تحليل متعدد المقاييس

كمثال على طريقة التحليل متعدد المقاييس، ضع في اعتبارك معادلة دافينغ غير المخمدة وغير القسرية : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\varepsilon y^{3}=0,}$$$${\displaystyle y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}}(0)=0,}$$ وهي معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية تصف مذبذبًا غير خطي . يُبحث عن حل y ( t ) لقيم صغيرة لمعامل اللاخطية (الموجب) 0 < ε ≪ 1. من المعروف أن معادلة دافينغ غير المخمدة هي نظام هاميلتوني .     $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ مع }}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},}$$ بفرض أن q  = y ( t ) و p = dy / dt ، فإن الهاميلتوني H ( p , q ) كمية محفوظة، أي ثابت، يساوي H₀ ₌ ½ + ¼ε للشروط الابتدائية المعطاة . وهذا يعني أن كلاً من q و p يجب أن يكونا محدودين .          $${\displaystyle \left|q\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ و }}\quad \left|p\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ لجميع }}t.}$$يتم إيجاد الحد الأقصى لـ q عن طريق مساواة H مع p = 0 بـ H ₀ :${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon }$ثم حذف الحد q ^4. هذا بالفعل حد أعلى لـ |q|، مع أن الإبقاء على الحد q ⁴ يعطي حدًا أصغر بصيغة أكثر تعقيدًا.

تعتمد طريقة سلسلة الاضطراب المنتظم لحل المشكلة على كتابة${\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$ثمّ تعويض ذلك في معادلة دافينغ غير المخمّدة. مطابقة قوى${\textstyle \varepsilon }$يعطي نظام المعادلات $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y_{0}}{dt^{2}}}+y_{0}&=0,\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+y_{1}&=-y_{0}^{3}.\end{aligned}}}$$

حل هذه المعادلات مع مراعاة الشروط الابتدائية ينتج عنه $${\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{secular}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

لاحظ أن الحد الأخير بين القوسين المربعين هو حدٌّ متنامي بلا حدود: فهو ينمو بلا حدود لقيم | t | الكبيرة. على وجه الخصوص، بالنسبة لـ${\displaystyle t=O(\varepsilon ^{-1})}$هذا الحد من الرتبة O (1) وله نفس رتبة مقدار الحد الرئيسي . ولأن الحدود أصبحت غير منتظمة، فإن المتسلسلة لم تعد تمثل توسعًا تقاربيًا للحل.

لبناء حل صالح يتجاوز${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-1})}$، يتم استخدام طريقة التحليل متعدد المقاييس . أدخل المقياس البطيء t ₁ : $${\displaystyle t_{1}=\varepsilon t}$$ وافترض أن الحل y ( t ) هو حل سلسلة اضطراب يعتمد على كل من t و t ₁ ، ويتم التعامل معه على النحو التالي: $${\displaystyle y(t)=Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .}$$

لذا: $$\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&=\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&={\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\end{aligned}}}$$ باستخدام dt ₁ / dt  = ε . وبالمثل:  $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

عندئذٍ تصبح مسائل الرتبة الصفرية والأولى لسلسلة الاضطراب متعددة المقاييس لمعادلة دافينغ كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}.\end{aligned}}}$$

للمسألة من الرتبة الصفرية حل عام: $${\displaystyle Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it},}$$ حيث A ( t, ₁ ) هي سعة ذات قيمة مركبة للحل من الرتبة الصفرية Y₀ ( t , t₁ ₎ و i₂ = ^-1 . الآن، في مسألة الرتبة الأولى، تكون القوة في _الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية هي    $${\displaystyle \left[-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.c.}$$ حيث يرمز cc إلى المرافق المركب للحدود السابقة. ويمكن منع ظهور الحدود العلمانية بفرض شرط قابلية الحل على السعة A ( t1 ) - غير المعروفة حتى الآن _.$${\displaystyle -3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}=0.}$$

الحل لشرط قابلية الحل، والذي يحقق أيضًا الشروط الأولية y (0) = 1 و dy / dt (0) = 0 ، هو: $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\,\exp \left({\tfrac {3}{8}}\,i\,t_{1}\right).}$$

ونتيجة لذلك، فإن الحل التقريبي الذي تم التوصل إليه من خلال تحليل المقاييس المتعددة هو $${\displaystyle y(t)=\cos \left[\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)t\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$ باستخدام t ₁ = εt وهو صالح لـ εt = O(1) . يتوافق هذا مع تغيرات التردد غير الخطية التي تم التوصل إليها باستخدام طريقة ليندستيدت-بوانكاريه .

هذا الحل الجديد ساري المفعول حتى${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-2})}$تتطلب الحلول ذات الرتبة الأعلى - باستخدام طريقة المقاييس المتعددة - إدخال مقاييس بطيئة إضافية، أي t₂ = ε₂t ، و ^t₃ = ε₃t _، وما ^{إلى ذلك} _. ومع ذلك، يُدخل هذا غموضًا محتملاً في حل سلسلة الاضطراب، مما يستدعي معالجة دقيقة (انظر كيفوركيان وكول 1996 ؛ بيندر وأورزاج 1999 ). ^{[ 2 ]}

بدلاً من ذلك، تستمد الأساليب الحديثة هذه الأنواع من النماذج باستخدام تحويلات الإحداثيات، كما هو الحال في طريقة الأشكال العادية ، ^{[ 3 ]} كما هو موضح لاحقًا.

حل${\displaystyle y\approx r\cos \theta }$يتم البحث عنها في إحداثيات جديدة${\displaystyle (r,\theta )}$حيث السعة${\displaystyle r(t)}$يتغير ببطء والمرحلة${\displaystyle \theta (t)}$يتغير بمعدل ثابت تقريبًا، أي${\displaystyle d\theta /dt\approx 1.}$تُستخدم عمليات الجبر البسيطة لإيجاد تحويل الإحداثيات$${\displaystyle y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}$$ يحوّل معادلة دافينغ إلى الزوج الذي ينص على أن نصف القطر ثابت${\displaystyle dr/dt=0}$وتتطور المرحلة وفقًا لـ $${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{\frac {15}{256}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3}).}$$

أي أن تذبذبات دافينغ ذات سعة ثابتة${\displaystyle r}$لكن لها ترددات مختلفة${\displaystyle d\theta /dt}$وذلك تبعاً للسعة. ^{[ 4 ]}

تُعالج الأمثلة الأكثر تعقيدًا بشكل أفضل باستخدام تحويل إحداثيات يعتمد على الزمن ويتضمن دوال أسية مركبة (كما هو مستخدم أيضًا في نهج المقاييس الزمنية المتعددة السابق). وستقوم خدمة ويب بإجراء التحليل لمجموعة واسعة من الأمثلة. ^{[ 5 ]}