النظام السابق

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ شبكة اللقاءات ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الترتيب ، يُعد الترتيب الجزئي أو شبه الترتيب علاقة ثنائية انعكاسية ومتعدية . ويُقصد بمصطلح "الترتيب الجزئي" الإشارة إلى أن الترتيبات الجزئية هي ترتيبات شبه جزئية ، ولكنها ليست كذلك تماماً، إذ أنها ليست بالضرورة متناظرة عكسياً .

من الأمثلة الطبيعية على الترتيب الجزئي علاقة القسمة "س يقسم ص" بين الأعداد الصحيحة . هذه العلاقة انعكاسية لأن كل عدد صحيح يقسم نفسه. وهي أيضًا متعدية. لكنها ليست مضادة للتناظر، لأن مثلاً${\displaystyle 1}$يقسم${\displaystyle -1}$و${\displaystyle -1}$يقسم${\displaystyle 1}$، لكن${\displaystyle -1}$لا يساوي${\displaystyle 1}$يشير مصطلح "الأقل" في عبارة " المضاعف المشترك الأصغر " إلى هذا الترتيب المسبق (على عكس استخدام الترتيب الطبيعي للأعداد الصحيحة، على سبيل المثال) .${\displaystyle 4}$و${\displaystyle 6}$لها مضاعفات مشتركة${\displaystyle 24}$،${\displaystyle 12}$،${\displaystyle 0}$،${\displaystyle -12}$،${\displaystyle -24}$...، ولكن ليس أقلها واحداً).

ترتبط الترتيبات الجزئية ارتباطًا وثيقًا بعلاقات التكافؤ والترتيبات الجزئية (غير الصارمة). وكلاهما حالتان خاصتان من الترتيب الجزئي: فالترتيب الجزئي غير المتناظر هو ترتيب جزئي، والترتيب الجزئي المتناظر هو علاقة تكافؤ. علاوة على ذلك، فإن الترتيب الجزئي على مجموعة ما${\displaystyle X}$ويمكن تعريفها بشكل مكافئ على أنها علاقة تكافؤ على${\displaystyle X}$بالإضافة إلى ترتيب جزئي على مجموعة فئة التكافؤ ، انظر الصورة. ومثل الترتيبات الجزئية وعلاقات التكافؤ، فإن الترتيبات المسبقة (على مجموعة غير فارغة) لا تكون غير متناظرة أبدًا .

يمكن تصور الترتيب الجزئي كرسم بياني موجه ، حيث تمثل عناصر المجموعة الرؤوس، وتمثل علاقة الترتيب بين أزواج العناصر الحواف الموجهة بين الرؤوس. لكن العكس غير صحيح: فمعظم الرسوم البيانية الموجهة ليست انعكاسية ولا متعدية. الترتيب الجزئي غير المتناظر لا يحتوي على دورات؛ فهو ترتيب جزئي، ويقابله رسم بياني موجه غير دوري . أما الترتيب الجزئي المتناظر فهو علاقة تكافؤ؛ ويمكن اعتباره كأنه فقد علامات الاتجاه على حواف الرسم البياني. عمومًا، قد يحتوي الرسم البياني الموجه المقابل للترتيب الجزئي على العديد من المكونات المنفصلة.

يُشار غالبًا إلى الطلب المسبق بـ${\displaystyle \,\lesssim \,}$أو${\displaystyle \,\leq \,}$.

علاقة ثنائية${\displaystyle \,\lesssim \,}$على مجموعة${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم الترتيب المسبق أو شبه الترتيب إذا كان انعكاسيًا ومتعديًا ؛ أي إذا كان يحقق ما يلي :

1. الانعكاسية :${\displaystyle a\lesssim a}$للجميع${\displaystyle a\in X,}$و
2. التعدي : إذا${\displaystyle a\lesssim b{\text{ و }}b\lesssim c{\text{ ثم }}a\lesssim c}$للجميع${\displaystyle a,b,c\in X.}$

تُسمى المجموعة التي تحتوي على ترتيب مسبق مجموعة مرتبة مسبقًا (أو مجموعة مرتبة مسبقًا ). ^{[ 1 ]}

بشرط الطلب المسبق${\displaystyle \,\lesssim \,}$على${\displaystyle X}$يمكن تعريف علاقة التكافؤ${\displaystyle \,\sim \,}$على${\displaystyle X}$بواسطة $${\displaystyle a\sim b\quad {\text{ إذا }}\quad a\lesssim b\;{\text{ و }}\;b\lesssim a.}$$ العلاقة الناتجة${\displaystyle \,\sim \,}$هو انعكاسي لأن الترتيب المسبق${\displaystyle \,\lesssim \,}$هي انعكاسية؛ متعدية بتطبيق خاصية التعدي لـ${\displaystyle \,\lesssim \,}$مرتين؛ ومتناظر بحكم التعريف.

باستخدام هذه العلاقة، من الممكن إنشاء ترتيب جزئي على مجموعة القسمة${\displaystyle X/\sim }$من خلال تعريف التكافؤ${\displaystyle [x]\leq [y]}$لو${\displaystyle x\lesssim y.}$ وهذا أمر محدد جيداً ، بمعنى أنه لا يعتمد على الاختيار المحدد للممثلين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، ويتبع ذلك من تعريف${\displaystyle \,\sim \,}$.

وبالعكس، من أي ترتيب جزئي على تجزئة لمجموعة${\displaystyle X,}$من الممكن إنشاء ترتيب مسبق على${\displaystyle X}$في حد ذاتها. هناك تطابق واحد لواحد بين الترتيبات المسبقة والأزواج (التقسيم، الترتيب الجزئي).

مثال : ليكن${\displaystyle X}$ليكن مجموعة جميع الجمل (الصحيحة أو غير الصحيحة) في أحد فروع الرياضيات، مثل الهندسة . عرّف${\displaystyle p\Leftarrow q}$لو${\displaystyle p}$وهي نتيجة منطقية لـ${\displaystyle q}$. ثم${\displaystyle \Leftarrow }$الطلب المسبق متاح على${\displaystyle X}$كل جملة${\displaystyle p}$يمكن إثبات ذلك من نفسه (الانعكاسية)، وإذا${\displaystyle p}$يمكن إثبات ذلك من${\displaystyle q}$، و${\displaystyle q}$من${\displaystyle r}$، ثم${\displaystyle p}$ويمكن إثبات ذلك أيضاً من${\displaystyle r}$(التعدي). يُشار عادةً إلى علاقة التكافؤ المقابلة بـ${\displaystyle p\Leftrightarrow q}$، وتعريفها على النحو التالي${\displaystyle p\Leftarrow q}$و${\displaystyle q\Leftarrow p}$في هذه الحالة${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$تُسمى هذه الجمل " متكافئة منطقيًا ". فئة التكافؤ للجملة${\displaystyle p}$هي مجموعة جميع الجمل${\displaystyle q\in X}$والتي تُعادل منطقياً ما يلي${\displaystyle p}$; رسميًا:${\displaystyle [p]=\{q\mid p\Leftrightarrow q\}}$المجموعة المطلوبة مسبقًا${\displaystyle (X,\Leftarrow )}$هي مجموعة موجهة : بالنظر إلى جملتين${\displaystyle p,q\in X}$، اقترانهم المنطقي${\displaystyle p\wedge q}$، تُنطق "كلاهما${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$"، هو حد أعلى شائع لها، لأن${\displaystyle p}$هو نتيجة لـ${\displaystyle p\wedge q}$وكذلك${\displaystyle q}$المجموعة المرتبة جزئياً${\displaystyle \left(X/\Leftrightarrow ,\Leftarrow \right)}$وبالتالي، فهي أيضاً مجموعة موجهة. انظر إلى جبر ليندنبوم-تارسكي للحصول على مثال ذي صلة.

إذا استُبدلت خاصية الانعكاسية بخاصية عدم الانعكاسية (مع الحفاظ على خاصية التعدي)، فسنحصل على تعريف الترتيب الجزئي الصارم على${\displaystyle X}$لهذا السبب، يُستخدم مصطلح الترتيب الجزئي الصارم أحيانًا للدلالة على الترتيب الجزئي الصارم. أي أن هذه علاقة ثنائية.${\displaystyle \,<\,}$على${\displaystyle X}$الذي يرضي:

1. اللاانعكاسية أو اللاانعكاسية: لا${\displaystyle a<a}$للجميع${\displaystyle a\in X;}$إنه،${\displaystyle \,a<a}$هذا غير صحيح بالنسبة للجميع${\displaystyle a\in X,}$و
2. التعدي : إذا${\displaystyle a<b{\text{ and }}b<c{\text{ then }}a<c}$للجميع${\displaystyle a,b,c\in X.}$

كل علاقة ثنائية${\displaystyle R}$على مجموعة${\displaystyle X}$يمكن تمديدها إلى طلب مسبق على${\displaystyle X}$عن طريق أخذ الإغلاق المتعدي والإغلاق الانعكاسي ،${\displaystyle R^{+=}.}$ يشير الإغلاق المتعدي إلى اتصال المسار في${\displaystyle R:xR^{+}y}$إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle R}$- المسار من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y.}$

الترتيب المسبق المتبقي الأيسر الناتج عن علاقة ثنائية

بالنظر إلى علاقة ثنائية${\displaystyle R,}$التركيبة المكملة${\displaystyle R\backslash R={\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}}$يشكل ترتيبًا مسبقًا يسمى الباقي الأيسر ، ^{[ 5 ]} حيث${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$يشير إلى العلاقة العكسية لـ${\displaystyle R,}$و${\displaystyle {\overline {R}}}$يشير إلى علاقة التتميم لـ${\displaystyle R,}$بينما${\displaystyle \circ }$يشير إلى تكوين العلاقة .

إذا كان الترتيب المسبق متناظرًا أيضًا ، أي${\displaystyle a\lesssim b}$و${\displaystyle b\lesssim a}$يشير إلى${\displaystyle a=b,}$إذن فهو طلب جزئي .

من ناحية أخرى، إذا كان متناظرًا ، أي إذا${\displaystyle a\lesssim b}$يشير إلى${\displaystyle b\lesssim a,}$إذن فهي علاقة تكافؤ .

يُعتبر الطلب المسبق كاملاً إذا${\displaystyle a\lesssim b}$أو${\displaystyle b\lesssim a}$للجميع${\displaystyle a,b\in X.}$

الفئة المُرتبة مسبقًا هي فئة مزودة بترتيب مسبق. كل مجموعة هي فئة، وبالتالي فإن كل مجموعة مُرتبة مسبقًا هي فئة مُرتبة مسبقًا.

تلعب الطلبات المسبقة دوراً محورياً في العديد من المواقف:

• يمكن إعطاء كل ترتيب مسبق طوبولوجيا، وهي طوبولوجيا ألكسندروف ؛ وفي الواقع، كل ترتيب مسبق على مجموعة ما يكون في تطابق واحد لواحد مع طوبولوجيا ألكسندروف على تلك المجموعة.
• يمكن استخدام الترتيبات المسبقة لتعريف الجبر الداخلي .
• توفر الطلبات المسبقة دلالات كريپكي لأنواع معينة من المنطق الموجه .
• تُستخدم الترتيبات الجزئية في فرض النتائج في نظرية المجموعات لإثبات نتائج الاتساق والاستقلال . ^{[ 6 ]}

لاحظ أن S ( n , k ) يشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني .

كما هو موضح أعلاه، توجد علاقة تناظرية بين الترتيبات الجزئية والأزواج (التقسيم، الترتيب الجزئي). وبالتالي، فإن عدد الترتيبات الجزئية هو مجموع عدد الترتيبات الجزئية في كل تقسيم. على سبيل المثال:

ل${\displaystyle a\lesssim b,}$الفاصل الزمني${\displaystyle [a,b]}$هي مجموعة النقاط x التي تحقق${\displaystyle a\lesssim x}$و${\displaystyle x\lesssim b,}$مكتوب أيضًا${\displaystyle a\lesssim x\lesssim b.}$يحتوي على الأقل على النقطتين أ و ب . ويمكن للمرء أن يختار توسيع التعريف ليشمل جميع الأزواج.${\displaystyle (a,b)}$الفترات الإضافية كلها فارغة.

باستخدام العلاقة الصارمة المقابلة "${\displaystyle <}$ويمكن أيضاً تعريف الفترة الزمنية${\displaystyle (a,b)}$باعتبارها مجموعة النقاط x التي تحقق${\displaystyle a<x}$و${\displaystyle x<b,}$مكتوب أيضًا${\displaystyle a<x<b.}$قد تكون الفترة المفتوحة فارغة حتى لو${\displaystyle a<b.}$

أيضًا${\displaystyle [a,b)}$و${\displaystyle (a,b]}$ويمكن تعريفها بشكل مماثل.

• الترتيب الجزئي – ترتيب مسبق مضاد للتناظر
• علاقة التكافؤ – ترتيب جزئي متناظر
• إجمالي الطلبات المسبقة - إجمالي الطلبات المسبقة
• الطلب الكلي – الطلب المسبق غير المتماثل والكلي
• مجموعة موجهة
• فئة المجموعات المطلوبة مسبقًا
• الطلب المسبق
• ترتيب شبه جيد

• Schmidt, Gunther, "Relational Mathematics", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-76268-7
• Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9