نظام إحداثيات مركزي

في الهندسة ، يُعرف نظام الإحداثيات الباريسنترية بأنه نظام إحداثيات يُحدد فيه موقع نقطة ما بالرجوع إلى مُجسم بسيط (مثل المثلث للنقاط في المستوى ، أو الهرم الرباعي للنقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، وهكذا). ويمكن تفسير الإحداثيات الباريسنترية لنقطة ما على أنها كتل موضوعة عند رؤوس المُجسم البسيط، بحيث تكون النقطة مركز كتلة هذه الكتل. قد تكون هذه الكتل صفرًا أو سالبة؛ وتكون موجبة فقط إذا وفقط إذا كانت النقطة تقع داخل المُجسم البسيط تمامًا.

لكل نقطة إحداثيات مركزية، ومجموعها لا يساوي صفرًا أبدًا. يُشير زوجان من الإحداثيات المركزية إلى النقطة نفسها إذا وفقط إذا كانا متناسبين؛ أي إذا أمكن الحصول على أحد الزوجين بضرب عناصر الزوج الآخر في العدد نفسه غير الصفري. لذلك، تُعتبر الإحداثيات المركزية إما مُعرّفة حتى الضرب في ثابت غير صفري، أو مُعيّرة بحيث يكون مجموعها واحدًا.

تم تقديم الإحداثيات الباريسنترية بواسطة أوغست موبيوس في عام 1827. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وهي إحداثيات متجانسة خاصة . ترتبط الإحداثيات الباريسنترية ارتباطًا وثيقًا بالإحداثيات الديكارتية ، وبشكل أعم، بالإحداثيات الأفينية .

تُعدّ الإحداثيات الباريسنترية مفيدةً بشكلٍ خاص في هندسة المثلثات لدراسة الخصائص التي لا تعتمد على زوايا المثلث، مثل نظرية سيفا ، ونظرية راوث ، ونظرية مينلاوس . وفي التصميم بمساعدة الحاسوب ، تُستخدم هذه الإحداثيات لتعريف بعض أنواع أسطح بيزير . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

يترك${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}}$لتكن n + 1 نقطة في فضاء إقليدي أو فضاء مسطح أو فضاء أفيني${\displaystyle \mathbf {A} }$النقاط ذات البعد n والمستقلة تآلفيًا ؛ وهذا يعني أنه لا يوجد فضاء تآلفي جزئي ذو بعد n − 1 يحتوي على جميع النقاط، ^{[ 6 ]} أو، بصورة مكافئة، أن النقاط تُعرّف مُعقّدًا بسيطًا . بفرض أي نقطة${\displaystyle P\in \mathbf {A} ,}$هناك كميات قياسية${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$التي ليست جميعها أصفارًا، بحيث $${\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},}$$ لأي نقطة O. (وكما هو معتاد، الترميز)${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}}$يمثل متجه الإزاحة أو المتجه الحر الذي يربط النقطة A بالنقطة B.

عناصر المجموعة ( ن + 1)${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$تُسمى الإحداثيات التي تحقق هذه المعادلة بالإحداثيات الباريسنترية للنقطة P بالنسبة إلى${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}.}$إن استخدام النقطتين الرأسيتين في ترميز المجموعة يعني أن الإحداثيات الباريسنترية هي نوع من الإحداثيات المتجانسة ، أي أن النقطة لا تتغير إذا ضُربت جميع الإحداثيات بنفس الثابت غير الصفري. علاوة على ذلك، لا تتغير الإحداثيات الباريسنترية أيضًا إذا تغيرت النقطة المساعدة O ، وهي نقطة الأصل .

تكون الإحداثيات الباريسنترية لنقطة ما فريدة حتى مقياس معين . أي، زوجان من القيم.${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$و${\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})}$تكون الإحداثيات الباريسنترية لنفس النقطة إذا وفقط إذا كان هناك عدد قياسي غير صفري${\displaystyle \lambda }$بحيث${\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}$لكل i .

في بعض السياقات، يكون من المفيد تقييد الإحداثيات الباريسنترية لنقطة ما بحيث تكون فريدة. ويتحقق ذلك عادةً بفرض الشرط التالي: $${\displaystyle \sum a_{i}=1,}$$ أو ما يعادل ذلك عن طريق قسمة كل${\displaystyle a_{i}}$بمجموع كل${\displaystyle a_{i}.}$تُسمى هذه الإحداثيات الباريسنترية المحددة بالإحداثيات الباريسنترية المعيارية أو المطلقة . ^{[ 7 ]} وفي بعض الأحيان، تُسمى أيضًا بالإحداثيات الأفينية ، على الرغم من أن هذا المصطلح يشير عادةً إلى مفهوم مختلف قليلاً.

أحيانًا، تُسمى الإحداثيات الباريسنترية المعيارية بالإحداثيات الباريسنترية . في هذه الحالة، تُسمى الإحداثيات المذكورة أعلاه بالإحداثيات الباريسنترية المتجانسة .

باستخدام الترميز أعلاه، تكون جميع الإحداثيات الباريسنترية المتجانسة لـ A _i صفرًا، باستثناء الإحداثي ذي الفهرس i . عند العمل على الأعداد الحقيقية (يُستخدم التعريف أعلاه أيضًا للفضاءات الأفينية على حقل اختياري )، فإن النقاط التي تكون جميع إحداثياتها الباريسنترية المعيارية غير سالبة تُشكل الغلاف المحدب لـ${\displaystyle \{A_{0},\ldots ,A_{n}\},}$وهو الشكل البسيط الذي يحتوي على هذه النقاط كرؤوس له.

باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، فإن المجموعة المرتبة${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$بحيث $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}=0}$$ لا يُحدد أي نقطة، بل المتجه $${\displaystyle a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}}}$$ مستقل عن نقطة الأصل O. لأن اتجاه هذا المتجه لا يتغير إذا كان كل${\displaystyle a_{i}}$يتم ضربها بنفس العدد القياسي، وهو الزوج المتجانس${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$يُحدد اتجاه الخطوط، أي نقطة عند اللانهاية . انظر أدناه لمزيد من التفاصيل.

ترتبط الإحداثيات الباريسنترية ارتباطًا وثيقًا بالإحداثيات الديكارتية ، وبشكل أعم، بالإحداثيات الأفينية . بالنسبة لفضاء ذي بُعد n ، تُعرَّف أنظمة الإحداثيات هذه نسبةً إلى نقطة O ، وهي نقطة الأصل ، التي إحداثياتها تساوي صفرًا، و n نقطة أخرى.${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$إحداثياتها تساوي صفرًا باستثناء إحداثيات الفهرس i التي تساوي واحدًا.

للنقطة إحداثيات $${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$ بالنسبة لنظام إحداثيات كهذا، إذا وفقط إذا كانت إحداثياته ​​الباريسنترية المعيارية هي $${\displaystyle (1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots ,x_{n})}$$ بالنسبة للنقاط${\displaystyle O,A_{1},\ldots ,A_{n}.}$

تتمثل الميزة الرئيسية لأنظمة الإحداثيات الباريسنترية في تناظرها حول النقاط المحددة n + 1. ولذلك ، فهي مفيدة غالبًا لدراسة الخصائص المتناظرة حول هذه النقاط . من ناحية أخرى، يصعب التعبير عن المسافات والزوايا في أنظمة الإحداثيات الباريسنترية العامة، وعند الحاجة إليها، يكون استخدام نظام الإحداثيات الديكارتية أسهل عمومًا.

ترتبط الإحداثيات الباريسنترية المتجانسة ارتباطًا وثيقًا ببعض الإحداثيات الإسقاطية . ومع ذلك، فإن هذه العلاقة أكثر تعقيدًا مما هي عليه في حالة الإحداثيات الأفينية، ويتطلب فهمها بوضوح تعريفًا خاليًا من الإحداثيات للإكمال الإسقاطي للفضاء الأفيني ، وتعريفًا للإطار الإسقاطي .

الإكمال الإسقاطي لفضاء أفيني ذي بُعد n هو فضاء إسقاطي من نفس البُعد يحتوي على الفضاء الأفيني كمتمم لمستوى فائق . الإكمال الإسقاطي وحيد حتى التشاكل . يُسمى المستوى الفائق المستوى الفائق عند اللانهاية ، ونقاطه هي نقاط اللانهاية للفضاء الأفيني. ^{[ 8 ]}

بالنظر إلى فضاء إسقاطي ذي بُعد n ، فإن الإطار الإسقاطي هو مجموعة مرتبة من n + 2 نقطة لا تقع في نفس المستوى الفائق. يُعرّف الإطار الإسقاطي نظام إحداثيات إسقاطي بحيث تكون إحداثيات النقطة ( n + 2) في الإطار متساوية، وإلا فإن جميع إحداثيات النقطة i تساوي صفرًا، باستثناء النقطة i نفسها. ^{[ 8 ]}

عند إنشاء الإكمال الإسقاطي من نظام إحداثيات أفيني، يُعرَّف عادةً بالنسبة لإطار إسقاطي يتكون من تقاطعات محاور الإحداثيات مع المستوى الفائق عند اللانهاية ، ونقطة الأصل في الفضاء الأفيني، والنقطة التي تساوي جميع إحداثياتها الأفينية واحدًا. وهذا يعني أن إحداثيات النقاط عند اللانهاية الأخيرة تساوي صفرًا، وأن الإحداثيات الإسقاطية لنقطة في الفضاء الأفيني تُحسب بإكمال إحداثياتها الأفينية بمقدار واحد، أي الإحداثي ( ن + ١) .

عندما يكون لدينا n + 1 نقطة في فضاء أفيني تُحدد نظام إحداثيات مركزي، فإن هذا إطار إسقاطي آخر من الإكمال الإسقاطي يُعدّ مناسبًا للاختيار. يتكون هذا الإطار من هذه النقاط ومركزها ، أي النقطة التي تتساوى جميع إحداثياتها المركزية. في هذه الحالة، تكون الإحداثيات المركزية المتجانسة لنقطة في الفضاء الأفيني هي نفسها الإحداثيات الإسقاطية لهذه النقطة. تقع النقطة في اللانهاية إذا وفقط إذا كان مجموع إحداثياتها يساوي صفرًا. تقع هذه النقطة في اتجاه المتجه المُعرّف في نهاية قسم  التعريف .

في سياق المثلث ، تُعرف الإحداثيات الباريسنترية أيضًا باسم إحداثيات المساحة أو الإحداثيات المساحية ، لأن إحداثيات ⁠${\displaystyle P}$بالنسبة للمثلث​${\displaystyle ABC}$⁠ تعادل النسب (الموجهة) لمساحات ⁠${\displaystyle PBC}$،​​${\displaystyle PCA}$و​​${\displaystyle PAB}$إلى مساحة المثلث المرجعي${\displaystyle ABC}$تُستخدم الإحداثيات المساحية والثلاثية لأغراض مماثلة

تُعد الإحداثيات الباريسنترية أو المساحية مفيدة للغاية في التطبيقات الهندسية التي تتضمن نطاقات فرعية مثلثة . فهي تُسهّل في كثير من الأحيان حساب التكاملات التحليلية، وغالبًا ما تُعرض جداول التربيع الغاوسي بدلالة إحداثيات المساحة.

لنفترض مثلثًا${\displaystyle ABC}$مع رؤوس${\displaystyle A=(a_{1},a_{2})}$،${\displaystyle B=(b_{1},b_{2})}$،${\displaystyle C=(c_{1},c_{2})}$في​${\displaystyle x,y}$-المستوى ،${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يمكن للمرء أن ينظر إلى النقاط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$باعتبارها متجهات، فمن المنطقي جمعها أو طرحها وضربها في قيم قياسية.

كل مثلث${\displaystyle ABC}$لها مساحة محددة أو مساحة محددة ، وهي زائد أو ناقص مساحتها: $${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABC)=\pm \operatorname {area} (ABC).}$$ تكون العلامة إيجابية إذا كان المسار من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$ل${\displaystyle C}$ثم العودة إلى${\displaystyle A}$يدور المسار حول المثلث عكس اتجاه عقارب الساعة. وتكون الإشارة سالبة إذا كان المسار يدور في اتجاه عقارب الساعة.

يترك${\displaystyle P}$لتكن نقطة في المستوى، ولتكن${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$لتكن إحداثياتها الباريسنترية المعيارية بالنسبة للمثلث${\displaystyle ABC}$، لذا $${\displaystyle P=\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C}$$ و $${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}.}$$

إحداثيات مركزية مُعَيَّرة${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$وتسمى أيضاً بالإحداثيات المساحية لأنها تمثل نسب المساحات الموقعة للمثلثات: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{2}&=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{3}&=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).\end{aligned}}}$$

يمكن إثبات صيغ النسب هذه بناءً على حقيقة أن المثلث هو نصف متوازي الأضلاع ، وأن مساحة متوازي الأضلاع يسهل حسابها باستخدام المحدد .

على وجه التحديد، دع $${\displaystyle D=-A+B+C.}$$${\displaystyle ABCD}$هو متوازي أضلاع لأن أزواج أضلاعه المتقابلة، ممثلة بأزواج متجهات الإزاحة.${\displaystyle D-C=B-A}$، و${\displaystyle D-B=C-A}$، متوازية ومتطابقة.

مثلث${\displaystyle ABC}$نصف متوازي الأضلاع${\displaystyle ABDC}$لذا فإن ضعف مساحتها الموقعة يساوي المساحة الموقعة لمتوازي الأضلاع، والتي تُعطى بالعلاقة التالية:${\displaystyle 2\times 2}$المحدد${\displaystyle \det(B-A,C-A)}$أعمدتها هي متجهات الإزاحة${\displaystyle B-A}$و${\displaystyle C-A}$: $${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABCD)=\det {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}&c_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}&c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}$$

بتوسيع المحدد، باستخدام خصائصه المتناوبة والمتعددة الخطية ، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B-A,C-A)&=\det(B,C)-\det(A,C)-\det(B,A)+\det(A,A)\\&=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A)\end{aligned}}}$$ لذا $${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (ABC)=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A).}$$ بصورة مماثلة، $${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (PBC)=\det(P,B)+\det(B,C)+\det(C,P).}$$ للحصول على نسبة هذه المساحات الموقعة، عبّر عن${\displaystyle P}$في الصيغة الثانية بدلالة إحداثياتها الباريسنترية: $${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\det(\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C,B)+\det(B,C)+\det(C,\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{3}\det(C,B)+\det(B,C)+\lambda _{1}\det(C,A)+\lambda _{2}\det(C,B)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{1}\det(C,A)+(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})\det(B,C)\end{aligned}}.}$$ يتم تطبيع الإحداثيات الباريسنترية بحيث${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}$، لذلك ${\displaystyle \lambda _{1}=(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})}$قم بتوصيل ذلك بالسطر السابق للحصول على $${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\lambda _{1}(\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A))\\&=(\lambda _{1})(2\operatorname {sarea} (ABC)).\end{aligned}}}$$ لذلك $${\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC).}$$

تُثبت حسابات مماثلة صحة الصيغتين الأخريين $${\displaystyle \lambda _{2}=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)}$$$${\displaystyle \lambda _{3}=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).}$$

إحداثيات ثلاثية الخطوط${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}$ل${\displaystyle P}$المسافات المحددة${\displaystyle P}$إلى الخطوط${\displaystyle BC}$،​​${\displaystyle AC}$و​​${\displaystyle AB}$، على التوالي. إشارة${\displaystyle \gamma _{1}}$تكون النتيجة موجبة إذا${\displaystyle P}$و${\displaystyle A}$يقعون على نفس جانب ⁠${\displaystyle BC}$وإلا فهي سلبية. علامات${\displaystyle \gamma _{2}}$و${\displaystyle \gamma _{3}}$يتم تعيينها بشكل مماثل. ليكن ${\displaystyle a=\operatorname {length} (BC)}$،${\displaystyle b=\operatorname {length} (CA)}$،${\displaystyle c=\operatorname {length} (AB)}$. ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}a&=\pm 2\operatorname {sarea} (PBC)\\\gamma _{2}b&=\pm 2\operatorname {sarea} (APC)\\\gamma _{3}c&=\pm 2\operatorname {sarea} (ABP)\end{aligned}}}$$ حيث تشير sarea، كما سبق، إلى المساحة المحددة. جميع العلامات الثلاث موجبة إذا كان المثلث${\displaystyle ABC}$يكون اتجاهها موجباً، وسالباً في غير ذلك. تُستنتج العلاقات بين الإحداثيات ثلاثية الخطوط والإحداثيات الباريسنترية باستبدال هذه الصيغ في الصيغ المذكورة أعلاه التي تعبر عن الإحداثيات الباريسنترية كنسب مساحات.

إن التبديل ذهابًا وإيابًا بين الإحداثيات الباريسنترية وأنظمة الإحداثيات الأخرى يجعل حل بعض المشاكل أسهل بكثير.

التطبيقات

تحديد الموقع بالنسبة للمثلث

على الرغم من أن الإحداثيات الباريسنترية تُستخدم عادةً للتعامل مع النقاط داخل المثلث، إلا أنه يمكن استخدامها أيضًا لوصف نقطة خارجه. إذا لم تكن النقطة داخل المثلث، فلا يزال بإمكاننا استخدام الصيغ المذكورة أعلاه لحساب الإحداثيات الباريسنترية. مع ذلك، ولأن النقطة خارج المثلث، فإن إحدى الإحداثيات على الأقل ستخالف افتراضنا الأصلي.${\displaystyle \lambda _{1...3}\geq 0}$في الواقع، إذا أعطينا أي نقطة في الإحداثيات الديكارتية، فيمكننا استخدام هذه الحقيقة لتحديد مكان هذه النقطة بالنسبة للمثلث.

إذا كانت نقطة ما تقع داخل المثلث، فإن جميع الإحداثيات الباريسنترية تقع في الفترة المفتوحة${\displaystyle (0,1).}$ إذا كانت نقطة ما تقع على ضلع من أضلاع المثلث ولكن ليس على أحد رؤوسه، فإن أحد إحداثيات المساحة${\displaystyle \lambda _{1...3}}$(القيمة المرتبطة بالرأس المقابل) تساوي صفرًا، بينما تقع القيمتان الأخريان في الفترة المفتوحة${\displaystyle (0,1).}$إذا كانت النقطة تقع على أحد رؤوس المثلث، فإن الإحداثي المرتبط بذلك الرأس يساوي 1، بينما تساوي الإحداثيات الأخرى صفرًا. أما إذا كانت النقطة تقع خارج المثلث، فإن أحد الإحداثيات على الأقل يكون سالبًا.

باختصار،

• نقطة${\displaystyle \mathbf {r} }$يقع داخل المثلث إذا وفقط إذا${\displaystyle 0<\lambda _{i}<1}$${\displaystyle \forall \;i{\text{ in }}\{1,2,3\}}$.
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$يقع على حافة أو زاوية المثلث إذا${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$${\displaystyle \forall \;i{\text{ in }}\{1,2,3\}}$و${\displaystyle \lambda _{i}=0}$بالنسبة للبعض${\displaystyle i{\text{ in }}\{1,2,3\}}$.
• خلاف ذلك،${\displaystyle \mathbf {r} }$يقع خارج المثلث.

على وجه الخصوص، إذا كانت نقطة ما تقع على الجانب البعيد من خط ما، فإن الإحداثي المركزي للنقطة في المثلث التي لا تقع على الخط سيكون له قيمة سالبة.

الاستيفاء على شبكة مثلثية غير منتظمة

لو${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})}$هي كميات معروفة، لكن قيم f داخل المثلث المحدد بواسطة${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}}$إذا كانت غير معروفة، فيمكن تقريبها باستخدام الاستيفاء الخطي . توفر الإحداثيات الباريسنترية طريقة ملائمة لحساب هذا الاستيفاء.${\displaystyle \mathbf {r} }$هي نقطة داخل المثلث ذات إحداثيات مركزية${\displaystyle \lambda _{1}}$،${\displaystyle \lambda _{2}}$،${\displaystyle \lambda _{3}}$، ثم $${\displaystyle f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})}$$

بشكل عام، عند النظر إلى أي شبكة غير منتظمة أو شبكة مضلعات ، يمكن استخدام هذا النوع من التقنيات لتقريب قيمة الدالة f عند جميع النقاط، طالما أن قيمة الدالة معروفة عند جميع رؤوس الشبكة. في هذه الحالة، لدينا العديد من المثلثات، كل منها يمثل جزءًا مختلفًا من الفضاء. لتقريب قيمة الدالة f عند نقطة ما${\displaystyle \mathbf {r} }$أولاً، يجب إيجاد مثلث يحتوي على${\displaystyle \mathbf {r} }$وللقيام بذلك،${\displaystyle \mathbf {r} }$يتم تحويلها إلى الإحداثيات الباريسنترية لكل مثلث. إذا تم العثور على مثلث ما بحيث تحقق الإحداثيات${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$${\displaystyle \forall \;i{\text{ in }}1,2,3}$إذا كانت النقطة تقع داخل ذلك المثلث أو على ضلعه (كما هو موضح في القسم السابق)، فإن قيمة${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$يمكن استكمالها كما هو موضح أعلاه.

لهذه الطرق العديد من التطبيقات، مثل طريقة العناصر المحدودة (FEM).

التكامل على مثلث أو رباعي الأوجه

قد يكون حساب تكامل دالة على مجال المثلث أمرًا مزعجًا في نظام الإحداثيات الديكارتية. عادةً ما يتطلب الأمر تقسيم المثلث إلى نصفين، مما يُسبب تعقيدًا كبيرًا. بدلًا من ذلك، غالبًا ما يكون من الأسهل تغيير المتغيرات إلى أي إحداثيين مركزيين، على سبيل المثال${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$في ظل هذا التغيير في المتغيرات، $${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}}$$ حيث A هي مساحة المثلث. وتنتج هذه النتيجة من حقيقة أن المستطيل في الإحداثيات الباريسنترية يقابل شكلاً رباعياً في الإحداثيات الديكارتية، ونسبة مساحات الأشكال المتناظرة في أنظمة الإحداثيات المتناظرة تُعطى بالعلاقة التالية:${\displaystyle 2A}$وبالمثل، بالنسبة للتكامل على رباعي الأوجه، بدلاً من تقسيم التكامل إلى جزأين أو ثلاثة أجزاء منفصلة، ​​يمكن للمرء أن ينتقل إلى إحداثيات رباعية الأوجه ثلاثية الأبعاد بتغيير المتغيرات. $${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}}$$حيث V هو حجم رباعي الأوجه.

يمكن تعميم هذا النهج على أبعاد أعلى، للتكامل على أي شكل بسيط ذي n بُعد.

يمكن بسهولة توسيع الإحداثيات الباريسنترية إلى ثلاثة أبعاد . المجسم البسيط ثلاثي الأبعاد هو رباعي الأوجه ، وهو متعدد السطوح له أربعة أوجه مثلثية وأربعة رؤوس. ومرة ​​أخرى، تُعرَّف الإحداثيات الباريسنترية الأربعة بحيث يكون الرأس الأول${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$الخرائط إلى الإحداثيات الباريسنترية${\displaystyle \lambda =(1,0,0,0)}$،${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)}$، إلخ.

هذا تحويل خطي آخر، ويمكننا توسيع الإجراء المذكور أعلاه للمثلثات لإيجاد الإحداثيات المركزية لنقطة ما${\displaystyle \mathbf {r} }$بالنسبة إلى رباعي الأوجه: $${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})}$$ أين${\displaystyle \mathbf {T} }$أصبحت الآن مصفوفة 3×3: $${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)}$$ و${\displaystyle \lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}}$مع الإحداثيات الديكارتية المقابلة:$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y&=\lambda _{1}y_{1}+\,\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z&=\lambda _{1}z_{1}+\,\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{4}\end{aligned}}}$$مرة أخرى، تم اختزال مشكلة إيجاد الإحداثيات الباريسنترية إلى قلب مصفوفة 3×3 .

يمكن استخدام الإحداثيات الباريسنترية ثلاثية الأبعاد لتحديد ما إذا كانت نقطة ما تقع داخل حجم رباعي الأوجه، ولاستكمال دالة داخل شبكة رباعية الأوجه، بطريقة مماثلة للإجراء ثنائي الأبعاد. تُستخدم الشبكات رباعية الأوجه بكثرة في تحليل العناصر المحدودة لأن استخدام الإحداثيات الباريسنترية يُبسط عملية الاستكمال ثلاثي الأبعاد بشكل كبير.

إحداثيات مركزية${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})}$نقطة${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$التي تُعرَّف بالنسبة لمجموعة محدودة من${\displaystyle k}$نقاط​${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$بدلاً من المجسم البسيط، تُسمى هذه الإحداثيات بالإحداثيات الباريسنترية المعممة . بالنسبة لهذه الإحداثيات، تكون المعادلة $${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}$$ لا يزال من الضروري الاحتفاظ به. ^{[ 14 ]} عادةً ما يتم استخدام الإحداثيات المعيارية،${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1}$أما بالنسبة لحالة المجسم البسيط، فإن النقاط ذات الإحداثيات المعممة المعيارية غير السالبة (${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$تشكل ) الغلاف المحدب لـ x ₁ ، ... ، x _n . إذا كان هناك عدد من النقاط أكثر مما هو عليه في مُجسم بسيط كامل (${\displaystyle k>n+1}$) الإحداثيات الباريسنترية المعممة لنقطة ما ليست فريدة، حيث أن النظام الخطي المحدد (هنا لـ ⁠${\displaystyle n=2}$)​$${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$غير محددة . أبسط مثال على ذلك هو شكل رباعي في المستوى. يمكن استخدام أنواع مختلفة من القيود الإضافية لتحديد إحداثيات مركزية فريدة. ^{[ 15 ]}

التطبيقات

تُستخدم الإحداثيات الباريسنترية المعممة في رسومات الحاسوب ، وتحديدًا في النمذجة الهندسية . ^{[ 16 ]} غالبًا ما يُمكن تقريب نموذج ثلاثي الأبعاد بمجسم متعدد السطوح، بحيث تُصبح للإحداثيات الباريسنترية المعممة بالنسبة لهذا المجسم دلالة هندسية. وبهذه الطريقة، يُمكن تبسيط معالجة النموذج باستخدام هذه الإحداثيات ذات الدلالة. كما تُستخدم الإحداثيات الباريسنترية في الجيوفيزياء . ^{[ 17 ]}

• مخطط ثلاثي
• التركيب المحدب
• لغز سكب الماء
• إحداثيات متجانسة
• الجبر الباري مركزي