العدد الطفيلي

في الرياضيات ، يُعرف العدد الطفيلي ذو الرتبة n ( في النظام العشري ) بأنه عدد طبيعي موجب ، عند ضربه في n ، ينتقل الرقم الأخير من تمثيله العشري إلى أول رقم. في هذه الحالة، n نفسه عدد طبيعي موجب مكون من رقم واحد. بعبارة أخرى، يخضع التمثيل العشري لإزاحة دائرية إلى اليمين بمقدار خانة واحدة. على سبيل المثال:

4  ×  128205 = 512820، لذا فإن 128205 هو طفيلي من الدرجة 4.

معظم علماء الرياضيات لا يسمحون باستخدام الأصفار البادئة ، وهذا اتفاق شائع ومتبع.

لذا على الرغم من أن 4  ×  25641 = 102564، فإن العدد 25641 ليس طفيليًا من الدرجة 4.

يمكن اشتقاق عدد طفيلي من الرتبة n بالبدء برقم k (والذي يجب أن يساوي n أو أكبر) في أقصى اليمين (خانة الآحاد)، ثم الانتقال إلى خانة أعلى رقم واحد في كل مرة. على سبيل المثال، عندما n = 4 و k = 7

4  ×  7 = 2 8

4  × 8 7 = 3 48 

4  × 48 ÷ 7 = 1948 

4  × 948 ÷ 7 = 37948 

4  × 7948 7 = 3 17948 

4  × 17948 7 = 717948 . 

إذن، العدد 179487 هو عدد طفيلي رباعي ذو رقم آحاد 7. أما الأعداد الأخرى فهي 179487179487، 179487179487179487، إلخ.

لاحظ أن الفاصلة العشرية المتكررة

${\displaystyle x=0.179487179487179487\ldots =0.{\overline {179487}}{\mbox{ has }}4x=0.{\overline {717948}}={\frac {7.{\overline {179487}}}{10}}.}$

هكذا

${\displaystyle 4x={\frac {7+x}{10}}{\mbox{ so }}x={\frac {7}{39}}.}$

بشكل عام، يمكن إيجاد عدد طفيلي من الرتبة n كما يلي: اختر عددًا صحيحًا مكونًا من رقم واحد k بحيث يكون k ≥ n ، ثم خذ دورة العدد العشري الدوري k / (10 n − 1). سيكون هذا${\displaystyle {\frac {k}{10n-1}}(10^{m}-1)}$ حيث m هو طول الدورة؛ أي الترتيب الضربي لـ 10 modulo (10 n − 1) .

كمثال آخر، إذا كان n = 2، فإن 10n - 1 = 19، والعدد العشري الدوري لـ 1/19 هو

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}.}$

وبالتالي فإن قيمة 2/19 تساوي ضعف ذلك:

${\displaystyle {\frac {2}{19}}=0.{\overline {105263157894736842}}.}$

طول هذه الفترة m هو 18، وهو نفس رتبة 10 modulo 19، لذا 2 × (10 ¹⁸ − 1)/19 = 105263157894736842.

105263157894736842 × 2 = 210526315789473684، وهو نتيجة نقل الرقم الأخير من 105263157894736842 إلى البداية.

تُعرف أصغر الأعداد الطفيلية من الرتبة n أيضًا باسم أعداد دايسون ، نسبةً إلى لغزٍ طرحه فريمان دايسون حول هذه الأعداد . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وهي: (لا يُسمح بالأصفار البادئة) (المتتالية A092697 في OEIS )

بشكل عام، إذا خففنا القواعد للسماح بوجود صفر في البداية، فسيكون هناك 9 أعداد طفيلية من الرتبة n لكل قيمة n . وإلا، فقط إذا كانت k ≥ n، فإن الأعداد لا تبدأ بالصفر، وبالتالي تتوافق مع التعريف الفعلي.

يمكن تكوين أعداد صحيحة أخرى من نوع n- طفيلية عن طريق التسلسل. على سبيل المثال، بما أن العدد 179487 هو عدد من نوع 4-طفيلي، فإن الأعداد 179487179487 و179487179487179487 وما إلى ذلك هي أعداد من نوع 4-طفيلية أيضًا.

في النظام الاثني عشري ، أصغر الأعداد الطفيلية n هي: (باستخدام معكوس اثنين وثلاثة للعشرة والأحد عشر على التوالي) (لا يُسمح بالأصفار البادئة)

بالتعريف الدقيق، أصغر عدد m يبدأ من 1 بحيث يتم الحصول على ناتج القسمة m / n بمجرد إزاحة الرقم 1 من أقصى اليسار في m إلى الطرف الأيمن هو

1, 105263157894736842, 1034482758620689655172413793, 102564, 102040816326530612244897959183673469387755, 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, 1014492753623188405797, 1012658227848, 10112359550561797752808988764044943820224719، 10، 100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321، 100840336134453781512605042016806722689075630252، ... (التسلسل A128857 في OEIS )

إنها دورة n /(10 n − 1)، وهي أيضًا دورة العدد العشري - n /(10 n − 1).

عدد أرقامها هو

1، 18، 28، 6، 42، 58، 22، 13، 44، 2، 108، 48، 21، 46، 148، 13، 78، 178، 6، 99، 18، 8، 228، 7، 41، 6، 268، 15، 272، 66، 34، 28، 138، 112، 116، 179، 5، 378، 388، 18، 204، 418، 6، 219، 32، 48، 66، 239، 81، 498، ... (التسلسل A128858 في OEIS )

• الرقم الدوري
• مسجل إزاحة ذو تغذية راجعة خطية
• عدد صحيح قابل للتحويل

• سي إيه بيكوفر ، عجائب الأرقام ، الفصل 28، مطبعة جامعة أكسفورد بالمملكة المتحدة، 2000.
• التسلسل OEIS : A092697  في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة .
• بيرنشتاين ، ليون (1968)، “التوائم المضاعفة والجذور البدائية”، Mathematische Zeitschrift ، 105 : 49–58 ، دوى : 10.1007 / BF01135448 ، MR 0225709 ، S2CID 121138247