

[kr11-93] كروس، د.ب.؛ تايمر، ت.؛ بوتيف، ز.إ. (2011). دليل طرق مونت كارلو . جون وايلي وأولاده.

[94] أريناس، دانيال جيه؛ ليت، لانير أ؛ كلوساريتز، هيذر؛ تيتلمان، آن م. (2017). " نهج محاكاة مونت كارلو لتقدير الأثر الصحي والاقتصادي للتدخلات المقدمة في عيادة يديرها الطلاب" . PLOS ONE . 12 (12) e0189718. Bibcode : 2017PLoSO..1289718A . doi : 10.1371/journal.pone.0189718 . PMC 5746244. PMID 29284026 .

[montecarloanalysis-95] إلوارت، ليز؛ إيمرسون، نينا؛ إندرز، كريستينا؛ فوميا، داني؛ مورفي، كيفن (ديسمبر 2006). "زيادة فرص الحصول على أوامر الحماية لضحايا العنف المنزلي من ذوي الدخل المنخفض: تحليل التكلفة والعائد لبرنامج المنح المقترح لمكافحة العنف المنزلي" (ملف PDF) . نقابة المحامين بولاية ويسكونسن . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 6 نوفمبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 ديسمبر 2016 .

[96] دحلان، هادي أكبر (29 أكتوبر 2021). "Perbandingan Penerbitan dan Harga Buku Mengikut Genre di Malaysia dan Jepun Menggunakan Data Akses Terbuka dan Simulasi Monte Carlo" (PDF) . كاجيان ماليزيا . 39 (2): 179– 202. دوى : 10.21315/km2021.39.2.8 . S2CID 240435973 .

[Press-97] 1 2 بريس وآخرون 1996

[98] ميزي، م (31 ديسمبر 1986). "أخذ العينات التكيفي المظلي: تحديد متسق ذاتيًا للانحياز غير البولتزماني". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 68 (1): 237-248 . Bibcode : 1987JCoPh..68..237M . doi : 10.1016/0021-9991(87)90054-4 .

[99] بارتلز، كريستيان؛ كاربلوس، مارتن (31 ديسمبر 1997). "توزيعات الاحتمالات للأنظمة المعقدة: أخذ عينات المظلة التكيفية لطاقة الوضع". مجلة الكيمياء الفيزيائية ب . 102 (5): 865-880 . doi : 10.1021/jp972280j .

[100] ديل مورال، بيير. دوسيه، أرنو؛ جسرا، أجاي (2006). “أخذ عينات مونت كارلو المتسلسلة”. مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 68 (3): 411– 436. أرخايف : cond-mat/0212648 . دوى : 10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x . S2CID 12074789 .

[101] سبال، جيه سي (2003)، مقدمة في البحث والتحسين العشوائي: التقدير والمحاكاة والتحكم ، وايلي، هوبوكين، نيوجيرسي. http://www.jhuapl.edu/ISSO

[102] موسجارد وتارانتولا 1995

[103] تارانتولا 2005

[104] ماكراكين، د.د.، (1955) طريقة مونت كارلو، مجلة ساينتفك أمريكان، 192(5)، ص 90-97

[105] إليشاكوف، آي. (2003). "ملاحظات حول فلسفة طريقة مونت كارلو". الميكانيكا التطبيقية الدولية . 39 (7): 753-762 . Bibcode : 2003IAM....39..753E . doi : 10.1023/A:1026236621486 .

[106] جرون يانوف، حتى؛ ويريش، بول (2010). “فلسفة ونظرية المعرفة في المحاكاة: مراجعة”. المحاكاة والألعاب . 41 (1): 20-50 . دوى : 10.1177 / 1046878109353470 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ ٢١ ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 39 ]،

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

مثل

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[ 91 ]

[ 92 ]

[ 93 ]

[ 94 ]

[

[

[ 97 ]

[ 98 ]

[ 99 ]

[

[ 101 ]

[ 102 ]

[ 103 ]

[ 104 ]

[ 105 ]

[ 106 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗