الذرة (نظرية القياس)

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية القياس ، الذرة هي مجموعة قابلة للقياس ذات قياس موجب ولا تحتوي على أي مجموعة من القياسات الموجبة الأصغر. أما القياس الذي لا يحتوي على ذرات فيُسمى غير ذري أو عديم الذرات .

بالنظر إلى مساحة قابلة للقياس${\displaystyle (X,\Sigma )}$ومقياس ​${\displaystyle \mu }$في تلك المساحة، مجموعة${\displaystyle A\subset X}$في${\displaystyle \Sigma }$يُطلق عليه اسم الذرة إذا $${\displaystyle \mu (A)>0}$$ ولأي مجموعة فرعية قابلة للقياس${\displaystyle B\subseteq A}$، أيضاً${\displaystyle \mu (B)=0}$أو${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$[ ^{1 ]​}

فئة التكافؤ لـ${\displaystyle A}$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma$$ :\mu (A\Delta B)=0\},} حيث${\displaystyle \Delta }$هو عامل الفرق المتناظر . إذا${\displaystyle A}$إذا كانت ذرة، فإن جميع المجموعات الفرعية في${\displaystyle [A]}$هي الذرات و${\displaystyle [A]}$يُطلق عليه اسم فئة ذرية . ^{[ 2 ]} إذا${\displaystyle \mu }$هو${\displaystyle \sigma }$- قياس محدود، هناك عدد لا نهائي من الفئات الذرية.

• لنفترض المجموعة X = {1، 2، ...، 9، 10} ولنُعرّف جبر سيجما${\displaystyle \Sigma }$ليكن مجموعة القوى لـ X. عرّف المقياس${\displaystyle \mu }$لنفترض أن عدد عناصر المجموعة هو عدد عناصرها الأصلية. عندئذٍ، كل عنصر من العناصر الفردية { i } ، حيث i = 1، 2، ...، 9، 10، يُعتبر ذرة.
• لنفترض مقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية . هذا المقياس لا يحتوي على ذرات.

أ${\displaystyle \sigma }$-قياس محدود${\displaystyle \mu }$في مساحة قابلة للقياس${\displaystyle (X,\Sigma )}$يُطلق على المجموعة اسم ذرية أو ذرية بحتة إذا احتوت كل مجموعة قابلة للقياس ذات قياس موجب على ذرة. وهذا يُعادل القول بوجود تجزئة قابلة للعد لـ${\displaystyle X}$تتكون من ذرات تصل إلى مجموعة فارغة. ^{[ 3 ]} افتراض${\displaystyle \sigma }$يُعدّ التضاؤل ​​أمرًا أساسيًا. وإلا، ففكّر في الفضاء.${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$أين${\displaystyle \nu }$يشير إلى مقياس العد . هذا الفضاء ذري، حيث أن جميع الذرات هي عناصر مفردة ، ومع ذلك لا يمكن تقسيم الفضاء إلى اتحاد منفصل لعدد قابل للعد من الذرات المنفصلة.${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ومجموعة فارغة${\displaystyle N}$بما أن الاتحاد القابل للعد للعناصر المفردة هو مجموعة قابلة للعد، وعدم قابلية الأعداد الحقيقية للعد يُظهر أن المتمم${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty}A_{n}}$يجب أن يكون غير قابل للعد، ومن هنا جاء${\displaystyle \nu }$ستكون قيمة المقياس لانهائية، وهو ما يتناقض مع كونها مجموعة فارغة. صحة النتيجة لـ${\displaystyle \sigma }$تستنتج الفضاءات المحدودة من برهان فضاءات القياس المحدودة من خلال ملاحظة أن الاتحاد القابل للعد للاتحادات القابلة للعد هو اتحاد قابل للعد مرة أخرى، وأن الاتحادات القابلة للعد للمجموعات الفارغة هي فارغة.

أ${\displaystyle \sigma }$-قياس ذري محدود${\displaystyle \mu }$يُطلق عليها اسم منفصلة إذا كان تقاطع ذرات أي فئة ذرية غير فارغ. وهذا يكافئ ^{[ 4 ]} القول بأن${\displaystyle \mu }$ هو المجموع المرجح لعدد لا نهائي من مقاييس ديراك، أي أن هناك متتالية${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$من النقاط في${\displaystyle X}$وتسلسل${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$من الأعداد الحقيقية الموجبة (الأوزان) بحيث${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty}c_{k}\delta _{x_{k}}}$وهذا يعني أن${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty}c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$لكل${\displaystyle A\in \Sigma }$يمكننا اختيار كل نقطة${\displaystyle x_{k}}$أن تكون نقطة مشتركة للذرات في${\displaystyle k}$الفئة الذرية رقم -th.

المقياس المنفصل ذري، لكن الاستلزام العكسي يفشل: خذ${\displaystyle X=[0,1]}$،${\displaystyle \Sigma }$ال${\displaystyle \sigma }$جبر المجموعات الجزئية القابلة للعد والمجموعات الجزئية القابلة للعد المشترك، ${\displaystyle \mu =0}$في مجموعات فرعية قابلة للعد و${\displaystyle \mu =1}$في مجموعات جزئية قابلة للعد المشترك. ثم توجد فئة ذرية واحدة، وهي تلك التي تشكلها المجموعات الجزئية القابلة للعد المشترك. المقياس${\displaystyle \mu }$هي ذرية، لكن تقاطع الذرات في الفئة الذرية الفريدة فارغ و${\displaystyle \mu }$لا يمكن وضعها كمجموع مقاييس ديراك.

إذا كانت كل ذرة مكافئة لذرة منفردة، فإن${\displaystyle \mu }$تكون منفصلة إذا وفقط إذا كانت ذرية. في هذه الحالة${\displaystyle x_{k}}$ما سبق هو العناصر الذرية المفردة، لذا فهي فريدة. أي قياس محدود في فضاء متري قابل للفصل مزود بمجموعات بوريل يحقق هذا الشرط. ^{[ 5 ]}

يُطلق على المقياس الذي لا يحتوي على ذرات اسممقياس غير ذري أومقياس غير محدد . بعبارة أخرى، مقياس${\displaystyle \mu }$تكون غير ذرية إذا كان لأي مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle A}$مع${\displaystyle \mu (A)>0}$توجد مجموعة جزئية قابلة للقياس${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A}$بحيث $${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

إن المقياس غير الذري الذي يحتوي على قيمة موجبة واحدة على الأقل له عدد لا نهائي من القيم المتميزة، كما هو الحال عند البدء بمجموعة${\displaystyle A}$مع${\displaystyle \mu (A)>0}$يمكن للمرء أن يبني سلسلة متناقصة من المجموعات القابلة للقياس $${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$ بحيث $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

قد لا يكون هذا صحيحًا بالنسبة للمقاييس التي تحتوي على ذرات؛ انظر المثال الأول أعلاه.

اتضح أن المقاييس غير الذرية لها في الواقع سلسلة متصلة من القيم. ويمكن إثبات ذلك إذا${\displaystyle \mu }$هو مقياس غير ذري و${\displaystyle A}$هي مجموعة قابلة للقياس مع${\displaystyle \mu (A)>0,}$ثم لأي عدد حقيقي${\displaystyle b}$مُرضٍ $${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$ توجد مجموعة جزئية قابلة للقياس${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A}$بحيث $${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

هذه النظرية تعود إلى واكلاف سيربينسكي . ^{[ 6 ] [ 7 ]} وهي تذكرنا بنظرية القيمة المتوسطة للدوال المتصلة.

رسم تخطيطي لإثبات نظرية سيربينسكي حول المقاييس غير الذرية. ويمكن صياغة عبارة أقوى قليلاً، ولكنها تُسهّل الإثبات، على النحو التالي: إذا${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$هو فضاء قياس غير ذري و${\displaystyle \mu (X)=c,}$توجد دالة${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$وهي رتيبة فيما يتعلق بالتضمين، ومعكوسة يمنى لـ${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to [0,c].} أي، توجد عائلة ذات مُعامل واحد من المجموعات القابلة للقياس${\displaystyle S(t)}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&\subseteq S(t'),\\\mu \left(S(t)\right)&=t.\end{aligned}}}$$ يُمكن استنتاج البرهان بسهولة من تطبيق ليمّة زورن على مجموعة جميع المقاطع الجزئية الرتيبة إلى${\displaystyle \mu }$ : $${\displaystyle \Gamma$$ :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},} مرتبة حسب تضمين الرسوم البيانية،${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$ومن المعتاد بعد ذلك إظهار أن كل سلسلة في${\displaystyle \Gamma }$له حد أعلى في${\displaystyle \Gamma ,}$وأن أي عنصر أقصى من${\displaystyle \Gamma }$له نطاق${\displaystyle [0,c],}$إثبات الادعاء.

• الذرة (نظرية الترتيب) - مفهوم مماثل في نظرية الترتيب
• دالة ديراك دلتا
• الحدث الأولي ، المعروف أيضًا بالحدث الذري

• بروكنر، أندرو م.؛ بروكنر، جوديث ب.؛ طومسون، برايان س. (1997). التحليل الحقيقي . أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 108. ISBN  0-13-458886-X.
• بوتناريو، دان؛ كليمنت، إي بي (1993). مقاييس معيارية مثلثية وألعاب ذات تحالفات ضبابية . دوردريخت: كلوير أكاديميك. ص  87. ISBN 0-7923-2369-6.
• دانفورد، نيلسون؛ شوارتز، جاكوب ت. (1988). المؤثرات الخطية، الجزء 1. نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-60848-6.
• كاديتس، فلاديمير (2018). دورة في التحليل الوظيفي ونظرية القياس . Universitext. doi : 10.1007/978-3-319-92004-7 . ISBN 978-3-319-92003-0ISSN 0172-5939​​ 

• الذرة في موسوعة الرياضيات