نموذج عددي للنظام الشمسي

النموذج العددي للنظام الشمسي عبارة عن مجموعة من المعادلات الرياضية، التي عند حلها، تعطي المواقع التقريبية للكواكب كدالة للزمن. وقد أدت محاولات إنشاء مثل هذا النموذج إلى تأسيس مجال أوسع يُعرف باسم علم الميكانيكا السماوية . ويمكن مقارنة نتائج هذه المحاكاة بالقياسات السابقة للتحقق من دقتها، ثم استخدامها للتنبؤ بالمواقع المستقبلية. ولذلك، فإن استخدامها الرئيسي يكمن في إعداد التقاويم الفلكية.

يمكن إجراء المحاكاة إما باستخدام الإحداثيات الديكارتية أو الكروية . تُعدّ الإحداثيات الديكارتية أسهل، لكنها تتطلب حسابات مكثفة للغاية، ولا يمكن تطبيقها عمليًا إلا على الحواسيب الإلكترونية. ولذلك، اقتصر استخدام الإحداثيات الكروية في السابق. وبالمعنى الدقيق، لم تكن الإحداثيات الكروية أقل استهلاكًا للحسابات بكثير، ولكن كان من الممكن البدء ببعض التقريبات البسيطة ثم إضافة تعديلات تدريجية ، حسب الحاجة، للوصول إلى الدقة المطلوبة.

في جوهرها، تُعدّ هذه المحاكاة الرياضية للنظام الشمسي شكلاً من أشكال مسألة الأجسام المتعددة . يرمز N إلى عدد الأجسام، والذي قد يزداد بشكل كبير إذا أضفنا الشمس، وثمانية كواكب، وعشرات الأقمار، وعددًا لا يُحصى من الكويكبات والمذنبات وما إلى ذلك. مع ذلك، فإن تأثير الشمس على أي جسم آخر كبير جدًا، وتأثير جميع الأجسام الأخرى على بعضها البعض ضئيل جدًا، بحيث يمكن اختزال المسألة إلى مسألة جسمين قابلة للحل التحليلي. والنتيجة لكل كوكب هي مدار، وهو وصف بسيط لموقعه كدالة للزمن. بمجرد حل هذه المسألة، تُضاف تأثيرات الأقمار والكواكب على بعضها البعض كتصحيحات صغيرة. هذه التصحيحات صغيرة مقارنةً بمدار كوكب كامل. قد تظل بعض التصحيحات كبيرة بعدة درجات، بينما يمكن إجراء القياسات بدقة أفضل من ثانية قوسية واحدة.

على الرغم من أن هذه الطريقة لم تعد تُستخدم في عمليات المحاكاة، إلا أنها لا تزال مفيدة لإيجاد تقريب لمواقع الكواكب ، إذ يمكن أخذ الحل الرئيسي البسيط نسبيًا، وإضافة بعض أكبر الاضطرابات، والوصول إلى الموقع المطلوب للكوكب دون بذل جهد كبير. لكن يعيبها أن نظرية الاضطرابات تُعدّ من الرياضيات المتقدمة جدًا.

تعتمد الطريقة الحديثة على التكامل العددي في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يبدأ الحل بقيمة عالية الدقة للموقع (x، y، z) والسرعة (vx، vy، _vz ) لكل جسم من الأجسام المتفاعلة _{. وعند معرفة كتلة كل جسم، يمكن حساب التسارع (ax، ay، az} ) باستخدام قانون _نيوتن الثاني _{للجاذبية} . يجذب كل جسم _الجسم الآخر _، ويكون التسارع الكلي هو مجموع قوى التجاذب هذه. بعد ذلك، يتم اختيار خطوة زمنية صغيرة Δt وتطبيق قانون نيوتن الثاني للحركة . ينتج عن ضرب التسارع في Δt تصحيح للسرعة، بينما ينتج عن ضرب السرعة في Δt تصحيح للموقع. تُكرر هذه العملية لجميع الأجسام الأخرى.

والنتيجة هي قيمة جديدة للموقع والسرعة لجميع الأجسام. ثم، باستخدام هذه القيم الجديدة، يُعاد حساب الموقع بالكامل للخطوة الزمنية التالية Δt . بتكرار هذه العملية عدة مرات، نحصل في النهاية على وصف لمواقع جميع الأجسام مع مرور الوقت.

تتميز هذه الطريقة بسهولة تطبيقها على الحاسوب، كما أنها تُنتج نتائج دقيقة للغاية لجميع الأجرام في آنٍ واحد، مُستغنيةً عن الإجراءات المعقدة والصعبة لتحديد الاضطرابات. أما عيوبها فتكمن في ضرورة البدء ببيانات دقيقة للغاية، وإلا ستختلف النتائج عن الواقع بمرور الوقت؛ بالإضافة إلى أن إحداثيات x و y و z غالبًا ما تُحوّل أولًا إلى إحداثيات أكثر عملية، كإحداثيات مسار الشمس أو خط الاستواء، قبل استخدامها؛ فضلًا عن كونها طريقة شاملة، إذ يتطلب الأمر حساب جميع الكواكب الأخرى وجميع الفترات الزمنية الوسيطة لمعرفة موقع كوكب واحد في لحظة زمنية محددة.

في القسم السابق، افترضنا أن التسارع يظل ثابتًا خلال فترة زمنية قصيرة Δt، بحيث يختزل الحساب إلى مجرد جمع V × Δt مع R، وهكذا. في الواقع، هذا ليس هو الحال، إلا عندما تكون Δt صغيرة جدًا لدرجة أن عدد الخطوات اللازمة يصبح مرتفعًا للغاية. فبينما يتغير الموضع في أي لحظة بفعل التسارع، فإن قيمة التسارع تتحدد بالموضع اللحظي. من الواضح أن التكامل الكامل ضروري.

تتوفر عدة طرق. لاحظ أولاً المعادلات المطلوبة:

$//$

تصف هذه المعادلة تسارع جميع الأجسام i التي تتحرك من 1 إلى N على جسم معين j . وهي معادلة متجهة، لذا يجب تقسيمها إلى 3 معادلات لكل من المركبات X و Y و Z، مما ينتج عنه:

${\displaystyle (a_{j})_{x}=\sum _{i\neq j}^{n}G{\frac {M_{i}}{((x_{i}-x_{j})^{2}+(y_{i}-y_{j})^{2}+(z_{i}-z_{j})^{2})^{3/2}}}(x_{i}-x_{j})}$

مع العلاقات الإضافية

${\displaystyle a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}}$،${\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}}$

وينطبق الأمر نفسه على Y و Z.

قد تبدو المعادلة الأولى (الجاذبية) معقدة، لكن حسابها ليس صعباً. أما المعادلات الأخيرة (قوانين الحركة) فتبدو أبسط، لكن لا يمكن حسابها. لا تستطيع الحواسيب إجراء التكامل، ولا يمكنها التعامل مع القيم المتناهية الصغر، لذا بدلاً من dt نستخدم Δt وننقل المتغير الناتج إلى اليسار.

${\displaystyle \Delta v_{x}=a_{x}\Delta t}$، و:${\displaystyle \Delta x=v_{x}\Delta t}$

تذكر أن a لا تزال دالة للزمن. أبسط طريقة لحل هذه المسائل هي خوارزمية أويلر ، وهي في جوهرها عملية الجمع الخطي المذكورة أعلاه. لنقتصر على بُعد واحد فقط في لغة برمجة عامة:

a.old = دالة الجاذبية(x.old) x.new = x.old + v.old * dt v.new = v.old + a.old * dt

بما أن التسارع المستخدم طوال مدة الخطوة الزمنية هو نفسه الذي كان عليه في بدايتها، فإن هذه الطريقة البسيطة لا تتمتع بدقة عالية. ويمكن الحصول على نتائج أفضل بكثير بأخذ متوسط ​​التسارع، وهو المتوسط ​​بين القيمة الابتدائية والقيمة النهائية المتوقعة (غير المتأثرة).

a.old = دالة الجاذبية(x.old) x.expect = x.old + v.old * dt a.expect = gravitationfunction(x.expect) v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0.5 * dt x.new = x.old + (v.new + v.old) * 0.5 * dt

بالطبع، يمكن توقع نتائج أفضل باستخدام القيم المتوسطة. هذا ما يحدث عند استخدام طريقة رونج-كوتا ، وخاصةً القيم من الدرجة الرابعة أو الخامسة، فهي الأكثر فائدة. الطريقة الأكثر شيوعًا هي طريقة القفزة نظرًا لكفاءتها في الحفاظ على الطاقة على المدى الطويل.

ثمة طريقة مختلفة تماماً وهي استخدام متسلسلة تايلور . في هذه الحالة نكتب:${\displaystyle r=r_{0}+r'_{0}t+r''_{0}{\frac {t^{2}}{2!}}+...}$

لكن بدلاً من التطور حتى مشتقة أعلى في r فقط، يمكن التطور في r و v (أي r') عن طريق كتابة${\displaystyle r=fr_{0}+gr'_{0}}$ثم اكتب العوامل f و g في متسلسلة.

لحساب التسارعات، يجب مراعاة قوة التجاذب بين كل جسم والآخر. ونتيجةً لذلك، يزداد حجم العمليات الحسابية في المحاكاة مع مربع عدد الأجسام: فمضاعفة عدد الأجسام تزيد العمل أربع مرات. ولزيادة دقة المحاكاة، لا بد من استخدام عدد أكبر من المنازل العشرية، بالإضافة إلى تقليل الفترات الزمنية، مما يزيد حجم العمل بشكل ملحوظ. من الواضح أنه لا بد من تطبيق بعض الحيل لتقليل حجم العمل، وسنذكر بعضها هنا.

إن أهم خدعة على الإطلاق هي استخدام طريقة التكامل المناسبة، كما هو موضح أعلاه.

يُعدّ اختيار الوحدات أمرًا بالغ الأهمية. فبدلًا من استخدام وحدات النظام الدولي للوحدات (SI) ، التي ستجعل بعض القيم صغيرة جدًا وبعضها الآخر كبيرًا جدًا، يجب معايرة جميع الوحدات بحيث تكون قريبة من 1. على سبيل المثال، تُعدّ الوحدة الفلكية الأنسب لحساب المسافات في النظام الشمسي. إذا لم يتم ذلك، فمن شبه المؤكد أن تتوقف المحاكاة في منتصف عملية حسابية بسبب تجاوز أو نقص في عدد الفاصلة العائمة ، وإن لم يكن الأمر بالغ الخطورة، فمن المرجح أن تتأثر الدقة سلبًا بسبب أخطاء الاقتطاع .

إذا كانت قيمة N كبيرة (ليس كثيرًا في محاكاة النظام الشمسي، ولكن أكثر في محاكاة المجرات)، فمن المعتاد إنشاء مجموعات ديناميكية من الأجسام. تُؤخذ جميع الأجسام في اتجاه معين وعلى مسافة كبيرة من الجسم المرجعي، الذي يتم حسابه في تلك اللحظة، معًا ويتم حساب متوسط ​​جاذبيتها على المجموعة بأكملها.

تُعتبر الطاقة الكلية والزخم الزاوي لنظام مغلق كميات محفوظة. وبحساب هذه الكميات بعد كل خطوة زمنية، يمكن برمجة المحاكاة لزيادة حجم الخطوة Δt إذا لم تتغير بشكل ملحوظ، ولتقليله إذا بدأت بالتغير. كما يُمكن دمج الأجسام في مجموعات كما في السابق، وتطبيق خطوات زمنية أكبر، وبالتالي أقل، على الأجسام البعيدة مقارنةً بالأجسام القريبة.

للسماح بتغير سريع للغاية في التسارع عندما يكون جسم معين قريبًا من الجسم المرجعي، من المعتاد إدخال معامل صغير e بحيث ${\displaystyle a={\frac {GM}{r^{2}+e}}}$

إذا تطلب الأمر أعلى دقة ممكنة، تصبح الحسابات أكثر تعقيدًا. ففي حالة المذنبات، يجب أخذ قوى غير جاذبية، مثل ضغط الإشعاع ومقاومة الغاز، في الحسبان. أما في حالة عطارد، والكواكب الأخرى في الحسابات طويلة المدى، فلا يمكن تجاهل التأثيرات النسبية. عندئذٍ، تصبح الطاقة الكلية غير ثابتة (لأن طاقة المتجهات الأربعة مع الزخم الخطي ثابتة). كما أن السرعة المحدودة للضوء تجعل من الضروري مراعاة تأثيرات زمن الضوء، سواء الكلاسيكية أو النسبية. لم يعد بالإمكان اعتبار الكواكب جسيمات، بل يجب أيضًا مراعاة شكلها وكثافتها. على سبيل المثال، يتسبب تفلطح الأرض في حدوث ترنح، مما يؤدي إلى تغيير ميل محورها، وهو ما يؤثر على حركات جميع الكواكب على المدى الطويل. أما النماذج طويلة المدى، التي تتجاوز بضعة عشرات الملايين من السنين، فهي غير ممكنة بسبب عدم استقرار النظام الشمسي .

• التقويم الفلكي
• VSOP (الكواكب)

• بوليه، دان ل. (1991). طرق تحديد المدار للحاسوب الصغير . ريتشموند، فيرجينيا : ويلمان-بيل، إنك. ISBN 978-0-943396-34-7. OCLC 23287041 .