علاقة متعدية

علاقة متعدية
يكتب	علاقة ثنائية
مجال	الجبر الابتدائي
إفادة	تكون العلاقة في المجموعة متعدية إذا كانت، بالنسبة لجميع العناصر ، ، في ، كلما كانت تتعلق بـ و بـ ، فإنها تتعلق أيضًا بـ .
بيان رمزي

في الرياضيات ، تكون العلاقة الثنائية $R$ على المجموعة $X$ متعدية إذا كانت R، بالنسبة لجميع العناصر $a$ و $b$ و $c$ في $X$ ، عندما ترتبط $R$ بـ $a و$ $b$ و $b$ و $c$ ، فإن $R$ ترتبط أيضًا $بـ a$ و $c$ .

كل ترتيب جزئي وكل علاقة تكافؤ متعدية. على سبيل المثال، أقل من والمساواة بين الأعداد الحقيقية كلاهما متعدية: إذا كان $a < b$ و $b < c$ فإن $a < c$ ؛ وإذا كان $x = y$ و $y = z$ فإن $x = z$ .

تعريف

العلاقات الثنائية المتعدية

	متماثل	غير متماثل	متصل	مؤسس بشكل جيد	لديه انضمامات	لقد التقى	انعكاسي	غير انعكاسي	غير متماثل
			المجموع، سيميكونيكس					مضاد للانعكاس
علاقة التكافؤ	ي	✗	✗	✗	✗	✗	ي	✗	✗
الطلب المسبق (شبه الطلب)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	ي	✗	✗
ترتيب جزئي	✗	ي	✗	✗	✗	✗	ي	✗	✗
إجمالي الطلب المسبق	✗	✗	ي	✗	✗	✗	ي	✗	✗
مجموع الطلب	✗	ي	ي	✗	✗	✗	ي	✗	✗
طلب مسبق	✗	✗	ي	ي	✗	✗	ي	✗	✗
ترتيب جيد شبه جيد	✗	✗	✗	ي	✗	✗	ي	✗	✗
حسن الترتيب	✗	ي	ي	ي	✗	✗	ي	✗	✗
شعرية	✗	ي	✗	✗	ي	ي	ي	✗	✗
الانضمام إلى شبه الرسالة	✗	ي	✗	✗	ي	✗	ي	✗	✗
لقاء شبه رسمي	✗	ي	✗	✗	✗	ي	ي	✗	✗
النظام الجزئي الصارم	✗	ي	✗	✗	✗	✗	✗	ي	ي
ترتيب ضعيف صارم	✗	ي	✗	✗	✗	✗	✗	ي	ي
مجموع الطلب صارم	✗	ي	ي	✗	✗	✗	✗	ي	ي
	متماثل	غير متماثل	متصل	مؤسس بشكل جيد	لديه انضمامات	لقد التقى	انعكاسي	غير انعكاسي	غير متماثل
تعريفات للجميع و $أ،ب$ $S\neq \varnothing :$	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ أو }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{not }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$

يشير إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لمصطلح الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو لا تكون كذلك). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متماثلة، ولكنها ليست بالضرورة غير متماثلة، بواسطة في العمود "متماثل" و✗ في العمود "غير متماثل"، على التوالي.

تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا أن تكون العلاقة المتجانسة متعدية: بالنسبة لجميع إذا وحينئذٍ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول. $R$ $a,b,c,$ $aRb$ $bRc$ $aRc.$

العلاقة المتجانسة $R$ على المجموعة $X$ هي علاقة متعدية إذا، ^[1]

لجميع

a و b و c \in X

، إذا كان

a R b

و

b R c

، فإن

a R c

.

أو من حيث المنطق من الدرجة الأولى :

\forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc

,

حيث $a R b$ هو تدوين البادئة لـ $(a, b) \in R$ .

أمثلة

كمثال غير رياضي، فإن العلاقة "هو سلف لـ" هي علاقة متعدية. على سبيل المثال، إذا كانت إيمي سلفًا لبيكي، وبيكي سلفًا لكاري، فإن إيمي أيضًا سلف لكاري.

من ناحية أخرى، فإن "هي الأم الحقيقية لـ" ليست علاقة متعدية، لأنه إذا كانت أليس هي الأم الحقيقية لبريندا، وبريندا هي الأم الحقيقية لكلير، فلا يعني هذا أن أليس هي الأم الحقيقية لكلير. في الواقع، هذه العلاقة غير متعدية : لا يمكن أن تكون أليس الأم الحقيقية لكلير.

تشمل العلاقات غير المتعدية وغير المتعدية مباريات كرة القدم (جداول التصفيات)، و"يعرف" و"يتحدث إلى".

الأمثلة "أكبر من"، "على الأقل بنفس القدر"، و"يساوي" ( المساواة ) هي علاقات متعدية على مجموعات مختلفة. كما هي الحال مع مجموعة الأعداد الحقيقية أو مجموعة الأعداد الطبيعية:

كلما كان x > y و y > z ، فإن x > z أيضًا

كلما كان x ≥ y و y ≥ z ، فإن x ≥ z أيضًا

كلما كان x = y و y = z ، فإن x = z أيضًا .

مزيد من الأمثلة على العلاقات المتعدية:

"هي مجموعة فرعية من" (مجموعة تضمين، علاقة على المجموعات)
"يقسم" ( قابلية القسمة ، علاقة بالأعداد الطبيعية)
"يدل على" ( الاستدلال ، يرمز إليه بـ "⇒"، علاقة بين المقترحات )

أمثلة على العلاقات غير المتعدية:

"هو خليفة " (علاقة بالأعداد الطبيعية)
"هو عضو في المجموعة" (يرمز له بـ "∈") ^[2]
" عمودي على" (علاقة على الخطوط في الهندسة الإقليدية )

العلاقة الفارغة في أي مجموعة هي علاقة متعدية ^[3] لأنه لا توجد عناصر مثل و ، وبالتالي فإن شرط التعدية صحيح بشكل فارغ . العلاقة $R$ التي تحتوي على زوج مرتب واحد فقط هي أيضًا علاقة متعدية: إذا كان الزوج المرتب من الشكل لبعض العناصر فإن هذه العناصر الوحيدة هي ، وفي هذه الحالة ، بينما إذا لم يكن الزوج المرتب من الشكل فلا توجد مثل هذه العناصر وبالتالي فهي متعدية بشكل فارغ. $X$ $a,b,c\in X$ $aRb$ $bRc$ $(x,x)$ $x\in X$ $a,b,c\in X$ $a=b=c=x$ $aRc$ $(x,x)$ $a,b,c\in X$ $R$

ملكيات

خصائص الإغلاق

إن العكس (المعكوس) للعلاقة المتعدية يكون دائمًا متعديًا. على سبيل المثال، إذا علمنا أن "is a partset of" متعدٍ وأن "is a superset of" هو عكسها، فيمكننا أن نستنتج أن الأخيرة متعدية أيضًا.
إن تقاطع علاقتين متعديتين يكون دائمًا متعديا. ^[4] على سبيل المثال، إذا علمنا أن "وُلِد قبل" و"له نفس الاسم الأول مثل" متعديا، فيمكننا أن نستنتج أن "وُلِد قبل وله نفس الاسم الأول مثل" متعديا أيضًا.
لا يلزم أن يكون اتحاد علاقتين متعديتين متعديا. على سبيل المثال، "وُلِد قبل أو يحمل نفس الاسم الأول" ليست علاقة متعدية، لأن هربرت هوفر على سبيل المثال مرتبط بفرانكلين د. روزفلت ، الذي يرتبط بدوره بفرانكلين بيرس ، بينما هوفر ليس مرتبطًا بفرانكلين بيرس.
لا يلزم أن يكون مكمل العلاقة المتعدية متعديًا. ^[5] على سبيل المثال، في حين أن "يساوي" متعدٍ، فإن "لا يساوي" متعدٍ فقط في المجموعات التي تحتوي على عنصر واحد على الأكثر.

خصائص أخرى

تكون العلاقة المتعدية غير متماثلة إذا وفقط إذا كانت غير انعكاسية . ^[6]

لا يلزم أن تكون العلاقة المتعدية انعكاسية . وعندما تكون كذلك، تسمى ترتيبًا مسبقًا . على سبيل المثال، في المجموعة X = {1,2,3}:

R = { (1,1)، (2,2)، (3,3)، (1,3)، (3,2) } انعكاسية، ولكنها ليست متعدية، حيث أن الزوج (1,2) غائب،
R = { (1,1)، (2,2)، (3,3)، (1,3) } هي انعكاسية ومتعدية أيضًا، لذا فهي ترتيب مسبق،
R = { (1,1)، (2,2)، (3,3) } هي انعكاسية ومتعدية، وهي ترتيب مسبق آخر.

كمثال مضاد، العلاقة بالأعداد الحقيقية هي علاقة متعدية، ولكنها ليست انعكاسية. $<$

الامتدادات المتعدية والإغلاق المتعدي

ليكن $R$ علاقة ثنائية على المجموعة $X.$ الامتداد المتعدي لـ $R$ ، والمشار إليه بـ $R 1$ ، هو أصغر علاقة ثنائية على $X$ بحيث تحتوي $R 1$ $على R$ ، وإذا كان $(a ، b) \in R$ و $(b ، c) \in R$ فإن $(a ، c) \in R 1.$ ^[7] على سبيل المثال، افترض أن $X$ هي مجموعة من المدن، بعضها متصل بالطرق. دع $R$ تكون العلاقة على المدن حيث $(A ، B) \in R$ إذا كان هناك طريق يربط مباشرة بين المدينة $A$ والمدينة $B.$ لا يلزم أن تكون هذه العلاقة متعدية. يمكن تعريف الامتداد المتعدي لهذه العلاقة بواسطة $(A ، C) \in R 1$ إذا كان بإمكانك السفر بين المدينتين $A$ و $C$ باستخدام طريقين على الأكثر.

إذا كانت العلاقة متعدية فإن امتدادها المتعدي هو نفسه، أي إذا كانت $R$ علاقة متعدية فإن $R 1 = R.$

يُشار إلى الامتداد المتعدي لـ $R 1 بالرمز$ $R 2$ ، وباستمرار على هذا النحو، فإن الامتداد المتعدي لـ $R i$ سيكون بشكل عام $R i + 1.$ والإغلاق المتعدي لـ $R$ ، والذي يُشار إليه بالرمز $R *$ أو $R \infty$ هو اتحاد المجموعة $R$ و $R 1$ و $R 2$ و... ^[8]

إن الإغلاق المتعدي للعلاقة هو علاقة متعدية. ^[8]

إن العلاقة "هو الوالد بالولادة" بين مجموعة من الأشخاص ليست علاقة انتقالية. ومع ذلك، ففي علم الأحياء تنشأ الحاجة غالبًا إلى النظر في الأبوة بالولادة على مدى عدد عشوائي من الأجيال: إن العلاقة "هو أحد أسلاف الولادة" هي علاقة انتقالية وهي الإغلاق الانتقالي للعلاقة "هو الوالد بالولادة".

بالنسبة لمثال المدن والطرق أعلاه، $(A ، C) \in R *$ بشرط أن تتمكن من السفر بين المدن $A$ و $C$ باستخدام أي عدد من الطرق.

أنواع العلاقات التي تتطلب الانتقالية

الترتيب المسبق – علاقة انعكاسية ومتعدية
الترتيب الجزئي – ترتيب مسبق غير متماثل
إجمالي الطلب المسبق - طلب مسبق متصل (كان يسمى سابقًا إجماليًا)
علاقة التكافؤ – ترتيب مسبق متماثل
الترتيب الضعيف الصارم - ترتيب جزئي صارم حيث تكون عدم القدرة على المقارنة علاقة تكافؤ
الترتيب الكلي - علاقة متصلة (كليًا)، وغير متماثلة، ومتعدية

عد العلاقات المتعدية

لا توجد صيغة عامة معروفة تحسب عدد العلاقات المتعدية على مجموعة منتهية (التسلسل A006905 في OEIS ). ^[9] ومع ذلك، توجد صيغة لإيجاد عدد العلاقات التي تكون في نفس الوقت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية - بمعنى آخر، علاقات التكافؤ - (التسلسل A000110 في OEIS )، تلك التي تكون متماثلة ومتعدية، وتلك التي تكون متماثلة ومتعدية ومضادة للتناظر، وتلك التي تكون كلية ومتعدية ومضادة للتناظر. لقد أحرز فايفر ^[10] بعض التقدم في هذا الاتجاه، حيث عبر عن العلاقات مع مجموعات من هذه الخصائص من حيث بعضها البعض، ولكن لا يزال حساب أي منها صعبًا. انظر أيضًا برينكمان وماكاي (2005). ^[11]

نظرًا لأن الانعكاس لأي علاقة متعدية هو ترتيب مسبق ، فإن عدد العلاقات المتعدية لمجموعة مكونة من n عنصر يكون على الأكثر أكبر بـ 2 ⁿ مرة من عدد الترتيب المسبق، وبالتالي يكون مقاربًا لنتائج كلايتمان وروتشيلد. ^[12] $2^{(1/4+o(1))n^{2}}$

عدد العلاقات الثنائية المكونة *من n عنصر من أنواع مختلفة*
عناصر	أي	متعد	انعكاسي	متماثل	النظام السابق	ترتيب جزئي	إجمالي الطلب المسبق	مجموع الطلب	علاقة التكافؤ
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
ن	2 ^{ن ²}		2 ^{ن ( ن −1)}	2 ^{ن ( ن +1)/2}			∑^ن _{ك = 0} ك ! س ( ن ، ك )	ن !	∑^ن _{ك = 0} س ( ن ، ك )
أويس	أ002416	أ006905	أ053763	أ006125	أ000798	أ001035	أ000670	أ000142	أ000110

لاحظ أن S ( n , k ) يشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني .

خصائص ذات صلة

مخطط الدورة — تعتمد لعبة حجر-ورقة-مقص على العلاقة اللازمة والمعاكسة " x يتغلب على y ".

تُسمى العلاقة R باللازمة إذا لم تكن متعدية، أي إذا كان xRy و yRz ، ولكن ليس xRz ، لبعض x و y و z . وعلى النقيض من ذلك، تُسمى العلاقة R باللازمة إذا كان xRy و yRz يعنيان دائمًا أن xRz لا ينطبق. على سبيل المثال، العلاقة التي يحددها xRy إذا كان xy عددًا زوجيًا هي لازمية، ^[13] ولكنها ليست متعدية. ^[14] العلاقة التي يحددها xRy إذا كان x عددًا زوجيًا و y عددًا فرديًا هي متعدية ومضادة للمتعدية. ^[15] العلاقة التي يحددها xRy إذا كان x هو الرقم اللاحق لـ y هي متعدية ^[16] ومضادة للمتعدية. ^[17] تنشأ أمثلة غير متوقعة للمتعدية في مواقف مثل الأسئلة السياسية أو تفضيلات المجموعة. ^[18]

عند تعميمها على الإصدارات العشوائية ( التعدي العشوائي )، فإن دراسة التعدي تجد تطبيقات لها في نظرية القرار ، والقياس النفسي ، ونماذج المنفعة . ^[19]

العلاقة شبه المتعدية هي تعميم آخر؛ ^[5] وهي مطلوبة لتكون متعدية فقط في الجزء غير المتماثل منها. تُستخدم مثل هذه العلاقات في نظرية الاختيار الاجتماعي أو الاقتصاد الجزئي . ^[20]

الاقتراح: إذا كانت R أحادية التكافؤ ، فإن R؛R ^T تكون متعدية.

الدليل: افترض أن هناك a و b بحيث بما أن R أحادية التكافؤ، فإن yRb و aR ^Ty يستلزمان a = b . وبالتالي فإن x R a R ^Tz ، وبالتالي فإن x R;R ^Tz وR;R ^T متعدية.

xR;R^{T}yR;R^{T}z.

xRaR^{T}yRbR^{T}z.

النتيجة : إذا كانت R أحادية التكافؤ، فإن R;R ^T هي علاقة تكافؤ على مجال R.

الدليل: R;R ^T متماثلة وانعكاسية على مجالها. مع تكافؤ R ، يتم استيفاء الشرط الانتقالي للتكافؤ.

انظر أيضا

ملحوظات

^ سميث وإيجن وسانت أندريه 2006، ص. 145
^ ومع ذلك، فإن فئة ترتيبات فون نيومان مبنية بطريقة تجعل ∈ متعدية عندما تقتصر على تلك الفئة.
^ سميث وإيجن وسانت أندريه 2006، ص. 146
^ بيانكي، مارياجرازيا؛ ماوري، آنا جيليو بيرتا؛ هيرتزوغ، مارسيل؛ فيراردي، ليبيرو (12 يناير 2000). "حول المجموعات القابلة للحل المحدودة التي تكون فيها الطبيعية علاقة متعدية". مجلة نظرية المجموعات . 3 (2). doi :10.1515/jgth.2000.012. ISSN 1433-5883. مؤرشف من الأصل في 2023-02-04 . تم الاسترجاع 2022-12-29 .
^ ab Robinson, Derek JS (يناير 1964). "المجموعات التي تكون فيها الحالة الطبيعية علاقة متعدية". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 60 (1): 21–38. Bibcode :1964PCPS...60...21R. doi :10.1017/S0305004100037403. ISSN 0305-0041. S2CID 119707269. مؤرشف من الأصل في 2023-02-04 . تم الاسترجاع في 2022-12-29 .
^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I (PDF) . براغ: كلية الرياضيات - الفيزياء، جامعة تشارلز. ص. 1. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2013-11-02.المقدمة 1.1 (iv). لاحظ أن هذا المصدر يشير إلى العلاقات غير المتماثلة باعتبارها "علاقات غير متماثلة تمامًا".
^ ليو 1985، ص 111
^ ab Liu 1985، ص 112
^ ستيفن ر. فينش، "العلاقات المتعدية والطوبولوجيات والأوامر الجزئية" مؤرشف من الأصل في 2016-03-04 على موقع واي باك مشين ، 2003.
^ Götz Pfeiffer، "عد العلاقات المتعدية المؤرشفة في 2023-02-04 على موقع Wayback Machine "، مجلة تسلسلات الأعداد الصحيحة ، المجلد 7 (2004)، المقال 04.3.2.
^ Gunnar Brinkmann و Brendan D. McKay، "عد الطوبولوجيات غير المسمىة والعلاقات المتعدية " محفوظ في 2005-07-20 على موقع Wayback Machine
^ Kleitman, D.; Rothschild, B. (1970), "The number of finite topologies", Proceedings of the American Mathematical Society , 25 (2): 276–282, JSTOR 2037205
^ منذ eg 3 R 4 و 4 R 5، ولكن ليس 3 R 5
^ منذ eg 2 R 3 و 3 R 4 و 2 R 4
^ بما أن xRy و yRz لا يمكن أن يحدثا أبدًا
^ منذ eg 3 R 2 و 2 R 1، ولكن ليس 3 R 1
^ نظرًا لأنه، بشكل عام، فإن xRy و yRz يعنيان أن x = y +1= z +2 ≠ z +1، أي ليس xRz ، لجميع x و y و z
^ درام، كيفن (نوفمبر 2018). "التفضيلات ليست متعدية". مجلة ماذر جونز . مؤرشف من الأصل في 2018-11-29 . تم الاسترجاع في 2018-11-29 .
^ أوليفيرا، إف دي؛ زيهافي، إس؛ دافيدوف، أو. (أغسطس 2018). "الانتقالية العشوائية: البديهيات والنماذج". مجلة علم النفس الرياضي . 85 : 25-35. doi :10.1016/j.jmp.2018.06.002. ISSN 0022-2496.
^ سين، أ. (1969). "التحول شبه الانتقالي، الاختيار العقلاني والقرارات الجماعية". Rev. Econ. Stud . 36 (3): 381–393. doi :10.2307/2296434. JSTOR 2296434. Zbl 0181.47302.

مراجع

جريمالدي، رالف ب. (1994)، الرياضيات المنفصلة والتركيبية (الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، ISBN 0-201-19912-2
ليو، سي إل (1985)، عناصر الرياضيات المنفصلة ، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-038133-X
جونتر شميت ، 2010. الرياضيات العلائقية . مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-76268-7 .
سميث، دوغلاس؛ إيجن، موريس؛ سانت أندريه، ريتشارد (2006)، الانتقال إلى الرياضيات المتقدمة (الطبعة السادسة)، بروكس/كول، رقم ISBN 978-0-534-39900-9
فايفر، ج. (2004). عد العلاقات المتعدية. مجلة تسلسلات الأعداد الصحيحة ، 7 (2)، 3.

روابط خارجية

"التعددية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
الانتقالية في العمل في قطع العقدة

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] سميث وإيجن وسانت أندريه 2006، ص. 145

[2] ومع ذلك، فإن فئة ترتيبات فون نيومان مبنية بطريقة تجعل ∈ متعدية عندما تقتصر على تلك الفئة.

[3] سميث وإيجن وسانت أندريه 2006، ص. 146

[4] بيانكي، مارياجرازيا؛ ماوري، آنا جيليو بيرتا؛ هيرتزوغ، مارسيل؛ فيراردي، ليبيرو (12 يناير 2000). "حول المجموعات القابلة للحل المحدودة التي تكون فيها الطبيعية علاقة متعدية". مجلة نظرية المجموعات . 3 (2). doi :10.1515/jgth.2000.012. ISSN 1433-5883. مؤرشف من الأصل في 2023-02-04 . تم الاسترجاع 2022-12-29 .

[Derek.1964-5] Robinson, Derek JS (يناير 1964). "المجموعات التي تكون فيها الحالة الطبيعية علاقة متعدية". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 60 (1): 21–38. Bibcode :1964PCPS...60...21R. doi :10.1017/S0305004100037403. ISSN 0305-0041. S2CID 119707269. مؤرشف من الأصل في 2023-02-04 . تم الاسترجاع في 2022-12-29 .

[6] Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I (PDF) . براغ: كلية الرياضيات - الفيزياء، جامعة تشارلز. ص. 1. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2013-11-02.المقدمة 1.1 (iv). لاحظ أن هذا المصدر يشير إلى العلاقات غير المتماثلة باعتبارها "علاقات غير متماثلة تمامًا".

[7] ليو 1985، ص 111

[Liu112-8] Liu 1985، ص 112

[9] ستيفن ر. فينش، "العلاقات المتعدية والطوبولوجيات والأوامر الجزئية" مؤرشف من الأصل في 2016-03-04 على موقع واي باك مشين ، 2003.

[10] Götz Pfeiffer، "عد العلاقات المتعدية المؤرشفة في 2023-02-04 على موقع Wayback Machine "، مجلة تسلسلات الأعداد الصحيحة ، المجلد 7 (2004)، المقال 04.3.2.

[11] Gunnar Brinkmann و Brendan D. McKay، "عد الطوبولوجيات غير المسمىة والعلاقات المتعدية " محفوظ في 2005-07-20 على موقع Wayback Machine

[12] Kleitman, D.; Rothschild, B. (1970), "The number of finite topologies", Proceedings of the American Mathematical Society , 25 (2): 276–282, JSTOR 2037205

[13] منذ eg 3 R 4 و 4 R 5، ولكن ليس 3 R 5

[14] منذ eg 2 R 3 و 3 R 4 و 2 R 4

[15] بما أن xRy و yRz لا يمكن أن يحدثا أبدًا

[16] منذ eg 3 R 2 و 2 R 1، ولكن ليس 3 R 1

[17] نظرًا لأنه، بشكل عام، فإن xRy و yRz يعنيان أن x = y +1= z +2 ≠ z +1، أي ليس xRz ، لجميع x و y و z

[18] درام، كيفن (نوفمبر 2018). "التفضيلات ليست متعدية". مجلة ماذر جونز . مؤرشف من الأصل في 2018-11-29 . تم الاسترجاع في 2018-11-29 .

[19] أوليفيرا، إف دي؛ زيهافي، إس؛ دافيدوف، أو. (أغسطس 2018). "الانتقالية العشوائية: البديهيات والنماذج". مجلة علم النفس الرياضي . 85 : 25-35. doi :10.1016/j.jmp.2018.06.002. ISSN 0022-2496.

[20] سين، أ. (1969). "التحول شبه الانتقالي، الاختيار العقلاني والقرارات الجماعية". Rev. Econ. Stud . 36 (3): 381–393. doi :10.2307/2296434. JSTOR 2296434. Zbl 0181.47302.