رقم موتزكين

في الرياضيات ، يُعرف عدد موتزكين النوني بأنه عدد الطرق المختلفة لرسم أوتار غير متقاطعة بين ن نقطة على دائرة (لا يشترط أن تلامس كل نقطة وترًا). سُميت أعداد موتزكين نسبةً إلى ثيودور موتزكين ، ولها تطبيقات متنوعة في الهندسة ، والتوافقية، ونظرية الأعداد .

أرقام موتزكين${\displaystyle M_{n}}$ل${\displaystyle n=0,1,\dots }$شكّل التسلسل:

1، 1 ، 2 ، 4 ، 9 ، 21 ، 51 ، 127 ، 323، 835، ... (التسلسل A001006 في OEIS )

يوضح الشكل التالي الطرق التسع لرسم أوتار غير متقاطعة بين 4 نقاط على دائرة ( M ₄ = 9 ):

يوضح الشكل التالي الطرق الـ 21 لرسم أوتار غير متقاطعة بين 5 نقاط على دائرة ( M ₅ = 21 ):

تحقق أعداد موتزكين علاقات التكرار

${\displaystyle M_{n}=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}M_{i}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}M_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}M_{n-2}.}$

يمكن التعبير عن أعداد موتزكين بدلالة معاملات ذات الحدين وأعداد كاتالان :

${\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C_{k},}$

وبالعكس، ^{[ 1 ]}

${\displaystyle C_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}M_{k}}$

هذا يعطي

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C_{k}=1+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}M_{k-1}.}$

الدالة المولدة${\displaystyle m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}}$من أعداد موتزكين التي تحقق

${\displaystyle x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0}$

ويُعبَّر عنه صراحةً على النحو التالي:

${\displaystyle m(x)={\frac {1-x-{\sqrt {1-2x-3x^{2}}}}{2x^{2}}}.}$

يُعطى التمثيل التكاملي لأعداد موتزكين بالصيغة التالية:

${\displaystyle M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx}$.

لديهم سلوك تقاربي

${\displaystyle M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty }$.

العدد الأولي لموتزكين هو عدد موتزكين يكون أوليًا . وهناك أربعة أعداد أولية معروفة من هذا النوع:

2, 127, 15511, 953467954114363 (التسلسل A092832 في OEIS )

عدد موتزكين لـ n هو أيضًا عدد متتابعات الأعداد الصحيحة الموجبة التي يبلغ طولها n − 1 والتي يكون فيها العنصران الافتتاحي والنهائي إما 1 أو 2، والفرق بين أي عنصرين متتاليين هو − 1 أو 0 أو 1. وبالمثل، فإن عدد موتزكين لـ n هو عدد متتابعات الأعداد الصحيحة الموجبة التي يبلغ طولها n + 1 والتي يكون فيها العنصران الافتتاحي والنهائي 1، والفرق بين أي عنصرين متتاليين هو − 1 أو 0 أو 1.

كذلك، فإن رقم موتزكين لـ n يعطي عدد المسارات في الربع العلوي الأيمن من الشبكة من الإحداثي (0، 0) إلى الإحداثي ( n ، 0) في n خطوة إذا سُمح للمرء بالتحرك فقط إلى اليمين (أعلى، أسفل أو بشكل مستقيم) في كل خطوة ولكن مُنع من الانخفاض أسفل المحور y = 0.

على سبيل المثال، يوضح الشكل التالي مسارات موتزكين التسعة الصحيحة من (0، 0) إلى (4، 0):

توجد أربعة عشر شكلاً مختلفاً على الأقل لأعداد موتزكين في فروع مختلفة من الرياضيات، كما ذكر دوناغي وشابيرو (1977) في دراستهما لأعداد موتزكين. وقد أظهر غيبيرت وبيرغولا وبينزاني (2001) أن الالتفافات المتقاطعة تُحصى بواسطة أعداد موتزكين.

• رقم الهاتف الذي يمثل عدد طرق رسم الأوتار إذا سُمح بالتقاطعات
• رقم ديلانوي
• رقم نارايانا
• رقم شرودر

• برنهارت، فرانك ر. (1999)، "أعداد كاتالان، موتزكين، وريوردان"، الرياضيات المتقطعة ، 204 ( 1-3 ): 73-112 ، doi : 10.1016/S0012-365X(99)00054-0
• دوناغي، ر.؛ شابيرو، ل. و. (1977)، "أعداد موتزكين"، مجلة نظرية التوافيق ، السلسلة أ، 23 (3): 291-301 ، doi : 10.1016/0097-3165(77)90020-6 ، MR 0505544 
• غيبير، أو.؛ ​​بيرغولا، إي.؛ بينزاني، ر. (2001)، "يتم تعداد الالتفافات الشعاعية بواسطة أعداد موتزكين"، حوليات التوافقية ، 5 (2): 153-174 ، doi : 10.1007/PL00001297 ، ISSN 0218-0006 ، MR 1904383 ، S2CID 123053532   
• موتزكين، تي إس (1948)، "العلاقات بين النسب التبادلية للأسطح الفائقة، وصيغة توافقية لتقسيمات المضلع، وللغلبة الدائمة، وللحاصلات غير التجميعية"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 54 (4): 352-360 ، doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09002-4

• وايسشتاين، إريك دبليو. "عدد موتزكين" . عالم الرياضيات .