ترتيب أحادي الحد

يُتيح اختيار الترتيب الكلي للحدود الأحادية ترتيب حدود كثيرة الحدود. وبالتالي، فإن الحد الرئيسي في كثيرة الحدود هو حد أكبر حد أحادي (وفقًا لترتيب الحدود الأحادية المُختار).

بصورةٍ أدق، ليكن R أي حلقة من كثيرات الحدود. عندئذٍ، تُشكّل مجموعة M من أحاديات الحدود (المونيكية) في R أساسًا لـ R ، باعتبارها فضاءً متجهيًا على حقل المعاملات. وبالتالي، فإن أي كثيرة حدود غير صفرية p في R لها تعبير وحيد ${\displaystyle p=\textstyle \sum _{u\in S}c_{u}u}$ كتركيبة خطية من أحاديات الحدود، حيث S مجموعة جزئية منتهية من M وجميع قيم c _u غير صفرية. عند اختيار رتبة أحادية الحد، تكون أحادية الحد الرئيسية هي أكبر قيمة u في S ، والمعامل الرئيسي هو c _u المقابل ، والحد الرئيسي هو c _u u المقابل . يُستخدم مصطلح "أحادية الحد/المعامل/الحد الرئيسي " أحيانًا كمرادف لكلمة "رئيسي". يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "أحادية الحد" بدلًا من "حد" و"حاصل ضرب القوى" بدلًا من "أحادية الحد". في هذه المقالة، يُفترض أن أحادية الحد لا تتضمن معاملًا.

تُشير الخاصية المميزة لترتيب أحاديات الحدود إلى أن ترتيب الحدود يبقى كما هو عند ضرب كثيرة حدود في أحادية حدود. كذلك، فإن الحد الرئيسي في حاصل ضرب كثيرتي حدود هو حاصل ضرب الحدين الرئيسيين للعوامل.

يُقارن الترتيب المعجمي (lex) أولًا أسس x1 في أحاديات الحدود _، وفي حالة التساوي يُقارن أسس x2 _، وهكذا. ويُشتق الاسم من التشابه مع الترتيب الأبجدي المعتاد في المعاجم ، إذا مُثّلت أحاديات الحدود بتسلسل أسس المجاهيل. وإذا كان عدد المجاهيل ثابتًا (كما هو الحال عادةً)، يكون الترتيب المعجمي ترتيبًا جيدًا ، مع أن هذا لا ينطبق على الترتيب المعجمي المُطبق على متواليات ذات أطوال مختلفة.

بالنسبة للحدود الجبرية من الدرجة الثانية على الأكثر في متغيرين غير محددين${\displaystyle x_{1},x_{2}}$، الترتيب المعجمي (مع${\displaystyle x_{1}>x_{2}}$) يكون

$${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{1}>x_{2}^{2}>x_{2}>1.}$$

بالنسبة لحسابات أساس جروبنر ، يميل الترتيب المعجمي إلى أن يكون الأكثر تكلفة؛ لذلك ينبغي تجنبه قدر الإمكان، باستثناء الحسابات البسيطة للغاية.

يقارن الترتيب المعجمي المتدرج (grlex، أو deglex اختصارًا للترتيب المعجمي للدرجة ) أولًا الدرجة الكلية (مجموع جميع الأسس)، وفي حالة التعادل، يُطبق الترتيب المعجمي. هذا الترتيب ليس فقط ترتيبًا جيدًا، بل يتميز أيضًا بأن أي حد أحادي يسبقه عدد محدود فقط من الحدود الأحادية الأخرى؛ وهذا ليس هو الحال في الترتيب المعجمي، حيث تكون جميع قوى y (التي لا حصر لها) أقل من x (وإن كان الترتيب المعجمي ترتيبًا جيدًا، فإن ذلك يعود إلى استحالة إنشاء سلسلة تناقصية لا نهائية من الحدود الأحادية).

بالنسبة للحدود الجبرية من الدرجة الثانية على الأكثر في متغيرين غير محددين${\displaystyle x_{1},x_{2}}$، الترتيب المعجمي المتدرج (مع${\displaystyle x_{1}>x_{2}}$) يكون

$${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{2}^{2}>x_{1}>x_{2}>1.}$$

على الرغم من أنها طبيعية للغاية، إلا أن هذا الترتيب نادرًا ما يستخدم: أساس جروبنر للترتيب المعجمي العكسي المتدرج، والذي يليه، أسهل في الحساب ويوفر نفس المعلومات حول مجموعة المدخلات من كثيرات الحدود.

يقارن الترتيب المعجمي العكسي المتدرج (grevlex، أو degrevlex اختصارًا لترتيب الدرجة المعجمي العكسي ) الدرجة الكلية أولًا، ثم يستخدم ترتيبًا معجميًا لحسم التعادل، ولكنه يعكس نتيجة المقارنة المعجمية بحيث تُعتبر أحاديات الحدود الأكبر معجميًا من نفس الدرجة أصغر degrevlex. ولكي يُظهر الترتيب النهائي الترتيب التقليدي x1 _> x2 > ... > xn _{للمجهولات} ، من الضروري أيضًا أن يعتبر الترتيب المعجمي لحسم التعادل قبل العكس آخر مجهول xn هو الأكبر، مما يعني أنه يجب أن يبدأ _بهذا المجهول _. وبالتالي فإن الوصفة الملموسة للترتيب المعجمي العكسي المتدرج هي المقارنة حسب الدرجة الكلية أولاً، ثم مقارنة أسس آخر غير محدد x _n ولكن عكس النتيجة (بحيث يكون الحد الأحادي ذو الأس الأصغر أكبر في الترتيب)، متبوعًا (كما هو الحال دائمًا فقط في حالة التعادل) بمقارنة مماثلة لـ x _{n −1} ، وهكذا ينتهي بـ x ₁ .

الاختلافات بين الترتيب المعجمي المتدرج والترتيب المعجمي العكسي المتدرج دقيقة، إذ تتطابق في الواقع بالنسبة للمجهولين من الدرجة الأولى والثانية. ويكمن الاختلاف الأول في أحاديات الدرجة الثانية في ثلاثة مجاهيل، والتي تُرتَّب معجميًا متدرجًا على النحو التالي:${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}^{2}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}}$لكن تم ترتيبها معجميًا عكسيًا على النحو التالي:${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{2}^{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}}$الاتجاه العام هو أن الترتيب العكسي يُظهر جميع المتغيرات بين أحاديات الحدود الصغيرة من أي درجة معينة، بينما مع الترتيب غير العكسي، فإن فترات أحاديات الحدود الأصغر من أي درجة معينة ستتكون فقط من أصغر المتغيرات.

يمكن تعريف ترتيب الكتل أو ترتيب الحذف (lexdeg) لأي عدد من الكتل، ولكن لتبسيط الأمر، سنقتصر على حالة كتلتين فقط (مع ذلك، إذا كان عدد الكتل مساويًا لعدد المتغيرات، فإن هذا الترتيب هو ببساطة الترتيب المعجمي). في هذا الترتيب، تُقسّم المتغيرات إلى كتلتين _x₁ , ..., xₙ و y₁ _, ..., yₖ _{، ويُختار ترتيب أحادي الحد لكل كتلة، وعادةً ما يكون} الترتيب المعجمي العكسي المتدرج. تُقارن أحاديتا حد بمقارنة الجزء x الخاص بهما ، وفي حالة التعادل، تُقارن بمقارنة الجزء y الخاص بهما . هذا الترتيب مهم لأنه يسمح بالحذف ، وهي عملية تُقابل الإسقاط في الهندسة الجبرية .

يعتمد ترتيب الوزن على متجه${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}}$يُسمى متجه الوزن. تُقارن أولًا حاصل الضرب النقطي لمتتاليات الأسس للحدود الأحادية مع متجه الوزن هذا، وفي حالة التعادل، يُستخدم ترتيب ثابت آخر للحدود الأحادية. على سبيل المثال، الترتيبات المتدرجة أعلاه هي ترتيبات وزن لمتجه الوزن "الدرجة الكلية" (1، 1، ...، 1). إذا كانت aᵢ أعدادًا مستقلة نسبيًا (أي لا يساوي أي منها صفرًا، وجميع الكسور موجبة)، فإن _{aᵢ = 1.}${\displaystyle {\tfrac {a_{i}}{a_{j}}}}$إذا كانت القيم غير نسبية، فلا يمكن أن يحدث تعادل، ويحدد متجه الوزن نفسه ترتيبًا أحادي الحد. في الحالة المعاكسة، يمكن استخدام متجه وزن آخر لكسر التعادل، وهكذا؛ بعد استخدام n متجه وزن مستقل خطيًا، لا يمكن أن يتبقى أي تعادل. في الواقع، يمكن تعريف أي ترتيب أحادي الحد بواسطة سلسلة من متجهات الوزن ( Cox et al.، الصفحات  72-73)، على سبيل المثال (1,0,0,...,0)، (0,1,0,...,0)، ... (0,0,...,1) لـ lex، أو (1,1,1,...,1)، (1,1,..., 1,0)، ... (1,0,...,0) لـ grevlex.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك أحاديات الحدود${\displaystyle xy^{2}z}$،${\displaystyle z^{2}}$،${\displaystyle x^{3}}$، و${\displaystyle x^{2}z^{2}}$; ترتيبات أحاديات الحدود المذكورة أعلاه سترتب هذه الأحاديات الأربع على النحو التالي:

• ليكس:${\displaystyle x^{3}>x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}}$(قوة${\displaystyle x}$يهيمن).
• جرليكس:${\displaystyle x^{2}z^{2}>xy^{2}z>x^{3}>z^{2}}$(الدرجة الكلية هي السائدة؛ قوة أعلى من${\displaystyle x}$(حسم التعادل بين أول اثنين).
• جريفليكس:${\displaystyle xy^{2}z>x^{2}z^{2}>x^{3}>z^{2}}$(الدرجة الكلية هي السائدة؛ قوة أقل من${\displaystyle z}$(حسم التعادل بين أول اثنين).
• ترتيب الأوزان مع متجه الأوزان (1، 2، 4):${\displaystyle x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}>x^{3}}$(الضرب النقطي 10 > 9 > 8 > 3 لا يترك أي تعادل ليتم كسره هنا).