الغطاء (الطوبولوجيا)

في الرياضيات ، وبشكل خاص في نظرية المجموعات ، غطاء ( أو تغطية ) ^{[ 1 ]} لمجموعة${\displaystyle X}$هي عائلة من المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$اتحادهم هو كل${\displaystyle X}$بصورة أكثر رسمية، إذا${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$هي عائلة مفهرسة من المجموعات الفرعية${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$(مفهرسة بواسطة المجموعة)${\displaystyle A}$)، ثم${\displaystyle C}$هو غلاف لـ${\displaystyle X}$لو $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X.}$$ وهكذا المجموعة${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$هو غلاف لـ${\displaystyle X}$إذا كان كل عنصر من${\displaystyle X}$ينتمي إلى مجموعة فرعية واحدة على الأقل${\displaystyle U_{\alpha }}$.

تُستخدم الأغطية بشكل شائع في سياق الطوبولوجيا . إذا كانت المجموعة${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً طوبولوجيًا ، فهو غطاء${\displaystyle C}$ل${\displaystyle X}$هي مجموعة من المجموعات الفرعية${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ل${\displaystyle X}$اتحادهما هو الفضاء بأكمله${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$في هذه الحالة${\displaystyle C}$يقال إنه يغطي${\displaystyle X}$أو أن المجموعات${\displaystyle U_{\alpha }}$غطاء${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

لو${\displaystyle Y}$هو فضاء جزئي (طوبولوجي) من${\displaystyle X}$ثم غلاف لـ${\displaystyle Y}$هي مجموعة من المجموعات الفرعية${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ل${\displaystyle X}$اتحادها يحتوي${\displaystyle Y}$. إنه،${\displaystyle C}$هو غلاف لـ${\displaystyle Y}$لو $${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$$ هنا،${\displaystyle Y}$قد يتم تغطيتها بأي من المجموعتين في${\displaystyle Y}$نفسها أو مجموعات في المساحة الأصلية${\displaystyle X}$.

غلاف${\displaystyle X}$يُقال إنها محدودة محليًا إذا كانت كل نقطة من${\displaystyle X}$يحتوي على حي يتقاطع مع عدد محدود فقط من المجموعات في الغلاف. رسميًا،${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$تكون محدودة محليًا إذا، لأي${\displaystyle x\in X}$يوجد بعض الأحياء${\displaystyle N(x)}$ل${\displaystyle x}$بحيث تكون المجموعة $${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$$ محدود. غطاء من${\displaystyle X}$يُقال إن النظام محدود النقاط إذا كانت كل نقطة من نقاطه${\displaystyle X}$يحتوي الغطاء على عدد محدود فقط من المجموعات. ^{[ 1 ]} يكون الغطاء منتهيًا نقطيًا إذا كان منتهيًا محليًا، على الرغم من أن العكس ليس صحيحًا بالضرورة.

يترك${\displaystyle C}$ليكن غطاءً لفضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$غلاف فرعي من${\displaystyle C}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle C}$وهذا لا يزال يغطي${\displaystyle X}$الغلاف${\displaystyle C}$يقال إنهغطاء مفتوح إذا كان كل عنصر من عناصرهمجموعة مفتوحة. أي أن كل${\displaystyle U_{\alpha }}$يحتوي على${\displaystyle T}$، أين${\displaystyle T}$هل الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

إحدى الطرق البسيطة للحصول على غلاف فرعي هي حذف المجموعات الموجودة في مجموعة أخرى من الغلاف. ضع في اعتبارك الأغلفة المفتوحة تحديدًا.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$أن تكون أساسًا طوبولوجيًا لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle {\mathcal {O}}}$كن غطاءً مفتوحًا لـ${\displaystyle X}$أولاً، خذ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ يوجد }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ بحيث }}A\subseteq U\}}$. ثم${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هو تحسين لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. بعد ذلك، لكل${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$يمكن للمرء أن يختار${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$يحتوي على${\displaystyle A}$(يتطلب ذلك بديهية الاختيار). ثم${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$هو غلاف فرعي لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$وبالتالي، يمكن أن تكون قيمة عدد عناصر غطاء جزئي لغطاء مفتوح صغيرةً مثل قيمة عدد عناصر أي أساس طوبولوجي. ومن ثم، فإن قابلية العد الثانية تستلزم أن يكون الفضاء من نوع ليندلوف .

تحسين الغلاف​${\displaystyle C}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$غلاف جديد${\displaystyle D}$ل${\displaystyle X}$بحيث يكون كل مجموعة في${\displaystyle D}$يحتوي على مجموعة ما في${\displaystyle C}$رسميًا،

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$هو تحسين لـ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$إن كان ذلك للجميع${\displaystyle \beta \in B}$يوجد${\displaystyle \alpha \in A}$بحيث${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

بمعنى آخر، هناك خريطة تحسين${\displaystyle \phi :B\to A}$مُرضٍ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$لكل${\displaystyle \beta \in B.}$تُستخدم هذه الخريطة، على سبيل المثال، في علم التماثل التشيكي لـ${\displaystyle X}$[ ^{2 ]​}

كل غلاف فرعي هو أيضاً نسخة محسّنة، لكن العكس ليس صحيحاً دائماً. الغلاف الفرعي يتكون من المجموعات الموجودة في الغلاف، مع حذف بعضها؛ بينما النسخة المحسّنة تتكون من أي مجموعات تُعدّ مجموعات فرعية من المجموعات الموجودة في الغلاف.

علاقة التحسين على مجموعة أغلفة${\displaystyle X}$هي فعل متعدٍّ وانعكاسي ، أي أنها فعل ترتيب جزئي . وهي ليست غير متناظرة أبدًا بالنسبة لـ${\displaystyle X\neq \emptyset }$.

بشكل عام، يُعد تحسين بنية معينة تحسينًا آخرًا يحتوي عليها بطريقة أو بأخرى. ومن الأمثلة على ذلك تقسيم فترة زمنية (أحد تحسينات بنية معينة).${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$كون${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$عند النظر في الطوبولوجيا ( الطوبولوجيا القياسية في الفضاء الإقليدي هي تحسين للطوبولوجيا التافهة )، يكون الوضع مختلفًا بعض الشيء عند تقسيم المجمعات التبسيطية ( التقسيم المركزي الأول للمجمع التبسيطي هو تحسين)، حيث يكون كل مُبسط في المجمع الأدق وجهًا لمُبسط ما في المجمع الأوسع، وكلاهما لهما نفس المجسمات الأساسية.

وهناك مفهوم آخر للتحسين وهو مفهوم تحسين النجوم .

تُستخدم لغة الأغطية غالبًا لتعريف العديد من الخصائص الطوبولوجية المتعلقة بالتراص. الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$يقال إنه:

• مضغوط إذا كان لكل غطاء مفتوح غطاء فرعي محدود، (أو بشكل مكافئ أن لكل غطاء مفتوح تحسين محدود)؛
• لينديلوف إذا كان لكل غلاف مفتوح غلاف فرعي قابل للعد ، (أو ما يعادله أن لكل غلاف مفتوح تحسين قابل للعد)؛
• الميتاكومباكت : إذا كان لكل غطاء مفتوح تحسين مفتوح محدود النقاط؛
• شبه متراص : إذا كان كل غطاء مفتوح يقبل تحسينًا مفتوحًا محدودًا محليًا؛ و
• orthocompact : إذا كان لكل غطاء مفتوح تحسين مفتوح يحافظ على الجزء الداخلي.

للاطلاع على المزيد من الاختلافات، راجع المقالات المذكورة أعلاه.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يقال إن له أبعاد تغطية${\displaystyle n}$إذا كان كل غطاء مفتوح لـ${\displaystyle X}$يحتوي على تحسين مفتوح محدود النقاط بحيث لا توجد نقطة من${\displaystyle X}$مدرج في أكثر من${\displaystyle n+1}$يتم تحديدها في عملية التحسين، وإذا${\displaystyle n}$هي القيمة الدنيا التي يتحقق عندها هذا الشرط. ^{[ 3 ]} إذا لم تكن هناك قيمة دنيا كهذه${\displaystyle n}$إذا وُجدت، يُقال إن الفضاء ذو ​​بُعد تغطية لا نهائي.

• الأطلس (الطوبولوجيا) - مجموعة من المخططات التي تصف فضاءً متعدد الأبعاد 
• علم الحدود – تعميم رياضي لمفهوم الحدود 
• مساحة التغطية – نوع من الخرائط المتصلة في علم الطوبولوجيا 
• طوبولوجيا غروتينديك – البنية الرياضية 
• تقسيم المجموعة – طرق رياضية لتجميع عناصر المجموعة 
• مسألة تغطية المجموعة – مسألة كلاسيكية في التوافقية 
• تحسين النجوم
• الرصف الفرعي – شكل هندسي 

• مقدمة في علم الطوبولوجيا ، الطبعة الثانية، تأليف ثيودور دبليو. غاميلين وروبرت إيفريست غرين . منشورات دوفر، 1999. رقم ISBN 0-486-40680-6
• كيلي، جون ل. (1975) [1955]. الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  27 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 1365153 . 

• "تغطية (مجموعة)" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]