حقل أحادي المنشأ

في الرياضيات ، الحقل الأحادي التولد هو حقل عددي جبري K يوجد فيه عنصر a بحيث تكون حلقة الأعداد الصحيحة OK هي الحلقة الجزئية Z [ a ] من K المولدة بواسطة a . عندئذٍ، تكون _OK خارج قسمة حلقة كثيرات الحدود Z [ X ] _، وتشكل قوى a أساسًا تكامليًا للقوى .

في حقل أحادي التولد K ، يكون مميز الحقل K مساوياً لمميز الحد الأدنى لكثير الحدود α.

تشمل أمثلة الحقول أحادية المنشأ ما يلي:

• الحقول التربيعية :

لو${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$مع${\displaystyle d}$عدد صحيح خالٍ من المربعات ، إذن${\displaystyle O_{K}=\mathbf {Z} [a]}$أين${\displaystyle a=(1+{\sqrt {d}})/2}$إذا كان d  ≡  1  (mod  4) و${\displaystyle a={\sqrt {d}}}$إذا كان d ≡ 2 أو 3 (mod 4).

• الحقول السيكلوتومية :

لو${\displaystyle K=\mathbf {Q} (\zeta )}$مع${\displaystyle \zeta }$إذن، جذر الوحدة${\displaystyle O_{K}=\mathbf {Z} [\zeta .}$وكذلك الحقل الفرعي الحقيقي الأقصى${\displaystyle \mathbf {Q} (\zeta )^{+}=\mathbf {Q} (\zeta +\zeta ^{-1})}$أحادي الجين، مع حلقة من الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbf {Z} [\zeta +\zeta ^{-1}]}$.

بينما جميع الحقول التربيعية أحادية التولد، فإن العديد من الحقول التكعيبية ليست أحادية التولد. أول مثال تم اكتشافه لحقل عددي غير أحادي التولد هو الحقل التكعيبي الناتج عن جذر متعدد الحدود${\displaystyle X^{3}-X^{2}-2X-8}$، بسبب ريتشارد ديديكيند .

• ناركيويتش، فلاديسلاف (2004). النظرية الأولية والتحليلية للأعداد الجبرية (  الطبعة الثالثة). سبرينغر-فيرلاغ . ص  64. ISBN 3-540-21902-1. Zbl 1159.11039 . 
• جال ، استفان (2002). المعادلات الديوفانتينية وقواعد تكامل القوى . بوسطن، ماساتشوستس: Birkhäuser Verlag . رقم ISBN 978-0-8176-4271-6. Zbl 1016.11059 .