التشكل الخارجي

في الجبر الهندسي ، يُعدّ التشاكل الخارجي لدالة خطية بين فضاءات متجهة امتدادًا طبيعيًا للدالة ليشمل المتجهات المتعددة العشوائية . ^{[ 1 ]} وهو التشاكل الجبري الأحادي الوحيد للجبر الخارجي الذي يكون تقييده على الفضاءات المتجهة هو الدالة الأصلية. ^{[ أ ]} يُعرف التشاكل الخارجي أيضًا باسم التشاكل الخارجي لأنه يحافظ على بنية الضرب الخارجي . ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle f}$كن${\displaystyle \mathbb {R} }$خريطة خطية من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle W}$امتداد${\displaystyle f}$التحويل الخارجي هو الخريطة الفريدة${\displaystyle \textstyle {\underline {\mathsf {f}}}:\bigwedge (V)\to \bigwedge (W)}$مُرضٍ

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(x)=f(x)}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(A\wedge B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)\wedge {\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(A+B)={\underline {\mathsf {f}}}(A)+{\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

لجميع المتجهات${\displaystyle x}$وجميع المتجهات المتعددة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$، أين${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$يشير إلى الجبر الخارجي على${\displaystyle V}$أي أن التشاكل الخارجي هو تشاكل جبري أحادي بين الجبر الخارجي.

يرث التحويل الخارجي خصائص الخطية للتحويل الخطي الأصلي. على سبيل المثال، نرى أنه بالنسبة للكميات العددية${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$والمتجهات${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$،${\displaystyle z}$، يكون التحويل الخارجي خطيًا على المتجهات الثنائية:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(\alpha x\wedge z+\beta y\wedge z)&={\underline {\mathsf {f}}}((\alpha x+\beta y)\wedge z)\\[6pt]&=f(\alpha x+\beta y)\wedge f(z)\\[6pt]&=(\alpha f(x)+\beta f(y))\wedge f(z)\\[6pt]&=\alpha (f(x)\wedge f(z))+\beta (f(y)\wedge f(z))\\[6pt]&=\alpha \,{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge z)+\beta \,{\underline {\mathsf {f}}}(y\wedge z),\end{aligned}}}$

والذي يمتد من خلال بديهية التوزيع على الجمع أعلاه إلى الخطية على جميع المتجهات المتعددة.

يترك${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}}$ليكن تشاكلاً خارجياً. نُعرّف المرافق لـ${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}}$أن يكون التشاكل الخارجي الذي يحقق الخاصية

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(a)\cdot b=a\cdot {\underline {\mathsf {f}}}(b)}$

لجميع المتجهات${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، أين${\displaystyle \cdot }$هو الشكل الثنائي الخطي المتناظر غير المنحط (الضرب القياسي للمتجهات).

وينتج عن ذلك الخاصية التي

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(A)*B=A*{\underline {\mathsf {f}}}(B)}$

لجميع المتجهات المتعددة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$، أين${\displaystyle *}$هو حاصل الضرب القياسي للمتجهات المتعددة .

إذا كان حساب التفاضل والتكامل الهندسي متاحًا، فيمكن استخراج المرافق بشكل مباشر أكثر:

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}(a)=\nabla _{b}\left\langle a{\underline {\mathsf {f}}}(b)\right\rangle .}$

التعريف أعلاه للمصفوفة المرافقة يشبه تعريف المصفوفة المنقولة في نظرية المصفوفات. وعندما يكون السياق واضحًا، غالبًا ما يُحذف الخط السفلي أسفل الدالة.

ويترتب على التعريف الوارد في البداية أن التشاكل الخارجي لمتجه متعدد${\displaystyle A}$يحافظ على الدرجة: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(\left\langle A\right\rangle _{r})=\left\langle {\underline {\mathsf {f}}}(A)\right\rangle _{r}}$

حيث الترميز${\displaystyle \langle ~\rangle _{r}}$يشير إلى${\displaystyle r}$- جزء متجه من${\displaystyle A}$.

بما أن أي متجه${\displaystyle x}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle x=1\wedge x}$وبالتالي، فإن الكميات القياسية لا تتأثر بـ${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$^{[ ب ]} وبالمثل ، بما أنه لا يوجد سوى كمية شبه قياسية واحدة تصل إلى مُضاعِف قياسي، فلا بد أن يكون لدينا${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(I)\propto I}$. يُعرَّف المحدد بأنه عامل التناسب: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \det {\mathsf {f}}={\underline {\mathsf {f}}}(I)I^{-1}}$

لا داعي لوضع خط تحت الكلمة في هذا السياق، لأن محدد الدالة هو نفسه محدد الدالة المرافقة لها. ومحدد تركيب الدوال هو حاصل ضرب محدداتها.

${\displaystyle \det({\mathsf {f}}\circ {\mathsf {g}})=\det {\mathsf {f}}\det {\mathsf {g}}}$

إذا كان محدد الدالة غير صفري، فإن للدالة معكوسًا يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {{\overline {\mathsf {f}}}(XI)I^{-1}}{\det {\mathsf {f}}}}={\overline {\mathsf {f}}}(XI)[{\overline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1},}$

وكذلك نظيره، مع

${\displaystyle {\overline {\mathsf {f}}}^{-1}(X)={\frac {I^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX)}{\det {\mathsf {f}}}}=[{\underline {\mathsf {f}}}(I)]^{-1}{\underline {\mathsf {f}}}(IX).}$

يمكن تعميم مفاهيم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لتشمل التشاكلات الخارجية. ليكن${\displaystyle \lambda }$ليكن عددًا حقيقيًا و${\displaystyle B}$كن شفرة (غير صفرية) من الدرجة${\displaystyle r}$نقول أن${\displaystyle B}$هي شفرة ذاتية للدالة ذات قيمة ذاتية${\displaystyle \lambda }$إذا ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(B)=\lambda B.}$

قد يبدو غريباً الاقتصار على القيم الذاتية الحقيقية فقط، إذ في الجبر الخطي، يمكن أن تحتوي القيم الذاتية لمصفوفة ذات عناصر حقيقية فقط على قيم ذاتية مركبة. أما في الجبر الهندسي، فقد تُظهر شفرات المصفوفة ذات الدرجات المختلفة بنيةً مركبة. وبما أن كلاً من المتجهات والمتجهات الزائفة يمكن أن تعمل كشفرات ذاتية، فقد يمتلك كل منها مجموعة من القيم الذاتية التي تُطابق درجات حرية القيم الذاتية المركبة الموجودة في الجبر الخطي العادي.

خرائط بسيطة

خريطة الهوية وعامل الإسقاط القياسي هما شكلان خارجيان.

Versors

دوران متجه بواسطة دوار${\displaystyle R}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle f(x)=RxR^{-1}}$

مع التحول الخارجي

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(X)=RXR^{-1}.}$

نتحقق من أن هذا هو الشكل الصحيح للتشاكل الخارجي. بما أن الدورانات تُبنى من الضرب الهندسي، الذي يتمتع بخاصية التوزيع، فلا بد أن تكون خطية. ولإثبات أن الدورانات هي أيضًا تشاكلات خارجية، نتذكر أن الدورانات تحافظ على الزوايا بين المتجهات: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle x\cdot y=(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})}$

بعد ذلك، نحاول إدخال عنصر ذي درجة أعلى ونتحقق من أنه يتوافق مع الدوران الأصلي للمتجهات:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\mathsf {f}}}(x\wedge y)&=R(x\wedge y)R^{-1}\\&=R(xy-x\cdot y)R^{-1}\\&=RxyR^{-1}-R(x\cdot y)R^{-1}\\&=RxR^{-1}RyR^{-1}-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+(RxR^{-1})\cdot (RyR^{-1})-x\cdot y\\&=(RxR^{-1})\wedge (RyR^{-1})+x\cdot y-x\cdot y\\&=f(x)\wedge f(y)\end{aligned}}}$

عوامل الإسقاط المتعامد

عامل الإسقاط المتعامد${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}}$على نصل${\displaystyle B}$هو شكل خارجي:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(x\wedge y)={\mathcal {P}}_{B}(x)\wedge {\mathcal {P}}_{B}(y).}$

مثال غير صحيح - عامل الرفض المتعامد

على النقيض من عامل الإسقاط المتعامد، فإن الرفض المتعامد${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }}$بواسطة شفرة${\displaystyle B}$هو خطي ولكنه ليس تشاكلاً خارجياً:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(1)=1-{\mathcal {P}}_{B}(1)=0\neq 1.}$

مثال غير واضح - عامل إسقاط الدرجة

مثال على دالة متعددة القيم للمتجهات المتعددة وهي خطية ولكنها ليست تشاكلاً خارجياً هو إسقاط الدرجة حيث تكون الدرجة غير صفرية، على سبيل المثال الإسقاط على الدرجة 1:

${\displaystyle \langle x\wedge y\rangle _{1}=0}$

${\displaystyle \langle x\rangle _{1}\wedge \langle y\rangle _{1}=x\wedge y}$

• هيستينز، د.؛ سوبتشيك، ج. (1987)، من جبر كليفورد إلى حساب التفاضل والتكامل الهندسي: لغة موحدة للرياضيات والفيزياء ، النظريات الأساسية للفيزياء، المجلد  5، سبرينغر، ISBN 90-277-2561-6
• كروميرول، أ.؛ أبلاموفيتش، ر.؛ لونستو، ب. (1995)، جبر كليفورد وبنى السبينور: مجلد خاص مُهدى إلى ذكرى ألبرت كروميرول (1919-1992) ، الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد  321، سبرينغر، ص  105، ISBN 0-7923-3366-7
• بايليس، دبليو إي (1996)، جبر كليفورد (الهندسي): مع تطبيقات في الفيزياء والرياضيات والهندسة ، سبرينغر، ص  71، ISBN 0-8176-3868-7
• دورست، ل.؛ دوران، سي جيه إل؛ لاسينبي، ج. (2001)، تطبيقات الجبر الهندسي في علوم وهندسة الحاسوب ، سبرينغر، ص  61، ISBN 0-8176-4267-6
• دي أورانجفيل، سي.؛ أنتوني، أ.؛ لاسنبي، ن. (2003)، الجبر الهندسي للفيزيائيين ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص  343، ISBN 0-521-48022-1
• بيرواس، سي. (2008)، الجبر الهندسي مع تطبيقات في الهندسة والهندسة والحوسبة، المجلد  4، سبرينغر، ص  23، ISBN 3-540-89067-X
• جوت، ب. (2014)، استكشاف الفيزياء باستخدام الجبر الهندسي ، ص  157
• لينجيل، إريك (2024)، الجبر الهندسي الإسقاطي المبسط ، لينكولن، كاليفورنيا: شركة تيراثون سوفتوير، رقم ISBN 979-8-9853582-5-4