حد من جانب واحد

الموسوعة الحرة
فيx=0،{\displaystyle x=0,}الوظيفةو(x)=x2+لافتة⁡(x)،{\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),}أينلافتة⁡(x){\displaystyle \operatorname {sign} (x)}تشير إلى دالة الإشارة ، ولها حد أيسر يساوي-1،{\displaystyle -1,}حدٌّ صحيحٌ لـ+1،{\displaystyle +1,}وقيمة دالة لـ0.{\displaystyle 0.}

في حساب التفاضل والتكامل ، تشير النهاية من جانب واحد إلى إحدى النهايتين للدالة .و(x){\displaystyle f(x)}لمتغير حقيقي​x{\displaystyle x}مثلx{\displaystyle x}يقترب من نقطة محددة إما من اليسار أو من اليمين. [ 1 ] [ 2 ]

الحد، كماx{\displaystyle x}انخفاضات في القيمة تقتربأ{\displaystyle a}(x{\displaystyle x}الأساليبأ{\displaystyle a}يُشار إلى "من اليمين" [ 3 ] أو "من الأعلى" على النحو التالي: [ 1 ] [ 2 ]

ليمx→أ+و(x) أو ليمx↓أو(x) أو ليمx↘أو(x) أو و(أ+).{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ أو }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ أو }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ أو }}\quad f(a+).}

الحد، كماx{\displaystyle x}ارتفاعات في القيمة تقتربأ{\displaystyle a}(x{\displaystyle x}الأساليبأ{\displaystyle a}يُشار إلى "من اليسار" [ 4 ] [ 5 ] أو "من الأسفل" على النحو التالي: [ 1 ] [ 2 ]

ليمx→أ-و(x) أو ليمx↑أو(x) أو ليمx↗أو(x) أو و(أ-).{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ أو }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ أو }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ أو }}\quad f(a-).}

إذا كانت النهايتان من اليسار واليمين موجودتين ومتساويتين، فإن نهايةو(x){\displaystyle f(x)}مثلx{\displaystyle x}الأساليبأ{\displaystyle a}موجود. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت نهايةو(x){\displaystyle f(x)}مثلx{\displaystyle x}الأساليبأ{\displaystyle a}إذا كانت النهاية موجودة من اليسار واليمين، فإن النهايتين من اليسار واليمين موجودتان ومتساويتان. وبالتالي، فإن النهاية كماx{\displaystyle x}الأساليبأ{\displaystyle a}يُطلق عليها أحيانًا اسم "الحد ذو الجانبين". ويُرمز لها بالرمز التالي: ليمx→أو(x).{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x).}

في بعض الحالات التي لا يوجد فيها حد من الجانبين، فإن الحدين الفرديين من جانب واحد موجودان مع ذلك، وهما بالضرورة غير متساويين.

من الممكن أن توجد نهاية واحدة فقط من النهايتين أحاديتي الجانب. ومن الممكن أيضاً ألا توجد أي من النهايتين أحاديتي الجانب.

التعريف الرسمي

تعريف

لوأنا{\displaystyle I}يمثل فترة ما تقع ضمن مجال دالة ماو{\displaystyle f}وإذاأ{\displaystyle a}هي نقطة فيأنا{\displaystyle I}ثم النهاية من الجانب الأيمن كماx{\displaystyle x}الأساليبأ{\displaystyle a}يمكن تعريفها بدقة على أنها القيمةR{\displaystyle R}وهذا يحقق: [ 6 ]

للجميعε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجد بعضدلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث يكون ذلك لجميعx∈أنا{\displaystyle x\in I}، لو0<x-أ<دلتا{\displaystyle 0<xa<\delta }ثم|و(x)-R|<ε{\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }،

والحد الأيسر كـx{\displaystyle x}الأساليبأ{\displaystyle a}يمكن تعريفها بدقة على أنها القيمةل{\displaystyle L}الذي يرضي:

للجميعε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجد بعضدلتا>0{\displaystyle \delta >0}بحيث يكون ذلك لجميعx∈أنا{\displaystyle x\in I}، لو0<أ-x<دلتا{\displaystyle 0<ax<\delta }ثم|و(x)-ل|<ε{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }.

يمكن تمثيل هذه التعريفات بشكل رمزي أكثر كما يلي: ليكنأنا{\displaystyle I}يمثل فترة زمنية، حيثأنا⊆دoمأأنان(و){\displaystyle I\subseteq \mathrm {domain} (f)}وأ∈أنا{\displaystyle a\in I}، ثم ليمx→أ+و(x)=R⟺∀ε∈R+،∃دلتا∈R+،∀x∈أنا،0<x-أ<دلتا⟶|و(x)-R|<ε،ليمx→أ-و(x)=ل⟺∀ε∈R+،∃دلتا∈R+،∀x∈أنا،0<أ-x<دلتا⟶|و(x)-ل|<ε.\begin{aligned}\lim_{x\to a^{+}}f(x)=R&\iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+},\exists \delta \in \mathbb{R}_{+},\forall x\in I,0<xa<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ,\\\lim_{x\to a^{-}}f(x)=L&\iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+},\exists \delta \in \mathbb{R}_{+},\forall x\in I,0<ax<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon .\end{aligned}}}

حدس

بالمقارنة مع التعريف الرسمي لنهاية الدالة عند نقطة ما، فإن النهاية أحادية الجانب (كما يوحي الاسم) تتعامل فقط مع قيم الإدخال على جانب واحد من قيمة الإدخال التي تم الاقتراب منها.

للعلم، التعريف الرسمي لنهاية دالة عند نقطة ما هو كما يلي:

ليمx→أو(x)=ل   ⟺   ∀ε∈R+،∃دلتا∈R+،∀x∈أنا،0<|x-أ|<دلتا⟹|و(x)-ل|<ε.{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|xa|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .}

لتعريف نهاية من جانب واحد، يجب تعديل هذه المتباينة. لاحظ أن المسافة المطلقة بينx{\displaystyle x}وأ{\displaystyle a}يكون

|x-أ|=|(-1)(-x+أ)|=|(-1)(أ-x)|=|(-1)||أ-x|=|أ-x|.{\displaystyle |xa|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(ax)|=|(-1)||ax|=|ax|.}

بالنسبة للحد من اليمين، نريدx{\displaystyle x}أن يكون على يمينأ{\displaystyle a}وهذا يعني أنأ<x{\displaystyle a<x}، لذا x-أ{\displaystyle xa}موجب. من الأعلى،x-أ{\displaystyle xa}هي المسافة بينx{\displaystyle x}وأ{\displaystyle a}نريد أن نحصر هذه المسافة بقيمتنا لـدلتا{\displaystyle \delta }مما يؤدي إلى عدم المساواةx-أ<دلتا{\displaystyle xa<\delta }. تجميع أوجه عدم المساواة0<x-أ{\displaystyle 0<xa}وx-أ<دلتا{\displaystyle xa<\delta }وباستخدام خاصية التعدي للمتباينات، نحصل على المتباينة المركبة0<x-أ<دلتا{\displaystyle 0<xa<\delta }.

وبالمثل، بالنسبة للنهاية من اليسار، نريدx{\displaystyle x}أن يكون على يسارأ{\displaystyle a}وهذا يعني أنx<أ{\displaystyle x<a}في هذه الحالة، هوأ-x{\displaystyle ax}وهذا موجب ويمثل المسافة بين x{\displaystyle x}وأ{\displaystyle a}مرة أخرى، نريد أن نحصر هذه المسافة بقيمتنا لـدلتا{\displaystyle \delta }مما يؤدي إلى عدم المساواة المركبة0<أ-x<دلتا{\displaystyle 0<ax<\delta }.

الآن، عندما تكون قيمتناx{\displaystyle x}إذا كانت ضمن النطاق المطلوب، فإننا نتوقع أن تكون قيمةو(x){\displaystyle f(x)}كما أنها تقع ضمن النطاق المطلوب. المسافة بينو(x){\displaystyle f(x)}ول{\displaystyle L}، وهي القيمة الحدية للنهاية من الجانب الأيسر، هي|و(x)-ل|{\displaystyle |f(x)-L|}وبالمثل، المسافة بينو(x){\displaystyle f(x)}وR{\displaystyle R}، وهي القيمة الحدية للنهاية من الجانب الأيمن، هي|و(x)-R|{\displaystyle |f(x)-R|}في كلتا الحالتين، نريد تحديد هذه المسافة بـε{\displaystyle \varepsilon }وبالتالي نحصل على ما يلي:|و(x)-ل|<ε{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }بالنسبة للحد الأيسر، و|و(x)-R|<ε{\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }بالنسبة للحد الأيمن.

أمثلة

مثال 1. الحدود من اليسار ومن اليمين لـز(x):=-1x{\textstyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}مثلx{\displaystyle x}الأساليبأ:=0{\displaystyle a:=0}وهي، على التوالي ليمx→0--1x=+∞ و ليمx→0+-1/x=-∞.{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty .} والسبب في ذلكليمx→0--1x=+∞{\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}=+\infty }ذلك لأنx{\displaystyle x}تكون سالبة دائمًا (لأنx→0-{\displaystyle x\to 0^{-}}هذا يعني أنx→0{\displaystyle x\to 0}مع جميع قيمx{\displaystyle x}مُرضٍx<0{\displaystyle x<0}مما يعني أن-1/x{\displaystyle -1/x}دائماً ما تكون إيجابية بحيثليمx→0--1x{\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}}يتفرع [ ملاحظة 1 ] إلى+∞{\displaystyle +\infty }(وليس إلى-∞{\displaystyle -\infty }) مثلx{\displaystyle x}الأساليب0{\displaystyle 0}من اليسار. وبالمثل،ليمx→0+-1x=-∞{\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}-{\frac {1}{x}}=-\infty }بما أن جميع قيمx{\displaystyle x}مُرضٍx>0{\displaystyle x>0}(بمعنى آخر،x{\displaystyle x}(دائماً ما تكون إيجابية) لأنx{\displaystyle x}الأساليب0{\displaystyle 0}من اليمين، مما يعني أن-1/x{\displaystyle -1/x}تكون القيمة سالبة دائمًا بحيثليمx→0+-1x{\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}-{\frac {1}{x}}}يتباعد إلى-∞.{\displaystyle -\infty .}

رسم بياني للدالةو(x)=11+2-1/x{\textstyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}}}.

مثال 2. أحد الأمثلة على دالة ذات نهايات أحادية الجانب مختلفة هوو(x)=11+2-1/x{\textstyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}}}، حيث يكون الحد من اليسارليمx→0-و(x)=0{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}والحد من اليمين هوليمx→0+و(x)=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}لحساب هذه النهايات، أثبت أولاً أن ليمx→0-2-1/x=∞ و ليمx→0+2-1/x=0،{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0,} وهذا صحيح لأنليمx→0--1/x=+∞{\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }وليمx→0+-1/x=-∞{\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty } وبالتالي، ليمx→0+11+2-1/x=11+ليمx→0+2-1/x=11+0=1{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1} بينماليمx→0-11+2-1/x=0{\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}لأن المقام يتباعد إلى ما لا نهاية؛ أي لأنليمx→0-1+2-1/x=∞{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty }. منذليمx→0-و(x)≠ليمx→0+و(x){\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x)}الحدليمx→0و(x){\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}غير موجود.

العلاقة بالتعريف الطوبولوجي للنهاية

النهاية من جانب واحد إلى نقطةص{\displaystyle p}يتوافق هذا مع التعريف العام للنهاية ، حيث يقتصر مجال الدالة على جانب واحد، إما بالسماح بأن يكون مجال الدالة مجموعة جزئية من الفضاء الطوبولوجي، أو بالنظر إلى فضاء جزئي أحادي الجانب، بما في ذلكص.{\displaystyle p.}[ 1 ] بدلاً من ذلك، يمكن للمرء أن ينظر في المجال ذيالطوبولوجيا الفاصلية نصف المفتوحة.

نظرية أبيل

تُعد نظرية أبيل نظرية جديرة بالذكر تتناول النهايات أحادية الجانب لبعض متسلسلات القوى عند حدود فترات تقاربها .

ملحوظات

  1. ↑ حد يساوي∞{\displaystyle \infty }يقال إنه يتباعد إلى∞{\displaystyle \infty }بدلاً من التقارب إلى∞.{\displaystyle \infty .}وينطبق الأمر نفسه عندما تكون النهاية مساوية لـ-∞.{\displaystyle -\infty .}

مراجع

  1. 1 2 3 4 "النهاية من جانب واحد - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . مؤرشف من الأصل في 18 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 7 أغسطس 2021 .
  2. 1 2 3 فريدي، جيه إيه (24 يناير 2020). التحليل التمهيدي: نظرية التفاضل والتكامل . دار النشر جلف بروفيشنال. ص 48. ISBN  978-0-12-267655-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 أغسطس 2021 .
  3. ↑ حسن، عثمان؛ خيام، سيد (2014-01-02). "نحو تحليل تشفير خطي رسمي باستخدام HOL4" (ملف PDF) . مجلة علوم الحاسوب العالمية . 20 (2): 209. doi : 10.3217/jucs-020-02-0193 . ISSN 0948-6968 . 
  4. ↑ غاسيك، أندريه ج. (2020-12-12). ظواهر الطور للبروتينات في المادة الحية (أطروحة).
  5. ↑ بروكيت، مارتن؛ مانشاندا، بامي؛ صديقي، أبو الحسن (2019)، "النهايات والاستمرارية" ، حساب التفاضل والتكامل للعلماء والمهندسين ، الرياضيات الصناعية والتطبيقية، سنغافورة: سبرينغر سنغافورة، ص 39-53 ، doi : 10.1007/978-981-13-8464-6_2 ، ISBN  978-981-13-8463-9، S2CID 201484118 ، تم الاسترجاع بتاريخ 2022-01-11 
  6. ↑ سوكوفسكي ، إيرل دبليو. (1979). حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية ( الطبعة الثانية). تايلور وفرانسيس. ص 72-73 . ISBN   978-0-87150-268-1.

انظر أيضاً