التكامل التذبذبي

في التحليل الرياضي، يُعد التكامل التذبذبي نوعًا من أنواع التوزيعات . تُضفي التكاملات التذبذبية دقةً على العديد من الحجج التي تبدو، للوهلة الأولى، وكأنها تستخدم التكاملات المتباعدة. من الممكن تمثيل معاملات الحلول التقريبية للعديد من المعادلات التفاضلية باستخدام التكاملات التذبذبية.

تكامل تذبذبي${\displaystyle f(x)}$تُكتب رسمياً على النحو التالي:

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}$

أين${\displaystyle \phi (x,\xi )}$و${\displaystyle a(x,\xi )}$الوظائف المعرفة على${\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$بالخصائص التالية:

1. الوظيفة${\displaystyle \phi }$دالة حقيقية القيمة، متجانسة موجبة من الدرجة  1، وقابلة للتفاضل بلا حدود بعيدًا عن${\displaystyle \{\xi =0\}}$كما نفترض أن${\displaystyle \phi }$لا توجد أي نقاط حاسمة بشأن دعم${\displaystyle a}$وظيفة كهذه،${\displaystyle \phi }$يُطلق عليها عادةً اسم دالة الطور . في بعض السياقات، تُؤخذ في الاعتبار دوال أكثر عمومية، ويُشار إليها أيضاً باسم دوال الطور.
2. الوظيفة${\displaystyle a}$ينتمي إلى إحدى فئات الرموز${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$بالنسبة للبعض${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$بشكل بديهي، تعمم فئات الرموز هذه مفهوم الدوال المتجانسة إيجابياً من الدرجة${\displaystyle m}$كما هو الحال مع دالة الطور${\displaystyle \phi }$، وفي بعض الحالات الوظيفة${\displaystyle a}$يُعتبر ذلك ضمن فئات أكثر عمومية، أو فئات مختلفة.

متى${\displaystyle m<-N}$، التكامل الرسمي الذي يحدد${\displaystyle f(x)}$يتقارب لجميع${\displaystyle x}$ولا حاجة لمزيد من النقاش حول تعريف${\displaystyle f(x)}$لكن عندما${\displaystyle m\geq -N}$، لا يزال التكامل التذبذبي يُعرَّف على أنه توزيع على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، حتى وإن لم يتقارب التكامل. في هذه الحالة، يكون التوزيع${\displaystyle f(x)}$يتم تعريفها باستخدام حقيقة أن${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$يمكن تقريبها بواسطة دوال ذات اضمحلال أسي في${\displaystyle \xi }$إحدى الطرق الممكنة للقيام بذلك هي عن طريق التعيين

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,}$

حيث تُؤخذ النهاية بمعنى التوزيعات المعتدلة . وباستخدام التكامل بالتجزئة ، يمكن إثبات أن هذه النهاية مُعرَّفة جيدًا، وأنه يوجد مؤثر تفاضلي${\displaystyle L}$بحيث يكون التوزيع الناتج${\displaystyle f(x)}$التصرف بناءً على أي${\displaystyle \psi }$في فضاء شوارتز، يُعطى بواسطة

${\displaystyle \langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,}$

حيث يتقارب هذا التكامل تقاربًا مطلقًا. المؤثر${\displaystyle L}$لا يتم تعريفها بشكل فريد، ولكن يمكن اختيارها بطريقة تعتمد فقط على دالة الطور.${\displaystyle \phi }$الأمر${\displaystyle m}$رمز${\displaystyle a}$، و${\displaystyle N}$في الواقع، بالنظر إلى أي عدد صحيح${\displaystyle M}$، من الممكن العثور على مشغل${\displaystyle L}$بحيث تكون الدالة المراد تكاملها أعلاه محدودة بـ${\displaystyle C(1+|\xi |)^{-M}}$ل${\displaystyle |\xi |}$كبيرة بما يكفي. هذا هو الغرض الرئيسي من تعريف فئات الرموز.

يمكن كتابة العديد من التوزيعات المألوفة على شكل تكاملات تذبذبية.

تنص نظرية انعكاس فورييه على أن دالة دلتا ،${\displaystyle \delta (x)}$يساوي

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .}$

إذا طبقنا الطريقة الأولى لتعريف هذا التكامل التذبذبي من الأعلى، بالإضافة إلى تحويل فورييه للدالة الغاوسية ، فسنحصل على سلسلة معروفة من الدوال التي تقارب دالة دلتا:

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.}$

مشغل${\displaystyle L}$في هذه الحالة يتم تقديمها على سبيل المثال بواسطة

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},}$

أين${\displaystyle \Delta _{x}}$هو لابلاس بالنسبة إلى${\displaystyle x}$المتغيرات، و${\displaystyle k}$هل أي عدد صحيح أكبر من${\displaystyle (n-1)/2}$في الواقع، مع هذا${\displaystyle L}$لدينا

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

وهذا التكامل يتقارب تقارباً مطلقاً.

يمكن كتابة نواة شوارتز لأي مؤثر تفاضلي على شكل تكامل تذبذبي. في الواقع، إذا

${\displaystyle L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

أين${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}}$ثم نواة${\displaystyle L}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .}$

يمكن تمثيل أي توزيع لاغرانجي محليًا بتكاملات تذبذبية، انظر هورماندر (1983) . وعلى العكس، فإن أي تكامل تذبذبي هو توزيع لاغرانجي. وهذا يُعطي وصفًا دقيقًا لأنواع التوزيعات التي يمكن تمثيلها بتكاملات تذبذبية.

• ليمّا ريمان-ليبيغ
• معضلة فان دير كوربوت
• مؤثر التكامل التذبذبي

• هورماندر ، لارس (1983)، تحليل العوامل التفاضلية الجزئية الخطية IV ، Springer-Verlag، ISBN 0-387-13829-3
• هورماندر ، لارس (1971)، "مؤثرات التكامل الفورييه I"، أكتا ماث. ، 127 : 79-183 ، doi : 10.1007/bf02392052