النقطة الحرجة (الرياضيات)

في الرياضيات ، النقطة الحرجة هي وسيط الدالة حيث تكون مشتقة الدالة صفرًا (أو غير معرفة، كما هو موضح أدناه). قيمة الدالة عند النقطة الحرجة هيالقيمة الحرجة . ^{[ 1 ]}

وبشكل أكثر تحديدًا، عند التعامل مع دوال المتغير الحقيقي ، تُعرَّف النقطة الحرجة بأنها نقطة في مجال الدالة حيث تكون مشتقة الدالة مساوية للصفر (وتُعرف أيضًا بالنقطة الثابتة ) أو حيث تكون الدالة غير قابلة للتفاضل . ^{[ 2 ]} وبالمثل، عند التعامل مع المتغيرات المركبة ، تُعرَّف النقطة الحرجة بأنها نقطة في مجال الدالة حيث تكون مشتقتها مساوية للصفر (أو حيث تكون الدالة غير تحليلية ). ^{[ 3 ] [ 4 ]} كذلك، بالنسبة لدالة المتغير الحقيقي ، تُعرَّف النقطة الحرجة بأنها قيمة في مجالها حيث يكون معيار التدرج مساويًا للصفر (أو غير مُعرَّف). ^{[ 5 ]}

يمتد هذا النوع من التعريف إلى الخرائط القابلة للتفاضل بين${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$و​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$النقطة الحرجة ، في هذه الحالة، هي النقطة التي لا تكون عندها رتبة مصفوفة جاكوبي قصوى. ويمتد هذا المفهوم ليشمل التطبيقات القابلة للتفاضل بين مشعبات قابلة للتفاضل ، حيث تُعرف النقاط الحرجة بأنها النقاط التي تتناقص عندها رتبة مصفوفة جاكوبي. في هذه الحالة، تُسمى النقاط الحرجة أيضًا بنقاط التشعب . على وجه الخصوص، إذاكان C منحنىً مستويًا ، مُعرَّفًا بالمعادلة الضمنية f ( x , y ) = 0 ، فإن النقاط الحرجة للإسقاط على المحور x ، الموازي للمحور y ، هي النقاط التي يكون عندها المماس لـ C موازيًا للمحور y ، أي النقاط التي${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$وبعبارة أخرى، فإن النقاط الحرجة هي تلك التي لا تنطبق عليها نظرية الدالة الضمنية .

النقطة الحرجة لدالة لمتغير حقيقي واحد ، f ( x ) ، هي قيمة x ≥ 0 في مجال f _حيث تكون f غير قابلة للتفاضل أو مشتقتها تساوي صفرًا (أي${\displaystyle f'(x_{0})=0}$[ ^{2 ]} القيمة الحرجة هي صورة النقطة الحرجة تحت منحنى الدالة f . يمكن تصور هذه المفاهيم من خلال رسم الدالة f : عند النقطة الحرجة، يكون للرسم البياني مماس أفقي ^إن أمكن تحديده أصلاً.

لاحظ كيف أن النقطة الحرجة بالنسبة للدالة القابلة للتفاضل هي نفسها النقطة الثابتة .

على الرغم من سهولة تصورها على الرسم البياني (وهو منحنى)، يجب عدم الخلط بين مفهوم النقطة الحرجة للدالة ومفهوم النقطة الحرجة، في اتجاه معين، للمنحنى ( انظر أدناه لتعريف مفصل). إذا كانت g ( x , y ) دالة قابلة للتفاضل لمتغيرين، فإن g ( x , y ) = 0 هي المعادلة الضمنية للمنحنى. النقطة الحرجة لهذا المنحنى، بالنسبة للإسقاط الموازي للمحور y (التحويل ( x , y ) → x )، هي نقطة على المنحنى حيث${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.}$هذا يعني أن مماس المنحنى موازٍ للمحور y ، وأن الدالة g عند هذه النقطة _لا تُعرّف دالة ضمنية من x إلى y (انظر _نظرية الدالة الضمنية ). إذا كانت النقطة ( x₀ , y₀ ) نقطة حرجة، فإن _x₀ هي القيمة الحرجة المقابلة لها . تُسمى هذه النقطة الحرجة أيضًا بنقطة تشعب ، لأنه عمومًا، عند تغير x ، يوجد فرعان للمنحنى على جانب x₀ ، _وصفر على الجانب الآخر.

يستنتج من هذه التعريفات أن الدالة القابلة للتفاضل f ( x ) لها نقطة حرجة x₀ بقيمة حرجة _{y₀ ،} إذا وفقط إذا _كانت النقطة ( x₀ _, y₀ ) نقطة حرجة لمنحنى الدالة عند الإسقاط الموازي لمحور السينات ، بنفس القيمة الحرجة y₀ _. أما إذا كانت f غير قابلة للتفاضل عند x₀ لأن المماس يصبح موازيًا لمحور الصادات ، فإن _x₀ تصبح نقطة حرجة للدالة f ، ولكن في هذه الحالة تصبح _النقطة (x₀, y₀) نقطة حرجة _لمنحنى الدالة _عند الإسقاط الموازي لمحور الصادات .

على سبيل المثال، النقاط الحرجة لدائرة الوحدة في المعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$تمثل (0، 1) و (0، -1) الإسقاط الموازي للمحور السيني ، بينما تمثل (1، 0) و (-1، 0) الاتجاه الموازي للمحور الصادي . إذا اعتبرنا نصف الدائرة العلوي بمثابة تمثيل بياني للدالة${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$، إذن x = 0 هي نقطة حرجة بقيمة حرجة 1 بسبب كون المشتقة تساوي 0، و x = ±1 هي نقاط حرجة بقيمة حرجة 0 بسبب كون المشتقة غير معرفة.

تلعب النقاط الحرجة دورًا هامًا في دراسة المنحنيات المستوية المُعرَّفة بمعادلات ضمنية ، ولا سيما في رسمها وتحديد بنيتها الطوبولوجية . قد يبدو مفهوم النقطة الحرجة المستخدم في هذا القسم مختلفًا عن مفهومها في القسم السابق، ولكنه في الواقع حالة خاصة من المفهوم العام للنقطة الحرجة المذكور أدناه .

وبالتالي، نعتبر منحنى C معرفًا بمعادلة ضمنية${\displaystyle f(x,y)=0}$حيث f دالة قابلة للتفاضل لمتغيرين، وعادةً ما تكون متعددة حدود ثنائية المتغيرات . نقاط المنحنى هي نقاط المستوى الإقليدي التي تحقق إحداثياتها الديكارتية المعادلة. هناك إسقاطان قياسيان${\displaystyle \pi _{y}}$و${\displaystyle \pi _{x}}$، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle \pi _{y}((x,y))=x}$و${\displaystyle \pi _{x}((x,y))=y,}$وهي التي ترسم المنحنى على محاور الإحداثيات . وتسمى هذه الإسقاطات بالإسقاط الموازي للمحور y والإسقاط الموازي للمحور x ، على التوالي.

تُعد النقطة ج نقطة حاسمة لـ${\displaystyle \pi _{y}}$إذا كان المماس للنقطة C موجودًا وموازيًا للمحور y . في هذه الحالة، تكون الصور بواسطة${\displaystyle \pi _{y}}$نقطة التماس مع النقطة الحرجة هي نفس النقطة على المحور السيني ، وتسمى القيمة الحرجة . وبالتالي، فإن نقطة C هي نقطة حرجة لـ${\displaystyle \pi _{y}}$إذا كانت إحداثياتها حلاً لنظام المعادلات :

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$

وهذا يعني أن هذا التعريف هو حالة خاصة من التعريف العام للنقطة الحرجة، والذي يرد أدناه .

تعريف النقطة الحرجة لـ${\displaystyle \pi _{x}}$متشابه. إذا كان C هو رسم بياني لدالة${\displaystyle y=g(x)}$إذن، فإن ( س ، ص ) أمر بالغ الأهمية لـ${\displaystyle \pi _{x}}$إذا وفقط إذا كانت x نقطة حرجة لـ g ، وأن القيم الحرجة هي نفسها.

يُعرّف بعض المؤلفين النقاط الحرجة لـ C بأنها النقاط التي تُعتبر حرجة إما لـ${\displaystyle \pi _{x}}$أو${\displaystyle \pi _{y}}$على الرغم من أنها لا تعتمد فقط على C ، بل أيضًا على اختيار محاور الإحداثيات. ويعتمد الأمر أيضًا على المؤلفين فيما إذا كانت النقاط الشاذة تُعتبر نقاطًا حرجة. في الواقع، النقاط الشاذة هي النقاط التي تحقق

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$،

وبالتالي، فهي حلول لأي من نظامي المعادلات اللذين يصفان النقاط الحرجة. وبهذا التعريف الأكثر عمومية، فإن النقاط الحرجة لـ${\displaystyle \pi _{y}}$هي تحديداً النقاط التي لا تنطبق عليها نظرية الدالة الضمنية .

بالنسبة لدالة لعدة متغيرات حقيقية ، فإن النقطة P (أي مجموعة من قيم متغيرات الإدخال، والتي تُعتبر نقطة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تُعتبر النقطة حرجةإذا كان ميلهايساويصفرًا أو غير مُعرّف. ^{[ 5 ]} القيم الحرجةهي قيم الدالة عند النقاط الحرجة.

قد تكون النقطة الحرجة (حيث تكون الدالة قابلة للتفاضل) إما قيمة عظمى محلية ، أو قيمة صغرى محلية ، أو نقطة سرجية . إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل مرتين على الأقل بشكل مستمر، فيمكن التمييز بين الحالات المختلفة من خلال النظر في القيم الذاتية لمصفوفة هيسيان للمشتقات الثانية.

تُسمى النقطة الحرجة التي تكون عندها مصفوفة هيسيان غير منفردة بنقطة غير مُنحلة ، وتُحدد إشارات القيم الذاتية لمصفوفة هيسيان السلوك المحلي للدالة. في حالة دالة لمتغير واحد، تكون مصفوفة هيسيان هي ببساطة المشتقة الثانية ، وتُعتبر مصفوفة 1×1، وهي غير منفردة إذا وفقط إذا كانت لا تساوي صفرًا. في هذه الحالة، تكون النقطة الحرجة غير المُنحلة إما قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية، وذلك تبعًا لإشارة المشتقة الثانية، حيث تكون موجبة للقيمة الصغرى المحلية وسالبة للقيمة العظمى المحلية. إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فإن النقطة الحرجة تكون عادةً نقطة انعطاف ، ولكنها قد تكون أيضًا نقطة تموج ، والتي قد تكون بدورها قيمة صغرى محلية أو قيمة عظمى محلية.

بالنسبة لدالة ذات n متغير، يُطلق على عدد القيم الذاتية السالبة لمصفوفة هيسيان عند نقطة حرجة اسم دليل النقطة الحرجة. تكون النقطة الحرجة غير المنحلة قيمة عظمى محلية إذا وفقط إذا كان الدليل يساوي n ، أو بعبارة أخرى، إذا كانت مصفوفة هيسيان سالبة التحديد ؛ وتكون قيمة صغرى محلية إذا كان الدليل يساوي صفرًا، أو بعبارة أخرى، إذا كانت مصفوفة هيسيان موجبة التحديد . أما بالنسبة للقيم الأخرى للدليل، فتكون النقطة الحرجة غير المنحلة نقطة سرجية ، أي نقطة تمثل قيمة عظمى في بعض الاتجاهات وقيمة صغرى في اتجاهات أخرى.

بافتراض وجود خريطة قابلة للتفاضل${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},}$النقاط الحرجة للدالة f هي نقاط​${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$حيث لا تكون رتبة مصفوفة جاكوبي للدالة f قصوى.[6 ] تُسمى صورة ^{النقطة الحرجة تحت} تأثير f بالقيمة الحرجة. وتُسمى النقطة في متممة مجموعة القيم الحرجةبالقيمة العادية . تنص نظرية سارد على أن قياس مجموعة القيم الحرجة لدالة سلسة يساوي صفرًا .

يقدم بعض المؤلفين ^{[ 7 ]} تعريفًا مختلفًا بعض الشيء: النقطة الحرجة للدالة f هي نقطة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$حيث تكون رتبة مصفوفة جاكوبي للدالة f أقل من n . وفقًا لهذا الاصطلاح، تكون جميع النقاط حرجة عندما m < n .

تمتد هذه التعريفات إلى الخرائط التفاضلية بين المشعبات القابلة للتفاضل بالطريقة التالية. ليكن${\displaystyle f:V\to W}$لتكن f دالة تفاضلية بين مشعبين V و W ذوي بُعدين m و n على التوالي . في جوار النقطة p من V و f ( p ) ، تكون المخططات عبارة عن تماثلات تفاضلية${\displaystyle \varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}}$و${\displaystyle \psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.}$تكون النقطة p حرجة بالنسبة للدالة f إذا${\displaystyle \varphi (p)}$يُعد أمرًا بالغ الأهمية لـ${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$لا يعتمد هذا التعريف على اختيار المخططات لأن خرائط الانتقال، كونها تحويلات تماثلية، فإن مصفوفات جاكوبي الخاصة بها قابلة للعكس، والضرب بها لا يغير رتبة مصفوفة جاكوبي الخاصة بـ${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$إذا كانت M متعددة شعب هيلبرت (ليس بالضرورة ذات أبعاد محدودة) وكانت f دالة حقيقية القيمة، فإننا نقول إن p هي نقطة حرجة لـ f إذا لم تكن f غمرًا عند p . ^{[ 8 ]}

تُعد النقاط الحرجة أساسية لدراسة طوبولوجيا المتشعبات والأصناف الجبرية الحقيقية . [ ^{1 ] وعلى} وجه الخصوص، فهي الأداة الأساسية لنظرية مورس ونظرية الكوارث .

تظهر العلاقة بين النقاط الحرجة والطوبولوجيا بالفعل على مستوى أدنى من التجريد. على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle V}$أن يكون متعدد الشعب الفرعي من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ولتكن P نقطة خارج${\displaystyle V.}$مربع المسافة إلى النقطة P من${\displaystyle V}$هي دالة تفاضلية بحيث يكون كل مكون متصل من${\displaystyle V}$يحتوي على نقطة حرجة واحدة على الأقل، حيث تكون المسافة في حدها الأدنى. ويترتب على ذلك أن عدد المكونات المتصلة من${\displaystyle V}$يحدها من الأعلى عدد النقاط الحرجة.

في حالة الأصناف الجبرية الحقيقية، تسمح لنا هذه الملاحظة المرتبطة بنظرية بيزو بتقييد عدد المكونات المتصلة بواسطة دالة لدرجات كثيرات الحدود التي تحدد الصنف.

• نقطة شاذة لمنحنى
• نظرية التفرد
• خط الصفر