إنتاج الأزواج

يمكن استنتاج هذه الخصائص من خلال حركية التفاعل. باستخدام ترميز المتجهات الأربعة ، فإن حفظ الطاقة والزخم قبل التفاعل وبعده يعطي ما يلي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle p_{\gamma }=p_{{\text{e}}^{-}}+p_{{\text{e}}^{+}}+p_{\text{ʀ}}}$

أين${\displaystyle p_{\text{ʀ}}}$هو ارتداد النواة. لاحظ معيار المتجه الرباعي

${\displaystyle A\equiv (A^{0},\mathbf {A} )}$

يكون

${\displaystyle A^{2}=A^{\mu}A_{\mu }=-(A^{0})^{2}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }$

مما يعني أن${\displaystyle (p_{\gamma })^{2}=0}$في جميع الحالات و${\displaystyle (p_{{\text{e}}^{-}})^{2}=-m_{\text{e}}^{2}c^{2}}$يمكننا تربيع معادلة الحفظ

${\displaystyle (p_{\gamma })^{2}=(p_{{\text{e}}^{-}}+p_{{\text{e}}^{+}}+p_{\text{ʀ}})^{2}}$

مع ذلك، في معظم الحالات يكون ارتداد النواة ضئيلاً مقارنةً بطاقة الفوتون، ويمكن إهماله. وبناءً على هذا التقريب لـ${\displaystyle p_{R}\approx 0}$وتوسيع العلاقة المتبقية

${\displaystyle (p_{\gamma })^{2}\approx (p_{{\text{e}}^{-}})^{2}+2p_{{\text{e}}^{-}}p_{{\text{e}}^{+}}+(p_{{\text{e}}^{+}})^{2}}$

${\displaystyle -2\,m_{\text{e}}^{2}c^{2}+2\left(-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+\mathbf {p} _{{\text{e}}^{-}}\cdot \mathbf {p} _{{\text{e}}^{+}}\right)\approx 0}$

${\displaystyle 2\,(\gamma ^{2}-1)\,m_{\text{e}}^{2}\,c^{2}\,(\cos \theta _{\text{e}}-1)\approx 0}$

لذلك، لا يمكن تحقيق هذا التقريب إلا إذا انبعث الإلكترون والبوزيترون في نفس الاتجاه تقريبًا، أي${\displaystyle \theta _{\text{e}}\approx 0}$.

هذا الاشتقاق هو تقريب شبه كلاسيكي. ويمكن إجراء اشتقاق دقيق للحركة مع الأخذ في الاعتبار التشتت الكمي الكامل للفوتون والنواة .

يُعطى انتقال الطاقة إلى الإلكترون والبوزيترون في تفاعلات إنتاج الأزواج بالعلاقة التالية:

${\displaystyle (E_{k}^{pp})_{\text{tr}}=h\nu -2\,m_{\text{e}}c^{2}}$

أين${\displaystyle h}$ثابت بلانك ،${\displaystyle \nu }$هو تردد الفوتون و${\displaystyle 2\,m_{\text{e}}c^{2}}$هي الكتلة السكونية الكلية للإلكترون والبوزيترون. بشكل عام، يمكن أن ينبعث الإلكترون والبوزيترون بطاقات حركية مختلفة، ولكن متوسط ​​الطاقة المنقولة إلى كل منهما (مع إهمال ارتداد النواة) هو

${\displaystyle ({\bar {E}}_{k}^{pp})_{\text{tr}}={\frac {1}{2}}(h\nu -2\,m_{\text{e}}c^{2})}$

يجب حساب الصيغة التحليلية الدقيقة للمقطع العرضي لإنتاج الأزواج باستخدام الديناميكا الكهربائية الكمومية في شكل مخططات فاينمان ، مما ينتج عنه دالة معقدة. ولتبسيطها، يمكن كتابة المقطع العرضي على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma =\alpha \,r_{\text{e}}^{2}\,Z^{2}\,P(E,Z)}$

أين${\displaystyle \alpha }$هو ثابت البنية الدقيقة ،${\displaystyle r_{\text{e}}}$هو نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي ،${\displaystyle Z}$هو العدد الذري للمادة، و${\displaystyle P(E,Z)}$هي دالة ذات قيم مركبة تعتمد على الطاقة والعدد الذري. تم جدولة المقاطع العرضية لمواد وطاقات مختلفة.

في عام 2008، تم استخدام ليزر تيتان ، الموجه نحو هدف ذهبي  بسمك 1 مليمتر ، لتوليد أزواج البوزيترون والإلكترون بأعداد كبيرة. ^{[ 7 ]}