ريتشارد ديديكيند

يوليوس فيلهلم ريتشارد ديديكيند ( بالألمانية : ˈdeːdəˌkɪnt ؛ 6 أكتوبر ¹⁸³¹ - 12 فبراير 1916) كان عالم رياضيات ألمانيًا ^قدم إسهاماتٍ جليلة في نظرية الأعداد ، والجبر المجرد ( وخاصةً نظرية الحلقات )، والأسس البديهية للحساب . ولعلّ أبرز إسهاماته تعريف الأعداد الحقيقية من خلال مفهوم ^قطع ديديكيند . كما يُعتبر رائدًا في تطوير نظرية المجموعات الحديثة وفلسفة الرياضيات المعروفة بالمنطقية .

كان والد ديديكيند هو يوليوس ليفين أولريش ديديكيند، أحد إداريي كلية كارولينوم في براونشفايغ . أما والدته فكانت كارولين هنرييت ديديكيند (اسمها قبل الزواج إمبيريوس)، ابنة أحد أساتذة الكلية. ^{[ 2 ]} كان لريتشارد ديديكيند ثلاثة أشقاء أكبر منه. ولم يستخدم اسم يوليوس فيلهلم قط عندما كبر. وُلد في براونشفايغ (التي تُعرف بالإنجليزية باسم "برونزويك")، حيث عاش معظم حياته وتوفي. يرقد جثمانه في مقبرة براونشفايغ الرئيسية .

التحق ديديكيند أولاً بكلية كارولينوم عام ١٨٤٨ قبل أن ينتقل إلى جامعة غوتنغن عام ١٨٥٠. هناك، درس نظرية الأعداد على يد البروفيسور موريتز شتيرن . كان غاوس لا يزال يُدرّس، وإن كان ذلك في الغالب على مستوى تمهيدي، وكان ديديكيند آخر طلابه. حصل ديديكيند على درجة الدكتوراه عام ١٨٥٢ عن أطروحة بعنوان "حول نظرية التكاملات الأويلرية " . لم تُظهر هذه الأطروحة الموهبة التي برزت في منشورات ديديكيند اللاحقة.

في ذلك الوقت، كانت جامعة برلين ، لا غوتينغن ، هي المركز الرئيسي للبحث الرياضي في ألمانيا. لذا، سافر ديديكيند إلى برلين لمدة عامين للدراسة، حيث كان زميلًا لبرنارد ريمان ، وحصل كلاهما على شهادة التأهيل العلمي عام ١٨٥٤. عاد ديديكيند إلى غوتينغن للتدريس كمحاضر ، مُلقيًا دورات في الاحتمالات والهندسة . درس لفترة مع بيتر غوستاف ليجون ديريشلي ، وأصبحا صديقين حميمين. ونظرًا لوجود بعض الثغرات في معرفته الرياضية، درس الدوال الإهليلجية والأبيلية . ومع ذلك ، كان أيضًا أول من حاضر في غوتينغن حول نظرية غالوا . وفي ذلك الوقت تقريبًا، أصبح من أوائل من أدركوا أهمية مفهوم الزمر في الجبر والحساب .

في عام ١٨٥٨، بدأ التدريس في مدرسة البوليتكنيك في زيورخ (التي تُعرف الآن باسم المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ). وعندما رُقّيَت كلية كارولينوم إلى معهد تقني في عام ١٨٦٢، عاد ديديكيند إلى مسقط رأسه براونشفايغ، حيث أمضى بقية حياته يُدرّس في المعهد. تقاعد عام ١٨٩٤، لكنه استمر في التدريس بين الحين والآخر، وواصل النشر. لم يتزوج قط، بل عاش مع أخته جوليا.

انتُخب ديديكيند لعضوية أكاديميات برلين (1880) وروما، وللأكاديمية الفرنسية للعلوم (1900 ) . وحصل على شهادات دكتوراه فخرية من جامعات أوسلو وزيورخ وبراونشفايغ .

أثناء تدريسه حساب التفاضل والتكامل لأول مرة في المدرسة البوليتكنيكية ، طور ديديكيند المفهوم المعروف الآن باسم قطع ديديكيند (بالألمانية: Schnitt )، وهو تعريف قياسي للأعداد الحقيقية. تقوم فكرة القطع على أن العدد غير النسبي يقسم الأعداد النسبية إلى فئتين ( مجموعتين )، حيث تكون جميع أعداد إحدى الفئتين (الأكبر) أكبر تمامًا من جميع أعداد الفئة الأخرى (الأصغر). على سبيل المثال، يُعرّف الجذر التربيعي للعدد 2 جميع الأعداد غير السالبة التي مربعاتها أقل من 2 والأعداد السالبة في الفئة الأصغر، والأعداد الموجبة التي مربعاتها أكبر من 2 في الفئة الأكبر. يحتوي كل موقع على خط الأعداد المتصل إما على عدد نسبي أو عدد غير نسبي. وبالتالي، لا توجد مواقع فارغة أو فجوات أو انقطاعات. نشر ديديكيند أفكاره حول الأعداد غير النسبية وقطع ديديكيند في كُتيبه "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("الاستمرارية والأعداد غير النسبية"). ^{[ 3 ]} في المصطلحات الحديثة، Vollständigkeit ، الاكتمال .

عرّف ديديكيند مجموعتين بأنهما "متشابهتان" عندما توجد بينهما علاقة تناظر أحادي . ^{[ 4 ]} وقد استند إلى التشابه ليقدم أول ^{[ 5 ]} تعريف دقيق للمجموعة اللانهائية : فالمجموعة تكون لانهائية عندما تكون "متشابهة مع جزء حقيقي منها"، ^{[ 6 ]} أو، بتعبير حديث، مكافئة في عدد عناصرها لإحدى مجموعاتها الجزئية الحقيقية . وبالتالي، يمكن إثبات أن مجموعة الأعداد الطبيعية N متشابهة مع المجموعة الجزئية من N التي عناصرها هي مربعات جميع عناصر N ، ( N → N² ⁾ .

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... ↓ N 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...                         

مهّد عمل ديديكيند في هذا المجال الطريق أمام عمل جورج كانتور ، الذي يُعتبر مؤسس نظرية المجموعات . وبالمثل، مهّدت إسهاماته في أسس الرياضيات الطريق أمام أعمال لاحقة لكبار أنصار المنطق ، مثل غوتلوب فريجه وبرتراند راسل .

قام ديديكيند بتحرير الأعمال الكاملة لكل من ليجون ديريشليه ، وجاوس ، وريمان . وقد قادته دراسة ديديكيند لأعمال ليجون ديريشليه إلى دراسته اللاحقة لحقول الأعداد الجبرية والمُثُل . وفي عام 1863، نشر محاضرات ليجون ديريشليه حول نظرية الأعداد تحت عنوان "محاضرات في نظرية الأعداد" (Vorlesungen über Zahlentheorie ) ، وقد كُتب عنها ما يلي:

على الرغم من أن الكتاب يستند بالتأكيد إلى محاضرات ديريشليه، وعلى الرغم من أن ديديكيند نفسه أشار إلى الكتاب طوال حياته على أنه كتاب ديريشليه، إلا أن الكتاب نفسه كتبه ديديكيند بالكامل، في معظمه بعد وفاة ديريشليه.

في هذه الفترة الزمنية، طوّر ديديكيند مفهوم القطع عام 1872. ^{[ 7 ]} تضمنت طبعتا محاضرات ديديكيند لعامي 1879 و1894 ملاحق تُعرّف بمفهوم المثالي، وهو مفهوم أساسي في نظرية الحلقات . (كلمة "حلقة"، التي أدخلها هيلبرت لاحقًا ، لا تظهر في أعمال ديديكيند). عرّف ديديكيند المثالي بأنه مجموعة جزئية من مجموعة أعداد، تتألف من أعداد صحيحة جبرية تُحقق معادلات متعددة الحدود بمعاملات صحيحة . خضع هذا المفهوم لمزيد من التطوير على يد هيلبرت، وخاصةً إيمي نوثر . تُعمّم المُثُل أعداد المثالي التي وضعها إرنست إدوارد كومر ، كجزء من محاولته عام 1843 لإثبات نظرية فيرما الأخيرة . (وبالتالي يمكن القول أن ديديكيند كان أهم تلاميذ كومر.) في مقال نُشر عام 1882، قام ديديكيند وهينريش مارتن ويبر بتطبيق المُثُل على أسطح ريمان ، مما أدى إلى تقديم برهان جبري لنظرية ريمان-روخ .

في عام ١٨٨٨، نشر دراسة موجزة بعنوان "ما هي الأعداد وما فائدتها؟" (إيوالد ١٩٩٦: ٧٩٠)، [ ^{٨ ] تضمنت} تعريفه للمجموعة اللانهائية . كما اقترح أساسًا بديهيًا للأعداد الطبيعية، حيث تمثلت مفاهيمها الأولية في العدد واحد ودالة التالي . وفي العام التالي، صاغ جوزيبي بيانو ، مستشهدًا بديديكيند، مجموعة بديهيات مكافئة ولكنها أبسط ، وهي البديهيات المعيارية الحالية.

قدّم ديديكيند إسهامات أخرى في علم الجبر . فعلى سبيل المثال، كتب حوالي عام 1900 أولى الأبحاث حول الشبكات النمطية . وفي عام 1872، أثناء قضائه عطلة في إنترلاكن ، التقى ديديكيند بجورج كانتور . وساعد ديديكيند كانتور في مناقشاته مع ليوبولد كرونكر ، الذي كان يعارض فلسفيًا نظرية كانتور عن الأعداد المتسامية . ^{[ 9 ]} وتشير نتائج حديثة لمراسلات سابقة إلى أن كانتور انتحل برهان ديديكيند على اللانهاية، مما أدى إلى توتر العلاقة بينهما. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

الأدبيات الأساسية باللغة الإنجليزية:

• 1890. "رسالة إلى كيفرشتاين" في جان فان هيجينورت ، 1967. كتاب مصادر في المنطق الرياضي، 1879-1931 . مطبعة جامعة هارفارد: 98-103.
• 1963 (1901). مقالات عن نظرية الأعداد . بيمان، WW، أد. وعبر. دوفر. يحتوي على ترجمات إنجليزية لكتابي Stetigkeit und irrationale Zahlen و Was sind und Was sollen die Zahlen؟
• 1996. نظرية الأعداد الصحيحة الجبرية . ستيلويل، جون ، أد. وعبر. جامعة كامبريدج. يضعط. ترجمة لـ Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen .
• إيوالد، ويليام ب.، محرر، 1996. من كانط إلى هيلبرت: كتاب مصادر في أسس الرياضيات ، مجلدان. ​​مطبعة جامعة أكسفورد.
  • 1854. "حول إدخال وظائف جديدة في الرياضيات"، 754-61.
  • 1872. "الاستمرارية والأعداد غير النسبية"، 765-778. (ترجمة Stetigkeit... )
  • 1888. ما هي الأرقام وماذا ينبغي أن تكون؟، 787-832. (ترجمة لكتاب Was sind und... )
  • 1872–82، 1899. مراسلات مع كانتور، 843–77، 930–40.

المصادر الأولية باللغة الألمانية:

• Gesammelte mathematische Werke (الأعمال الرياضية الكاملة، المجلد 1–3). ^{[ 12 ]} تم استرجاعه في 5 أغسطس 2009.

• قائمة الأشياء التي سُميت على اسم ريتشارد ديديكيند
• ديديكيند كت
• نطاق ديديكيند
• دالة إيتا ديديكيند
• مجموعة ديديكيند اللانهائية
• رقم ديديكيند
• دالة ديديكيند النفسية
• ديديكيند سوم
• دالة زيتا لديديكيند
• مثالي (نظرية الحلقة)

• بيرمان، كورت-ر (2008). "ديديكيند، (يوليوس فيلهلم) ريتشارد". القاموس الكامل للسير العلمية . المجلد  4. ديترويت: تشارلز سكريبنر وأولاده. الصفحات 1-5 . ISBN  978-0-684-31559-1.

• إدواردز، هارولد م. (1983). "اختراع ديديكيند للمُثُل" . نشرة الجمعية الرياضية في لندن . 15 (1): 8-17 . doi : 10.1112/blms/15.1.8 .
• ويليام إيفرديل (1998). رواد الحداثة الأوائل . شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو . ISBN 0-226-22480-5.
• جيليس، دونالد أ.، 1982. فريج، ديديكيند، وبينو على أسس الحساب . أسن، هولندا: فان جوركوم.
• فيريروس، خوسيه، 2007. متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الرياضيات الحديثة . بازل: بيركهاوزر، الفصول 3 و4 و7.
• غراتان-غينيس، آي. (2000). البحث عن الجذور الرياضية: 1870-1940 . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-05858-0.

توجد قائمة مراجع إلكترونية للأدبيات الثانوية المتعلقة بديديكيند. كما يُنصح بالاطلاع على كتاب ستيلويل "مقدمة إلى ديديكيند" (1996).

• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "ريتشارد ديديكيند" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• أعمال ريتشارد ديديكيند في مشروع غوتنبرغ
• أعمال من تأليف أو عن ريتشارد ديديكيند في أرشيف الإنترنت
• ديديكيند، ريتشارد، مقالات في نظرية الأعداد. دار نشر أوبن كورت، شيكاغو، 1901. ( موجود في أرشيف الإنترنت)
• مساهمات ديديكيند في أسس الرياضيات http://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/ .
• قصة السرقة اللانهائية "الرحلة الشاقة لدمج مفهوم اللانهاية في أسس الرياضيات" التي تضم جورج كانتور ، ديديكيند، ليوبولد كرونكر وآخرين.