الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا

في التحليل الحقيقي ، يُعد الخط الحقيقي الممتد إسقاطياً (ويسمى أيضاً التكثيف أحادي النقطة للخط الحقيقي ) امتداداً لمجموعة الأعداد الحقيقية .${\displaystyle \mathbb {R} }$، بنقطة يُرمز لها بـ ∞ . ^{[ 1 ]} وبالتالي فهي المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$مع توسيع العمليات الحسابية القياسية حيثما أمكن، ^{[ 1 ]} ويُشار إليها أحيانًا بـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$^{[ 2 ]} أو${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}.}$تُسمى النقطة المضافة بنقطة اللانهاية ، لأنها تُعتبر جارةً لكلا طرفي خط الأعداد الحقيقية. وبشكل أدق، فإن نقطة اللانهاية هي نهاية أي متتالية من الأعداد الحقيقية التي تتزايد قيمها المطلقة ولا حدود لها .

يمكن تعريف خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا بأنه خط إسقاطي حقيقي تُسند فيه القيم 0 و 1 و∞ إلى ثلاث نقاط . ويختلف خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا عن خط الأعداد الحقيقية الممتد خطيًا ، حيث تكون القيمتان +∞ و −∞ مختلفتين.

على عكس معظم النماذج الرياضية للأعداد، يسمح هذا الهيكل بالقسمة على صفر :

${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$

بالنسبة لـ a غير الصفرية . على وجه الخصوص، 1/0 = ∞ و 1/∞ = 0 ، مما يجعل دالة المقلوب 1/ x دالة كلية في هذا التركيب. ^{[ 1 ]} مع ذلك، فإن هذا التركيب ليس حقلاً ، ولا توجد أي عملية حسابية ثنائية كلية - على سبيل المثال، 0 ⋅ ∞ غير مُعرَّف، على الرغم من أن المقلوب كلي. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، له تفسيرات مفيدة - على سبيل المثال، في الهندسة، ميل الخط الرأسي هو ∞ . ^{[ 1 ]}

The projectively extended real line extends the field of real numbers in the same way that the Riemann sphere extends the field of complex numbers, by adding a single point called conventionally ∞.

In contrast, the affinely extended real number line (also called the two-point compactification of the real line) distinguishes between +∞ and −∞.

The order relation cannot be extended to ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ in a meaningful way. Given a number a ≠ ∞, there is no convincing argument to define either a > ∞ or that a < ∞. Since ∞ can't be compared with any of the other elements, there's no point in retaining this relation on ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$.^[2] However, order on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is used in definitions in ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$.

Fundamental to the idea that ∞ is a point no different from any other is the way the real projective line is a homogeneous space, in fact homeomorphic to a circle. For example the general linear group of 2 × 2 real invertiblematrices has a transitive action on it. The group action may be expressed by Möbius transformations (also called linear fractional transformations), with the understanding that when the denominator of the linear fractional transformation is 0, the image is ∞.

The detailed analysis of the action shows that for any three distinct points P, Q and R, there is a linear fractional transformation taking P to 0, Q to 1, and R to ∞ that is, the group of linear fractional transformations is triply transitive on the real projective line. This cannot be extended to 4-tuples of points, because the cross-ratio is invariant.

The terminology projective line is appropriate, because the points are in 1-to-1 correspondence with one-dimensionallinear subspaces of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

تعني المعادلتان التاليتان: إما أن يكون كلا الطرفين غير مُعرَّف، أو أن يكون كلا الطرفين مُعرَّفًا ومتساويًا. وهذا صحيح لأي${\displaystyle a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}}$

ينطبق ما يلي كلما تم تعريف التعبيرات المعنية، لأي${\displaystyle a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}}$

بشكل عام، جميع قوانين الحساب التي تنطبق على${\displaystyle \mathbb {R} }$وهي صالحة أيضًا لـ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$عندما يتم تعريف جميع التعبيرات الواردة.

يمكن توسيع مفهوم الفترة الزمنية ليشمل${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ومع ذلك، ولأنها ليست مجموعة مرتبة، فإن للفاصل معنى مختلفًا بعض الشيء. وفيما يلي تعريفات الفترات المغلقة (بافتراض أن ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$): ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}}$

باستثناء حالة تساوي نقطتي النهاية، تُعرَّف الفترات المفتوحة ونصف المفتوحة المقابلة بإزالة نقطتي النهاية المعنيتين. يُفيد هذا التعريف الجديد في حساب الفترات عند القسمة على فترة تحتوي على الصفر. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$والمجموعة الفارغة هي أيضاً فترات، كما هو الحال${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$باستثناء أي نقطة منفردة. ^{[ ب ]}

تحدد الفترات المفتوحة كأساس طوبولوجيا على${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$تكفي الفترات المفتوحة المحدودة كأساس في${\displaystyle \mathbb {R} }$والفترات${\displaystyle (b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}}$للجميع${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle a<b.}$

كما ذُكر، فإنّ الطوبولوجيا متماثلة شكليًا مع دائرة. وبالتالي، فهي قابلة للقياس (بالنسبة لتماثل شكلي مُعطى) تُطابق المقياس العادي على هذه الدائرة (سواءً تم قياسه بشكل مستقيم أو على طول الدائرة). لا يوجد مقياس يُمثل امتدادًا للمقياس العادي على${\displaystyle \mathbb {R} .}$

يمتد حساب الفترات إلى${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$من${\displaystyle \mathbb {R} }$تكون نتيجة أي عملية حسابية على فترات زمنية دائمًا فترة زمنية، إلا إذا احتوت الفترات التي تتضمن عملية ثنائية على قيم غير متوافقة تؤدي إلى نتيجة غير محددة. ^{[ ج ]} على وجه الخصوص، لدينا، لكل${\displaystyle a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$:

${\displaystyle x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,}$

بغض النظر عما إذا كانت أي من الفترتين تتضمن 0 و ∞ .

يمكن استخدام أدوات حساب التفاضل والتكامل لتحليل الدوال${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$تستند هذه التعريفات إلى طوبولوجيا هذا الفضاء.

When the real projective line is considered in the context of the real projective plane, then the consequences of Desargues' theorem are implicit. In particular, the construction of the projective harmonic conjugate relation between points is part of the structure of the real projective line. For instance, given any pair of points, the point at infinity is the projective harmonic conjugate of their midpoint.

As projectivities preserve the harmonic relation, they form the automorphisms of the real projective line. The projectivities are described algebraically as homographies, since the real numbers form a ring, according to the general construction of a projective line over a ring. Collectively they form the group PGL(2, R).

The projectivities which are their own inverses are called involutions. A hyperbolic involution has two fixed points. Two of these correspond to elementary, arithmetic operations on the real projective line: negation and reciprocation. Indeed, 0 and ∞ are fixed under negation, while 1 and −1 are fixed under reciprocation.

• Real projective plane
• Complex projective plane
• Wheel theory