متعدد الحدود الأدنى (نظرية المجال)

متعددة الحدود الدنيا${\displaystyle f}$ل${\displaystyle \alpha }$فريد من نوعه.

ولإثبات ذلك، افترض أن${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هي كثيرات حدود أحادية في${\displaystyle J_{\alpha }}$من الدرجة الدنيا${\displaystyle n>0}$لدينا ذلك${\displaystyle r:=fg\in J_{\alpha }}$(لأن الأخيرة مغلقة تحت عمليتي الجمع والطرح) وأن${\displaystyle m:=\deg(r)<n}$(لأن كثيرات الحدود أحادية من نفس الدرجة). إذا${\displaystyle r}$إذا لم يكن صفرًا، فإن${\displaystyle r/c_{m}}$(كتابة${\displaystyle c_{m}\in F}$بالنسبة للمعامل غير الصفري لأعلى درجة في${\displaystyle r}$) هو متعدد حدود أحادي من الدرجة${\displaystyle m<n}$بحيث${\displaystyle r/c_{m}\in J_{\alpha }}$(لأن الأخيرة مغلقة تحت الضرب/القسمة على عناصر غير صفرية من${\displaystyle F}$وهذا يتناقض مع افتراضنا الأصلي للحد الأدنى لـ${\displaystyle n}$نستنتج أن${\displaystyle 0=r=fg}$أي أن${\displaystyle f=g}$.

متعددة الحدود الدنيا${\displaystyle f}$ل${\displaystyle \alpha }$غير قابلة للاختزال، أي لا يمكن تحليلها إلى عوامل.${\displaystyle f=gh}$لكثيرتي حدود${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$من درجة أدنى تماماً.

ولإثبات ذلك، لاحظ أولاً أن أي تحليل إلى عوامل${\displaystyle f=gh}$يشير ذلك إلى أن إما${\displaystyle g(\alpha )=0}$أو${\displaystyle h(\alpha )=0}$، لأن${\displaystyle f(\alpha )=0}$و${\displaystyle F}$هو حقل (وبالتالي هو أيضًا مجال تكاملي ). اختيار كليهما${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$أن تكون من درجة أقل بكثير من${\displaystyle f}$سيتعارض ذلك مع شرط الحد الأدنى على${\displaystyle f}$، لذا${\displaystyle f}$يجب أن يكون غير قابل للاختزال.

متعددة الحدود الدنيا${\displaystyle f}$ل${\displaystyle \alpha }$يُنتج الوضع الأمثل${\displaystyle J_{\alpha }}$أي كل${\displaystyle g}$في${\displaystyle J_{\alpha }}$يمكن تحليلها إلى عوامل كما يلي:${\displaystyle g=fh}$بالنسبة للبعض${\displaystyle h}$في${\displaystyle F[x]}$.

ولإثبات ذلك، يكفي أن نلاحظ أن${\displaystyle F[x]}$هو مجال مثالي رئيسي ، لأن${\displaystyle F}$هو مجال: وهذا يعني أن كل مثال${\displaystyle I}$في${\displaystyle F[x]}$،${\displaystyle J_{\alpha }}$من بينها، يتم توليدها بواسطة عنصر واحد${\displaystyle f}$باستثناء الحالة المثالية الصفرية${\displaystyle I=\{0\}}$المولد${\displaystyle f}$يجب أن تكون غير صفرية، ويجب أن تكون متعددة الحدود الوحيدة ذات الدرجة الدنيا، حتى عامل في${\displaystyle F}$(لأن درجة${\displaystyle fg}$أكبر بكثير من حجم${\displaystyle f}$حينما${\displaystyle g}$(من درجة أكبر من الصفر). على وجه الخصوص، يوجد مولد أحادي فريد${\displaystyle f}$ويجب أن تكون جميع المولدات غير قابلة للاختزال. عندما${\displaystyle I}$يتم اختياره ليكون${\displaystyle J_{\alpha }}$، ل${\displaystyle \alpha }$جبري على${\displaystyle F}$ثم مولد الصوت الأحادي${\displaystyle f}$هي متعددة الحدود الدنيا لـ${\displaystyle \alpha }$.

بافتراض امتداد غالوا${\displaystyle L/K}$، الحد الأدنى لكثير الحدود لأي${\displaystyle \alpha \in L}$ليس في${\displaystyle K}$يمكن حسابها على النحو التالي $${\displaystyle f(x)=\prod _{\sigma \in {\text{Gal}}(L/K)}(x-\sigma (\alpha ))}$$ لو${\displaystyle \alpha }$لا يحتوي على مُثبِّتات في فعل غالوا. ولأنه غير قابل للاختزال، وهو ما يمكن استنتاجه من خلال النظر إلى جذور${\displaystyle f'}$إنها أبسط متعددة حدود. لاحظ أنه يمكن إيجاد صيغة مماثلة باستبدال${\displaystyle G={\text{Gal}}(L/K)}$مع${\displaystyle G/N}$أين${\displaystyle N={\text{Stab}}(\alpha )}$هي مجموعة المثبتات لـ${\displaystyle \alpha }$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \alpha \in K}$ثم يكون مُثبِّتُّه هو${\displaystyle G}$، لذلك${\displaystyle (x-\alpha )}$هو متعدد الحدود الأدنى له.

لو${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ثم متعددة الحدود الدنيا في${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$يكون${\displaystyle a(x)=x^{4}-10x^{2}+1=(x-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}$.

لاحظ إذا${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ثم حركة غالوا${\displaystyle {\sqrt {3}}}$يستقر${\displaystyle \alpha }$وبالتالي، يمكن إيجاد متعددة الحدود الدنيا باستخدام مجموعة القسمة.${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )/{\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )}$.

كثيرات الحدود الدنيا في${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$جذور الوحدة هي كثيرات الحدود الدائرية . جذور كثيرة الحدود الدنيا لـ 2cos(2π/n) هي ضعف الجزء الحقيقي من جذور الوحدة الأولية.

متعددة الحدود الدنيا في${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$مجموع الجذور التربيعية للأول${\displaystyle n}$يتم بناء الأعداد الأولية بشكل مماثل، وتسمى متعددة حدود سوينرتون-داير .