العدد p -adic

في نظرية الأعداد ، بالنظر إلى عدد أولي p ، ^فإن الأعداد p -adic ^تشكل امتدادًا للأعداد النسبية يختلف عن الأعداد الحقيقية ، على الرغم من وجود بعض الخصائص المتشابهة؛ يمكن كتابة الأعداد p -adic في شكل مشابه للأعداد العشرية (التي قد تكون لانهائية ) ^، ولكن بأرقام تستند إلى عدد أولي p بدلاً من عشرة، وتمتد إلى اليسار بدلاً من اليمين.

على سبيل المثال، مقارنة مفكوك العدد النسبي${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$في النظام العددي ذي الأساس 3 مقابل التوسع الثلاثي الأدي ،$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$$

بصورة رسمية، إذا أُعطي عدد أولي p ، فيمكن تعريف العدد p -adic على أنه متسلسلة$${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$$ حيث k عدد صحيح (قد يكون سالبًا)، وكل${\displaystyle a_{i}}$هو عدد صحيح بحيث${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$العدد الصحيح p -adic هو عدد p -adic بحيث${\displaystyle k\geq 0.}$

بشكل عام، لا تكون المتسلسلة التي تمثل عددًا p -adic متقاربة بالمعنى المعتاد، ولكنها متقاربة بالنسبة للقيمة المطلقة p -adic${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$حيث k هو أصغر عدد صحيح i بحيث${\displaystyle a_{i}\neq 0}$(إن وجد)${\displaystyle a_{i}}$إذا كانت قيمتها صفرًا، فإن العدد p -adic يساوي صفرًا ، والذي تكون قيمته المطلقة p -adic هي 0 .

يمكن التعبير عن كل عدد نسبي بشكل فريد كمجموع متسلسلة كما سبق، وذلك بالنسبة للقيمة المطلقة p -adic. وهذا يسمح باعتبار الأعداد النسبية أعدادًا p -adic خاصة، أو تعريف الأعداد p -adic على أنها استكمال الأعداد النسبية للقيمة المطلقة p -adic، تمامًا كما تُعدّ الأعداد الحقيقية استكمالًا للأعداد النسبية للقيمة المطلقة العادية.

وُصفت الأعداد p -adic لأول مرة من قبل كورت هينسل في عام 1897، ^{[ 1 ]} ومع ذلك، بالنظر إلى الماضي، يمكن تفسير بعض أعمال إرنست كومر السابقة على أنها تستخدم ضمنيًا الأعداد p -adic. ^{[ ب ]}

بصورة عامة، يتألف الحساب النمطي بتردد عدد صحيح موجب n من "تقريب" كل عدد صحيح بباقي قسمته على n ، والذي يُسمى الباقي بتردد n . وتتمثل الخاصية الرئيسية للحساب النمطي في أن الباقي بتردد n لنتيجة سلسلة من العمليات على الأعداد الصحيحة هو نفسه نتيجة نفس سلسلة العمليات على البواقي بتردد n .

عند دراسة المعادلات الديوفانتية ، يكون من المفيد أحيانًا اختزال المعادلة بتردد عدد أولي p ، لأن هذا عادةً ما يوفر فهمًا أعمق للمعادلة نفسها. مع ذلك، يؤدي هذا الاختزال إلى فقدان بعض المعلومات.${\displaystyle \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}$ليس حقنيًا .

إحدى طرق الحفاظ على المزيد من المعلومات هي استخدام معاملات أكبر، مثل قوى الأعداد الأولية الأعلى، p² ^، p³ ^، ... . ومع ذلك، فإن لهذا عيبًا يتمثل في${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{e}}$عدم كونه حقلاً، مما يفقده الكثير من الخصائص الجبرية التي${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$لديه. ^{[ 2 ]}

اكتشف كورت هينسل طريقةً تقوم على استخدام عدد أولي ذي معامل p ، وتطبيق مبرهنة هينسل لرفع الحلول بمعامل p إلى معامل p² ^، p³ ^، ... . تُنتج هذه العملية سلسلةً لانهائيةً من البواقي، ويُعرَّف العدد p -adic بأنه "نهاية" هذه السلسلة.

بشكل أساسي، تسمح الأعداد p -adic بأخذ باقي قسمة p على ^e لجميع قيم e في آن واحد. ومن السمات المميزة للأعداد p -adic عن حساب باقي القسمة العادي أن مجموعة الأعداد p -adic${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يشكل حقلاً ، مما يجعل القسمة على p ممكنة (على عكس العمل بتردد p ^e ). علاوة على ذلك، فإن التعيين${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Z} _{p}}$هي دالة أحادية ، لذا لا تُفقد الكثير من المعلومات عند الاختزال إلى أعداد p -adic. ^{[ 2 ]}

توجد طرق متعددة لفهم الأعداد p -adic.

توجد عدة تعريفات متكافئة للأعداد p -adic. والنهجان المذكوران أدناه بسيطان نسبياً.

توجد عدة اصطلاحات مختلفة لكتابة متسلسلات p -adic. حتى الآن، استخدمت هذه المقالة ترميزًا لمتسلسلات p -adic حيث تزداد قوى p من اليمين إلى اليسار. باستخدام هذا الترميز من اليمين إلى اليسار، فإن متسلسل 3-adic لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$على سبيل المثال، تُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$$

عند إجراء العمليات الحسابية بهذه الصيغة، تُرحّل الأرقام إلى اليسار. من الممكن أيضًا كتابة مفكوكات p -adic بحيث تزداد قوى p من اليسار إلى اليمين، وتُرحّل الأرقام إلى اليمين. باستخدام هذه الصيغة من اليسار إلى اليمين، يكون مفكوك 3-adic لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$يكون $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$$

يمكن كتابة المتسلسلات p -adic باستخدام مجموعات أرقام أخرى بدلاً من {0، 1، ...، p − 1 }. على سبيل المثال، المتسلسل 3 -adic لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$يمكن كتابة ذلك باستخدام الأرقام الثلاثية المتوازنة { 1 ، 0، 1 }، حيث يمثل الرقم 1 الرقم السالب واحد، كما يلي: $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$$

في الواقع، يمكن استخدام أي مجموعة من p أعداد صحيحة تنتمي إلى فئات بواقي مميزة بتردد p كأرقام p -adic. في نظرية الأعداد، تُستخدم أحيانًا ممثلات تايخمولر كأرقام. ^{[ 7 ]}

تُعدّ طريقة الاقتباس شكلاً من أشكالتمثيلالأعداد النسبيةpوقد اقترحهاإريك هينرونايجلهورس بوللتنفيذ العمليات الحسابية (الدقيقة) على هذه الأعداد باستخدام الحواسيب. ^{[ 8 ]} ويمكن استخدامها كطريقة مختصرة لتمثيل الأعداد النسبية التي تحتوي على سلسلة دورية لانهائية من الأرقام. في هذه الطريقة، تُستخدم علامة الاقتباس (') لفصل الجزء المتكرر عن الجزء غير المتكرر. $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=1210\,'2_{3}}$$

التمثيل العشري لعدد نسبي موجب${\displaystyle r}$يتمثل تمثيلها في سلسلة$${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$$ أين${\displaystyle k}$هو عدد صحيح وكل${\displaystyle a_{i}}$وهو أيضًا عدد صحيح بحيث${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$يمكن حساب هذا التوسع عن طريق القسمة المطولة للبسط على المقام، والتي تستند بدورها إلى النظرية التالية: إذا${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$هو عدد نسبي بحيث${\displaystyle 0\leq r<1,}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle a}$بحيث${\displaystyle 0\leq a<10,}$و${\displaystyle 10r=a+r',}$مع${\displaystyle 0\leq r'<1.}$يتم الحصول على التمثيل العشري من خلال تطبيق هذه النتيجة بشكل متكرر على الباقي${\displaystyle r'}$والذي يتولى في التكرار دور العدد النسبي الأصلي${\displaystyle r}$.

يمكن حساب التوسع p-adic لعدد نسبي بطريقة مماثلة، ولكن بخطوة قسمة مختلفة. لنفترض أن${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$هو عدد نسبي ذو قيمة غير سالبة (أي أن d لا يقبل القسمة على p ). تتكون خطوة القسمة من كتابة $${\displaystyle r=a+p\,r'}$$ أين${\displaystyle a}$هو عدد صحيح بحيث${\displaystyle 0\leq a<p,}$و${\displaystyle r'}$لها قيمة غير سالبة.

يمكن حساب العدد الصحيح a كمعكوس ضربي معياري :${\displaystyle a=nd^{-1}\operatorname {mod} p}$ولهذا السبب، فإن كتابة r بهذه الطريقة ممكنة دائمًا، ومثل هذا التمثيل فريد من نوعه.

يكون التوسع p -adic لعدد نسبي دوريًا في النهاية . وعلى العكس من ذلك ، فإن المتسلسلة${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$مع${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$تتقارب المتسلسلة (بالنسبة للقيمة المطلقة p -adic) إلى عدد نسبي إذا وفقط إذا كانت دورية في النهاية؛ في هذه الحالة، تكون المتسلسلة هي مفكوك p -adic لذلك العدد النسبي. البرهان مشابه لبرهان النتيجة المماثلة للأعداد العشرية الدورية .

الأعداد الصحيحة p -adic هي الأعداد p -adic ذات القيمة غير السالبة.

أ${\displaystyle p}$يمكن تمثيل الأعداد الصحيحة -adic كمتتالية $${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$$ من المخلفات${\displaystyle x_{e}}$تعديل${\displaystyle p^{e}}$لكل عدد صحيح${\displaystyle e}$، بما يفي بعلاقات التوافق${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$ل${\displaystyle i<j}$.

كل عدد صحيح هو${\displaystyle p}$عدد صحيح -adic (بما في ذلك الصفر، لأن${\displaystyle 0<\infty }$الأعداد النسبية من الشكل${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$مع${\displaystyle d}$أوليًا مع${\displaystyle p}$و${\displaystyle k\geq 0}$وهي أيضًا${\displaystyle p}$الأعداد الصحيحة -adic (لسبب أن${\displaystyle d}$له تعديل عكسي${\displaystyle p^{e}}$لكل${\displaystyle e}$).

تشكل الأعداد الصحيحة p-adic حلقة تبديلية ، ويرمز لها بـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ أو${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$، والتي لها الخصائص التالية.

• إنها مجال تكاملي ، لأنها حلقة فرعية من حقل، أو لأن الحد الأول من تمثيل السلسلة لحاصل ضرب سلسلتين غير صفريتين p -adic هو حاصل ضرب حدودهما الأولى.
• وحدات (العناصر القابلة للعكس )${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$هي الأعداد p -adic ذات التقييم الصفري.
• إنه مجال مثالي رئيسي ، بحيث يتم توليد كل مثالي بواسطة قوة p .
• إنها حلقة محلية ذات بُعد كرول واحد، لأن مثالياتها الأولية الوحيدة هي المثالي الصفري والمثالي الناتج عن p ، وهو المثالي الأقصى الوحيد .
• إنها حلقة تقييم منفصلة ، ​​لأن هذا ناتج عن الخصائص السابقة.
• يمثل ذلك اكتمال الحلقة المحلية${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}={\bigl \{}{\tfrac {n}{d}}\mathbin {\big |} n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} {\bigr \}},}$وهو تحديد موقع${\displaystyle \mathbb {Z} }$في المثال الأمثل${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

توفر الخاصية الأخيرة تعريفًا للأعداد p -adic مكافئًا للتعريف أعلاه: حقل الأعداد p -adic هو حقل كسور إكمال تحديد موقع الأعداد الصحيحة عند المثالي الأولي الناتج عن p .

يُتيح التقييم p -adic تحديد القيمة المطلقة للأعداد p -adic: القيمة المطلقة p -adic لعدد p -adic غير صفري x هي $${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$$ أين${\displaystyle v_{p}(x)}$هي القيمة p -adic لـ x . القيمة المطلقة p -adic لـ${\displaystyle 0}$يكون${\displaystyle |0|_{p}=0.}$هذه قيمة مطلقة تحقق متباينة المثلث القوية ، لأنه لكل x و y :

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p};}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$ثم${\displaystyle |x+y|_{p}=\max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}.}$

هذا يجعل الأعداد p -adic فضاءً متريًا ، بل وفضاءً فائقًا متريًا ، حيث تُعرَّف المسافة p -adic بواسطة${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

باعتبارها فضاءً متريًا، تُشكّل الأعداد p -adic إكمالًا للأعداد النسبية المزودة بالقيمة المطلقة p -adic. وهذا يُوفّر طريقة أخرى لتعريف الأعداد p -adic.

بما أن المقياس مُعرَّف من خلال تقييم منفصل ، فإن كل كرة مفتوحة تكون مغلقة أيضًا . وبشكل أدق، الكرة المفتوحة${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$يساوي الكرة المغلقة${\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$ حيث v هو أصغر عدد صحيح بحيث${\displaystyle \textstyle p^{-v}<r.}$بصورة مماثلة،${\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$حيث w هو أكبر عدد صحيح بحيث${\displaystyle \textstyle p^{-w}>r.}$

وهذا يعني أن الأعداد p -adic${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$تشكل فضاءً متراصًا محليًا ( حقلًا متراصًا محليًا )، والأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$—أي الكرة${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$—تشكيل مساحة مضغوطة . ^{[ 9 ]}

فضاء الأعداد الصحيحة ثنائية الأدِي${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$متماثلة طوبولوجيًا مع مجموعة كانتور${\displaystyle {\mathcal {C}}}$[ ^{10 ] [ 11 ]} يمكن ملاحظة ذلك من خلال النظر في عملية التعيين المستمر من واحد إلى ^واحد${\displaystyle \psi$ :\mathbb {Z} _{2}\to {\mathcal {C}}} معرف بواسطة $${\displaystyle \psi$$ :~a_{0}+a_{1}2+a_{2}2^{2}+a_{3}2^{3}+\cdots ~\longmapsto ~{\frac {2a_{0}}{3}}+{\frac {2a_{1}}{3^{2}}}+{\frac {2a_{2}}{3^{3}}}+{\frac {2a_{3}}{3^{4}}}+\cdots } علاوة على ذلك، لأي قيمة لـ p ،${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$متماثل الشكل مع${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$وبالتالي فهي متماثلة شكليًا مع مجموعة كانتور. ^{[ 12 ]}

المجموعة الثنائية لبونترياجين لمجموعة الأعداد الصحيحة p -adic هي مجموعة بروفر p-${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$، والثنائي البونترياجيني لمجموعة بروفر p هو مجموعة الأعداد الصحيحة p -adic. ^{[ 13 ]}

حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$يمكن التعرف عليها من خلال الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة modulo${\displaystyle p^{n}.}$يمكن إثبات ذلك من خلال ملاحظة أن كل عدد صحيح p -adic، ممثل بمتسلسلته p -adic المعيارية ، متطابق بتردد${\displaystyle p^{n}}$مع مجموعها الجزئي${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$والتي تكون قيمتها عددًا صحيحًا في الفترة${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$يُظهر التحقق المباشر أن هذا يُعرّف تماثلًا حلقيًا من${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ل${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

النهاية العكسية للحلقات${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$يُعرَّف بأنه الحلقة التي تشكلها المتتاليات${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$بحيث${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$و${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$لكل i .

إنّ التطبيق الذي يحوّل متسلسلة p -adic المعيارية إلى متتالية مجاميعها الجزئية هو تماثل حلقي من${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$إلى الحد العكسي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$يوفر هذا طريقة أخرى لتعريف الأعداد الصحيحة p -adic ( حتى التشاكل).

يُعد هذا التعريف للأعداد الصحيحة p -adic مفيدًا بشكل خاص للحسابات العملية، حيث يسمح ببناء الأعداد الصحيحة p -adic عن طريق التقريبات المتتالية.

على سبيل المثال، لحساب المعكوس الضربي ( p -adic) لعدد صحيح، يمكن استخدام طريقة نيوتن ، بدءًا من المعكوس modulo p ؛ ثم، تحسب كل خطوة من خطوات نيوتن المعكوس modulo${\textstyle p^{n^{2}}}$من المقياس العكسي${\textstyle p^{n}.}$

يمكن استخدام الطريقة نفسها لحساب الجذر التربيعي لـ p -adic لعدد صحيح يمثل باقي قسمة تربيعية على p . ويبدو أن هذه أسرع طريقة معروفة لاختبار ما إذا كان عدد صحيح كبير مربعًا: يكفي اختبار ما إذا كان العدد الصحيح المعطى هو مربع القيمة الموجودة في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$يتطلب تطبيق طريقة نيوتن لإيجاد الجذر التربيعي${\textstyle p^{n}}$أن يكون أكبر من ضعف العدد الصحيح المعطى، وهو ما يتحقق بسرعة.

رفع هينسل هو طريقة مماثلة تسمح "برفع" تحليل متعدد الحدود ذي المعاملات الصحيحة بتردد p إلى تحليل بتردد${\textstyle p^{n}}$بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n . وهذا شائع الاستخدام في خوارزميات تحليل كثيرات الحدود .

كلاهما${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$و${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$هي غير قابلة للعد ولها عدد عناصر المتصل . ^{[ 14 ]} لـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ينتج هذا عن التمثيل p -adic، الذي يُعرّف تقابلًا لـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$على مجموعة الطاقة${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$وينتج هذا عن تعبيره كاتحاد لا نهائي قابل للعد من نسخ من${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$: $${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$$

المجال${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يتضمن${\displaystyle \mathbb {Q} }$وهو حقل ذو خاصية 0 .

لأن الصفر يمكن كتابته كمجموع مربعات، ^{[ د ]}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ لا يمكن تحويله إلى حقل مرتب .

حقل الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$لا يوجد سوى امتداد جبري مناسب واحد : الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$بمعنى آخر، هذا الامتداد التربيعي مغلق جبريًا بالفعل . في المقابل، فإن الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$، المشار إليه${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$له درجة لا نهائية، ^{[ 15 ]} أي،${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$لها عدد لا نهائي من الامتدادات الجبرية غير المتكافئة. وعلى النقيض من حالة الأعداد الحقيقية، على الرغم من وجود امتداد فريد لتقييم p -adic إلى${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$الأخير غير مكتمل (من الناحية المترية). ^{[ 16 ] [ 17 ]}

يُشار إلى اكتمالها (المتري) بـ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$أو${\displaystyle \Omega _{p}}$[ ^{17 ] [ 18 ]} وتُسمى أحيانًا بالأعداد المركبة p -adic قياسًا ^على الأعداد المركبة. الحقل${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$هي مغلقة جبريًا. ^{[ 17 ] [ 19 ]} ومع ذلك، على عكس${\displaystyle \mathbb {C} }$هذا الحقل ليس مضغوطًا محليًا . ^{[ 18 ]}

الحقول${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$و${\displaystyle \mathbb {C} }$متماثلة، ^{[ هـ ]} لذلك يمكننا اعتبار${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$مثل${\displaystyle \mathbb {C} }$مزود بمقياس غريب. يعتمد إثبات وجود مثل هذا التشاكل الحقلي على بديهية الاختيار ، ولا يقدم مثالاً صريحاً على مثل هذا التشاكل (أي أنه ليس بنائياً ).

لو${\displaystyle K}$أي امتداد غالوا محدود لـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$مجموعة غالوا${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$قابلة للحل . وبالتالي، فإن زمرة غالوا المطلقة${\displaystyle {\operatorname {Gal} }{\bigl (}\,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}{\bigr )}}$قابل للحل .

مجموعة الوحدات${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$يحتوي على المجموعة الضربية${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }=\mathbb {Q} _{p}-\{0\}}$لديهم نفس المجموعة الجزئية الالتوائية (مجموعة جزئية من عناصر ذات رتبة منتهية). تشير مبرهنة هينسل إلى أن المجموعة الجزئية الالتوائية لـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$الخرائط بشكل شامل إلى${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$النواة هي${\displaystyle \{1\}}$متى${\displaystyle p>2}$و${\displaystyle \{\pm 1\}}$متى${\displaystyle p=2}$. على وجه الخصوص، المجموعة الفرعية للالتواء من${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$دورية من رتبة${\displaystyle p-1}$متى${\displaystyle p>2}$، ويساوي${\displaystyle \{\pm 1\}}$متى${\displaystyle p=2}$لذلك، بالنسبة لـ n > 2 ، فإن المجال${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يحتوي على الحقل الدائري رقم n إذا وفقط إذا كان n | p − 1 . ^{[ 20 ]}

بفرض عدد طبيعي k ، ليكن${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times k}}$لتكن مجموعة القوى k لعناصر${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$ثم الفهرس${\displaystyle (\mathbb {Q} _{p}^{\times }:\mathbb {Q} _{p}^{\times k})}$محدود.

يُقال إن مبدأ هيلموت هاس المحلي -العالمي ينطبق على معادلة ما إذا كان بالإمكان حلها على مجموعة الأعداد النسبية إذا وفقط إذا كان بالإمكان حلها على مجموعة الأعداد الحقيقية وعلى مجموعة الأعداد p -adic لكل عدد أولي p . ينطبق هذا المبدأ، على سبيل المثال، على المعادلات المعطاة بصيغ تربيعية ، ولكنه لا ينطبق على كثيرات الحدود العليا في عدة متغيرات. 

ظهرت الأعداد p -adic في العديد من مجالات الرياضيات وكذلك الفيزياء.

الأعداد الحقيقية والأعداد p -adic هي إكمال للأعداد النسبية؛ ومن الممكن أيضًا إكمال حقول أخرى، مثل حقول الأعداد الجبرية العامة ، بطريقة مماثلة. سيتم شرح ذلك الآن.

لنفترض أن D مجال ديديكيند و E حقل كسوره . اختر مثاليًا أوليًا غير صفري P من D. إذا كان x عنصرًا غير صفري من E ، فإن xD مثالي كسري ويمكن تحليله بشكل فريد كحاصل ضرب قوى موجبة وسالبة لمثاليات أولية غير صفرية من D. بالتالي، فإن كتابة ord _P ( x ) لأس P في هذا التحليل يعطي تقييمًا منفصلاً محددًا جيدًا، ولأي عدد c أكبر من 1 يمكننا وضع $${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$$ يُنتج الإكمال بالنسبة لهذه القيمة المطلقة |⋅| _P حقلاً E _P ، وهو التعميم الصحيح لحقل الأعداد p -adic لهذا السياق. لا يؤثر اختيار c على الإكمال (تُعطي الاختيارات المختلفة نفس مفهوم متتالية كوشي، وبالتالي نفس الإكمال). من الملائم، عندما يكون حقل البقايا D / P محدودًا، اختيار حجم D / P كقيمة لـ c .

على سبيل المثال، عندما يكون E حقلًا عدديًا و D حلقة الأعداد الصحيحة الخاصة به ، تنص نظرية أوستروفسكي على أن كل قيمة مطلقة غير تافهة وغير أرخميدية على E تنشأ كـ |⋅| _P. أما القيم المطلقة غير التافهة المتبقية على E فتنشأ من تضمينات E المختلفة في الأعداد الحقيقية أو المركبة. (في الواقع، يمكن اعتبار القيم المطلقة غير الأرخميدية ببساطة على أنها تضمينات E المختلفة في الحقول C _p ، مما يضع وصف جميع القيم المطلقة غير التافهة لحقل عددي على أساس مشترك).

في كثير من الأحيان، يحتاج المرء إلى تتبع جميع عمليات الإكمال المذكورة أعلاه في آنٍ واحد عندما يكون E حقلًا عدديًا (أو بشكل أعم حقلًا عامًا )، والتي تُعتبر بمثابة ترميز للمعلومات "المحلية". ويتم ذلك من خلال حلقات الأديل ومجموعات الأيديل .

يمكن توسيع نطاق الأعداد الصحيحة p -adic ليشمل الملفات اللولبية p -adic${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$توجد خريطة من${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$إلى مجموعة الدائرة التي تكون أليافها هي الأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$قياساً على كيفية وجود خريطة من${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى الدائرة التي أليافها${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

يمكن أيضًا توسيع نطاق الأعداد الصحيحة p-adic ليشمل الأعداد الصحيحة المنتهية.${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$، والذي يمكن فهمه على أنه الناتج المباشر للحلقات$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$$ بخلاف الأعداد الصحيحة p -adic التي تعمم باقي القسمة فقط على قوى الأعداد الأولية p ^k ، فإن الأعداد الصحيحة المنتهية تعمم باقي القسمة على جميع الأعداد الطبيعية n . وبالمثل، تشير نظرية الباقي الصينية إلى بنية من${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$بالنسبة للقواعد المركبة: لأي عدد n له عاملان أوليان مختلفان على الأقل، حلقة الأعداد الصحيحة n -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$متماثل مع${\displaystyle \prod _{p|n}\mathbb {Z} _{p}}$[ ^{21 ]​}

• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد p-adic" . عالم الرياضيات .
• العدد p -adic في موسوعة سبرينغر الإلكترونية للرياضيات