نظرية انعكاس فورييه

أكثر الصيغ شيوعًا لنظرية فورييه العكسية هي صياغة التحويل العكسي كدالة تكاملية. لأي دالة قابلة للتكامل${\displaystyle g}$وكل شيء${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$تعيين

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

ثم للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$لدينا

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

يمكن إعادة صياغة النظرية على النحو التالي

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

بأخذ الجزء الحقيقي ^{[ 1 ]} من كل طرف من المعادلة أعلاه نحصل على

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

لأي وظيفة${\displaystyle g}$تعريف عامل الانعكاس ^{[ 2 ]}${\displaystyle R}$بواسطة

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

ثم يمكننا بدلاً من ذلك أن نحدد

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

يتضح مباشرةً من تعريف تحويل فورييه ومؤثر القلب أن كلاهما${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$و${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$تطابق التعريف التكاملي لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$، وعلى وجه الخصوص، يتساوى كل منهما مع الآخر ويحققان ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$⁠ .

منذ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f={\mathcal {F}}^{2}f}$لدينا${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$و​${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}}$⁠ .

صيغة نظرية انعكاس فورييه المذكورة أعلاه، كما هو شائع، هي كالتالي:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

بعبارة أخرى،${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$هي معكوس يساري لتحويل فورييه. ومع ذلك، فهي أيضًا معكوس يميني لتحويل فورييه، أي

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

منذ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$يشبه إلى حد كبير ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}}$وهذا يتبع بسهولة بالغة من نظرية انعكاس فورييه (تغيير المتغيرات ).${\displaystyle \zeta$ :=-\xi } ⁠ ):

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

أو يمكن ملاحظة ذلك من خلال العلاقة بين${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$وعامل الانعكاس وخاصية التجميع في تركيب الدوال ، لأن

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

تنطبق نظرية انعكاس فورييه على جميع دوال شوارتز (بمعنى أدق، الدوال الملساء التي تتلاشى بسرعة، ومشتقاتها من جميع الرتب تتلاشى بسرعة أيضًا). تكمن فائدة هذا الشرط في كونه بيانًا مباشرًا وبسيطًا عن الدالة (بدلًا من فرض شرط على تحويل فورييه الخاص بها)، كما أن التكامل الذي يُعرّف تحويل فورييه ومعكوسه قابلان للتكامل المطلق. يُستخدم هذا الشكل من النظرية في برهان نظرية انعكاس فورييه للتوزيعات المعتدلة (انظر أدناه).

تنطبق نظرية انعكاس فورييه على جميع الدوال المتصلة القابلة للتكامل المطلق ( أي${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$) مع تحويل فورييه قابل للتكامل المطلق. يشمل هذا جميع دوال شوارتز، لذا فهو شكل أقوى بكثير من النظرية المذكورة سابقًا. هذا الشرط هو المستخدم أعلاه في قسم البيان .

يتمثل أحد الاختلافات الطفيفة في إسقاط الشرط الذي تنص عليه الدالة${\displaystyle f}$يجب أن تكون متصلة، ولكن مع ذلك يجب أن تكون هي وتحويل فورييه الخاص بها قابلة للتكامل المطلق. عندئذٍ${\displaystyle f=g}$في كل مكان تقريبًا حيث تكون الدالة g دالة متصلة، و${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$لكل​${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠ .

أملس جزئيًا؛ بُعد واحد

إذا كانت الدالة قابلة للتكامل المطلق في بُعد واحد ( أي${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$إذا كانت الدالة ( ) سلسة جزئيًا، فإن صيغة من نظرية انعكاس فورييه تنطبق. في هذه الحالة، نُعرّف

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

ثم للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

أي${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$يساوي متوسط ​​الحدين الأيسر والأيمن لـ${\displaystyle f}$في​${\displaystyle x}$. عند النقاط التي${\displaystyle f}$إذا كانت متصلة، فهذا يساوي ببساطة ⁠${\displaystyle f(x)}$⁠ .

ينطبق أيضًا نظير ذو أبعاد أعلى لهذا الشكل من النظرية، ولكن وفقًا لفولاند (1992) فهو "حساس نوعًا ما وغير مفيد بشكل كبير".

متصل على أجزاء؛ بُعد واحد

إذا كانت الدالة قابلة للتكامل المطلق في بُعد واحد ( أي${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$إذا كانت الدالة متصلة بشكل جزئي فقط، فإن صيغة من نظرية فورييه العكسية تظل سارية. في هذه الحالة، يُعرَّف التكامل في تحويل فورييه العكسي باستخدام دالة قطع سلسة بدلاً من دالة قطع حادة؛ على وجه التحديد، نُعرِّف

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

وبالتالي فإن استنتاج النظرية هو نفسه بالنسبة للحالة السلسة القطعية التي تمت مناقشتها أعلاه.

متصل؛ أي عدد من الأبعاد

لو${\displaystyle f}$متصلة وقابلة للتكامل بشكل مطلق على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذن، تظل نظرية انعكاس فورييه سارية طالما أننا نعرّف التحويل العكسي مرة أخرى بدالة قطع سلسة، أي

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

والخلاصة الآن هي ببساطة أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

لا يوجد شرط انتظام؛ أي عدد من الأبعاد

إذا تخلينا عن جميع الافتراضات المتعلقة باستمرارية (القطعية) لـ${\displaystyle f}$وبافتراض أنها قابلة للتكامل المطلق فقط، فإن صيغة من النظرية لا تزال قائمة. يُعرَّف التحويل العكسي مرة أخرى بالقطع السلس، ولكن مع الاستنتاج التالي:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

لكل شيء تقريبًا${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠ .

في هذه الحالة، لا يمكن تعريف تحويل فورييه مباشرةً كتكامل لأنه قد لا يكون متقاربًا تقاربًا مطلقًا، لذا يتم تعريفه بدلاً من ذلك بواسطة وسيط الكثافة (انظر تحويل فورييه §  حول فضاءات Lp ). على سبيل المثال، بوضع

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

يمكننا أن نحدد${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$حيث يتم تحديد الحد في${\displaystyle L^{2}}$المعيار -norm. يمكن تعريف التحويل العكسي بالكثافة بنفس الطريقة أو بتعريفه بدلالة تحويل فورييه ومؤثر القلب. عندئذٍ لدينا

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

في معيار متوسط ​​المربعات . في بُعد واحد (وبُعد واحد فقط)، يمكن أيضًا إثبات أنها تتقارب لكل تقريبًا${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. هذه هي نظرية كارلسون ، ولكن من الصعب إثباتها أكثر من التقارب في متوسط ​​المعيار التربيعي.

يمكن تعريف تحويل فورييه على فضاء التوزيعات المعتدلة${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$بفضل ازدواجية تحويل فورييه على فضاء دوال شوارتز. تحديدًا لـ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$وبالنسبة لجميع وظائف الاختبار${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$لقد حددنا

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle$ :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}

أين${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$يُعرَّف باستخدام الصيغة التكاملية. ^{[ 3 ]} إذا${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$إذن، هذا يتفق مع التعريف المعتاد. يمكننا تعريف التحويل العكسي ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$إما عن طريق الازدواجية من التحويل العكسي على دوال شوارتز بنفس الطريقة، أو بتعريفها بدلالة عامل الانعكاس (حيث يُعرَّف عامل الانعكاس بالازدواجية). عندئذٍ يكون لدينا

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$