عدد صحيح قابل للتحويل

في الرياضيات ، الأعداد الصحيحة القابلة للتبديل هي أعداد صحيحة يتم تبديلها أو إزاحتها بشكل دوري عند ضربها بعدد صحيح آخر.${\displaystyle n}$ومن الأمثلة على ذلك:

• 142857 × 3 = 428571 (يتحرك بشكل دوري خانة واحدة إلى اليسار)
• 142857 × 5 = 714285 (يتحرك بشكل دوري خانة واحدة إلى اليمين)
• 128205 × 4 = 512820 (يتحرك بشكل دوري خانة واحدة إلى اليمين)
• 076923 × 9 = 692307 (يتحرك بشكل دوري خانتين إلى اليسار)

يمكن أن تكون هذه الأعداد الصحيحة القابلة للتبديل أعدادًا دورية، ولكنها ليست كذلك دائمًا . ويمكن تحديد خصائص هذه الأعداد باستخدام الكسور العشرية الدورية (وبالتالي الكسور المرتبطة بها)، أو بشكل مباشر.

لأي عدد صحيح أولي نسبيًا مع 10، يكون مقلوبه عددًا عشريًا دوريًا بدون أي أرقام غير دورية. على سبيل المثال ، 1 ÷ 143 = 0.006993 006993 006993 ...

في حين أن التعبير عن سلسلة واحدة مع وجود vinculum في الأعلى كافٍ، فإن الغرض من التعبير أعلاه هو إظهار أنه يمكن الحصول على التباديل الدورية الستة لـ 006993 من هذا العدد العشري المتكرر إذا اخترنا ستة أرقام متتالية من العدد العشري المتكرر بدءًا من أرقام مختلفة.

يوضح هذا أن التباديل الدورية مرتبطة بطريقة ما بالأعداد العشرية المتكررة والكسور المقابلة لها.

القاسم المشترك الأكبر (gcd) بين أي تبديل دوري لعدد صحيح مكون من m خانة و10 ^{^m} - 1 هو ثابت. يُعبَّر عنه بالصيغة التالية:  

${\displaystyle \gcd \left(N,10^{m}-1\right)=\gcd \left(N_{c},10^{m}-1\right),}$

حيث N هو عدد صحيح مكون من m خانة؛ و N _c هو أي تبديل دوري لـ N.

على سبيل المثال،

 جي سي دي (091575, 999999) = جي سي دي (3 2 ×5 2 ×11×37, 3 3 ×7×11×13×37) = 3663 = القاسم المشترك الأكبر (915750، 999999) = القاسم المشترك الأكبر (157509، 999999) = القاسم المشترك الأكبر (575091، 999999) = القاسم المشترك الأكبر (750915، 999999) = القاسم المشترك الأكبر (509157، 999999)

إذا كان N عددًا صحيحًا مكونًا من m خانة، فإن العدد N _c ، الذي يتم الحصول عليه عن طريق إزاحة N إلى اليسار بشكل دوري، يمكن الحصول عليه من:

${\displaystyle N_{c}=10N-d\left(10^{m}-1\right),\,}$

حيث d هو الرقم الأول من N و m هو عدد الأرقام.

وهذا يفسر القاسم المشترك الأكبر المذكور أعلاه، وتكون هذه الظاهرة صحيحة في أي أساس إذا تم استبدال 10 بـ b ، وهو الأساس.

وبالتالي، ترتبط التباديل الدورية بالأعداد العشرية الدورية، والكسور المقابلة لها، وقواسم العدد 10 ^م − 1. على سبيل المثال، الكسور المرتبطة بالتباديل الدورية المذكورة أعلاه هي كالتالي:

• 091575 ⁄ 999999 ، 915750 ⁄ 999999 ، 157509 ⁄ 999999 ، 575091 ⁄ 999999 ، 750915 ⁄ 999999 ، و 509157 ⁄ 999999 .

وبعد اختزالها إلى أبسط صورة باستخدام القاسم المشترك الأكبر، تصبح:

• 25 ⁄ 273 ، 250 ⁄ 273 ، 43 ⁄ 273 ، 157 ⁄ 273 ، 205 ⁄ 273 ، و 139 ⁄ 273 .

أي أن هذه الكسور، عند التعبير عنها في أبسط صورة ، لها نفس المقام. وينطبق هذا على التباديل الدورية لأي عدد صحيح.

يؤدي النهج الجبري المباشر للحالات المذكورة أعلاه، باستخدام المضاعف الصحيح، إلى الصيغة التالية:

1. ${\displaystyle X=D{\frac {10^{m}-1}{n10^{k}-1}},}$

   حيث m هو عدد أرقام X ، و D هو الرقم المكون من k رقم والذي تم نقله من الطرف الأدنى لـ X إلى الطرف الأعلى لـ n X ، ويحقق D < 10 ^k .

   إذا لم يكن للأرقام أصفار بادئة، فإن n  10 ^{k − 1}   ≤ D .

2. ${\displaystyle X=D{\frac {10^{m}-1}{10^{k}-n}},}$

   حيث m هو عدد أرقام X ، و D هو العدد المكون من k رقمًا والذي تم إزاحته من الطرف الأعلى لـ X إلى الطرف الأدنى لـ n X ، ويحقق ما يلي:

   1. ${\displaystyle D<{\frac {10^{k}}{n}}-1,}$
   2. والجزء ذو العشرة أجزاء (ناتج الحدود المقابلة للأعداد الأولية 2 و 5 من التحليل ) لـ 10 ^k − n يقسم D.  

      يُختصر الجزء العشري من العدد الصحيح t غالبًا${\displaystyle \operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).}$

   إذا لم يكن للأرقام أصفار بادئة، فإن 10 ^{k − 1}   ≤ D.

القسمة المطولة لـ 1 على 7 تعطي:

0.142857... 7) 1.000000 0.7 3 28 2 14 6 56 4 35 5 49 1

في الخطوة الأخيرة، يظهر الرقم 1 مجدداً كباقٍ. أما البواقي الدورية فهي {1، 3، 2، 6، 4، 5}. نعيد كتابة نواتج القسمة مع المقسوم/الباقي المقابل فوقها في جميع الخطوات.

 الأرباح/الباقي 1 3 2 6 4 5 نواتج القسمة 1 4 2 8 5 7

ولاحظ أيضًا ما يلي:

• 1 ⁄ 7 = 0.142857...
• 3 ⁄ 7 = 0.428571...
• 2 ⁄ 7 = 0.285714...
• 6 ⁄ 7 = 0.857142...
• 4 ⁄ 7 = 0.571428...
• 5 ⁄ 7 = 0.714285...

بملاحظة البواقي في كل خطوة، يمكننا بالتالي إجراء التبديل الدوري المطلوب عن طريق الضرب. على سبيل المثال،

• العدد الصحيح 142857، الذي يتوافق مع الباقي 1، يتحول إلى 428571 عند ضربه في 3، وهو الباقي المقابل للعدد الأخير.
• العدد الصحيح 142857، الذي يتوافق مع الباقي 1، يتحول إلى 857142 عند ضربه في 6، وهو الباقي المقابل للعدد الأخير.
• العدد الصحيح 857142، الذي يتوافق مع الباقي 6، يتحول إلى 571428 عند ضربه في 5 ⁄ 6 ؛ أي قسمته على 6 وضربه في 5، وهو الباقي المقابل للعدد الأخير.

وبهذه الطريقة، يمكن إجراء إزاحة دورية لليسار أو لليمين لأي عدد من المواضع.

والأهم من ذلك، يمكن تطبيق هذه التقنية على أي عدد صحيح لإزاحته دوريًا إلى اليمين أو اليسار بأي عدد معين من الخانات للسبب التالي:

• يمكن التعبير عن كل عدد عشري دوري على شكل عدد نسبي (كسر).
• يمكن تحويل أي عدد صحيح، عند جمعه مع فاصلة عشرية في بدايته وتكراره مع نفسه عددًا لا نهائيًا من المرات، إلى كسر. على سبيل المثال، يمكننا تحويل العدد 123456 بهذه الطريقة إلى 0.123456123456...، والذي يمكن تحويله بدوره إلى الكسر 123456 / 999999. يمكن تبسيط هذا الكسر أكثر، ولكن لن يتم ذلك هنا.
• لتحويل العدد الصحيح 123456 إلى 234561، يكفي ضرب 123456 في 234561 ⁴ 123456. قد يبدو هذا غشًا، ولكن إذا كان ناتج قسمة 234561 ⁴ 123456 عددًا صحيحًا (وهو ليس كذلك في هذه الحالة)، تُنجز المهمة.

يتحرك العدد الصحيح X دوريًا إلى اليمين بمقدار k خانة عند ضربه في عدد صحيح n . أثبت صيغته.

دليل

أولاً، لاحظ أن X هي الأرقام المتكررة في عدد عشري دوري ، والذي يتميز دائماً بسلوك دوري في عملية الضرب. وبالتالي ، فإن العلاقة بين العدد الصحيح X ومضاعفه nX  ستكون كالتالي:

1. العدد الصحيح X هو الأرقام المتكررة للكسر 1 ⁄ F ، لنقل d _p d _p-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ ، حيث يمثل كل من d _p ، d _p-1 ، ... ، d ₃ ، d ₂ و d ₁ رقمًا و p هو عدد الأرقام.
2. وبالتالي فإن المضاعف n  X هو الأرقام المتكررة للكسر n ⁄ F ، على سبيل المثال d _k d _k-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ...d _k+2 d _k+1 ، والتي تمثل النتائج بعد الإزاحة الدورية لليمين بمقدار k موضعًا.
3. يجب أن يكون F عددًا أوليًا نسبيًا مع 10 بحيث عندما يتم التعبير عن 1 ⁄ F بالنظام العشري لا توجد أرقام غير متكررة سابقة وإلا فإن النظام العشري المتكرر لا يمتلك سلوكًا دوريًا في الضرب.
4. إذا تم اعتبار الباقي الأول هو n ، فسيكون 1 هو الباقي ( k + 1) في القسمة الطويلة لـ n ⁄ F حتى يحدث هذا التبديل الدوري.
5. لكي يكون n × 10 ^k = 1 (mod F ) فإن F يجب أن تكون إما F ₀ = ( n × 10 ^k - 1) أو عاملًا من عوامل F ₀ ؛ ولكن باستثناء أي قيم لا تزيد عن n وأي قيمة لها عامل مشترك غير تافه مع 10، كما تم استنتاجه أعلاه.

وبهذا يكتمل البرهان.

يتحرك العدد الصحيح X دوريًا إلى اليسار بمقدار k خانة عند ضربه في عدد صحيح n . أثبت صيغته.

دليل

أولاً، لاحظ أن X هي الأرقام المتكررة في عدد عشري دوري ، والذي يتميز دائماً بسلوك دوري في عملية الضرب. وبالتالي، فإن العدد الصحيح X ومضاعفه nX تربطهما  العلاقة التالية:

1. العدد الصحيح X هو الأرقام المتكررة للكسر 1 ⁄ F ، على سبيل المثال d _p d _p-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ .
2. وبالتالي فإن المضاعف n  X هو الأرقام المتكررة للكسر n ⁄ F ، على سبيل المثال d _p-k d _p-k-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ...d _p-k+1 ،

والتي تمثل النتائج بعد الإزاحة الدورية لليسار لمواضع k .

1. يجب أن يكون F أوليًا نسبيًا مع 10 بحيث لا يحتوي 1 ⁄ F على أرقام غير متكررة سابقة وإلا فإن العدد العشري المتكرر لا يمتلك سلوكًا دوريًا في الضرب.
2. إذا تم اعتبار الباقي الأول هو 1، فإن n سيكون الباقي ( k + 1) في القسمة الطويلة لـ 1 ⁄ F حتى يحدث هذا التبديل الدوري.
3. لكي يكون 1 × 10 ^k = n (النمط F ) فإن F يجب أن يكون إما F ₀ = (10 ^k - n ) أو عاملًا من عوامل F ₀ ؛ ولكن باستثناء أي قيمة لا تزيد عن n ، وأي قيمة لها عامل مشترك غير تافه مع 10، كما تم استنتاجه أعلاه.

بهذا يكتمل البرهان. ويمكن اشتقاق برهان المضاعف غير الصحيح مثل n ⁄ s بطريقة مماثلة، وهو غير موثق هنا.

يمكن أن تكون التباديل كالتالي:

• الإزاحة إلى اليمين بشكل دوري بمقدار موضع واحد ( الأعداد الطفيلية )؛
• التحرك إلى اليمين بشكل دوري بمقدار ضعف عدد المواضع؛
• التحرك إلى اليمين بشكل دوري بأي عدد من المواضع؛
• التحرك إلى اليسار بشكل دوري بمقدار موضع واحد؛
• التحرك يسارًا بشكل دوري بمقدار ضعف عدد المواضع؛ و
• التحرك إلى اليسار بشكل دوري بأي عدد من المواضع

عند ضرب عدد طفيلي في n، لا يقتصر الأمر على إظهاره سلوكًا دوريًا، بل يصبح التبديل بحيث يصبح الرقم الأخير من العدد الطفيلي هو الرقم الأول من المضاعف. على سبيل المثال، 102564 × 4 = 410256. لاحظ أن 102564 هو الرقم المتكرر في 4/39 ، وأن 410256 هو الرقم المتكرر في 16/39 .

عند ضرب عدد صحيح n في عدد صحيح ^، يتحرك العدد X إلى اليمين دوريًا بمقدار خانتين . ويكون X حينها هو الأرقام المتكررة للعدد 1 / F ، حيث F = n × 10² - 1؛ أو أحد عوامله؛ باستثناء القيم التي يكون فيها طول دورة 1 / F يقسم 2 (أو، بصورة مكافئة، أقل من 3)؛ ويجب أن يكون F عددًا أوليًا نسبيًا مع 10.

في أغلب الأحيان يكون من الأنسب اختيار أصغر قيمة لـ F التي تناسب ما سبق.

المسألة: يتم إزاحة عدد صحيح X إلى اليسار بشكل دوري بمقدار خانة واحدة عند ضربه في 3. أوجد قيمة X.

الحل: أولاً، لاحظ أن X هي الأرقام المتكررة في عدد عشري دوري ، والذي يتميز دائمًا بسلوك دوري مثير للاهتمام في عمليات الضرب. وبالتالي، ستكون العلاقة بين العدد الصحيح X ومضاعفاته كما يلي:

• العدد الصحيح X هو الأرقام المتكررة للكسر 1 ⁄ F ، على سبيل المثال ab*** .
• وبالتالي فإن المضاعف هو الأرقام المتكررة للكسر 3 ⁄ F ، على سبيل المثال b***a .
• لكي يحدث هذا التبديل الدوري، يجب أن يكون 3 هو الباقي التالي في القسمة المطولة لـ 1 ⁄ F. وبالتالي، ستكون F هي 7 لأن 1 × 10 ÷ 7 يعطي باقيًا قدره 3.

وهذا يؤدي إلى النتائج التالية:

X = الأرقام المتكررة للعدد 1/7

=142857، و

المضاعف = 142857 × 3 = 428571 ، الأرقام المتكررة لـ 3/7

الحل الآخر هو 2 ⁄ 7 × 3 = 6 ⁄ 7 :

• 285714 × 3 = 857142

لا توجد حلول أخرى ^{[ 1 ]} لأن:

• يجب أن يكون العدد الصحيح n هو الباقي في القسمة المطولة للكسر 1 / F . وبما أن n = 10 - F، وF عدد أولي نسبيًا مع 10 حتى يكون 1 / F عددًا عشريًا دوريًا، فإن n يجب أن يكون أقل من 10.
• بالنسبة لـ n = 2، يجب أن تكون F هي 10 - 2 = 8. ومع ذلك، فإن 1 ⁄ 8 لا ينتج عنه عدد عشري دوري، وبالمثل بالنسبة لـ n = 5.
• بالنسبة لـ n = 7، يجب أن تكون F هي 10 - 7 = 3. ومع ذلك، فإن 7 > 3 و 7 ⁄ 3 = 2.333 > 1 ولا يتناسب مع الغرض.
• وبالمثل، لا يوجد حل لأي عدد صحيح آخر من n أقل من 10 باستثناء n = 3.

مع ذلك، إذا لم يكن المضاعف مقيدًا بأن يكون عددًا صحيحًا (على الرغم من أن ذلك غير مثالي)، فهناك العديد من الحلول الأخرى لهذه الطريقة. على سبيل المثال، إذا تحرك عدد صحيح X إلى اليمين دوريًا بمقدار خانة واحدة عند ضربه في 3/2 ، فسيكون 3 هو الباقي التالي بعد 2 في القسمة المطولة للكسر 2 / F . من هذا نستنتج أن F = 2 × 10 - 3 = 17، مما يجعل X هو الأرقام المتكررة في 2/17 ، أي 1176470588235294، ومضاعفه هو 1764705882352941.

يلخص ما يلي بعض النتائج التي تم التوصل إليها بهذه الطريقة:

عند ضرب عدد صحيح n في عدد صحيح، يتم إزاحة العدد الصحيح X إلى اليسار دوريًا بمقدار خانتين . ويكون X حينها هو الأرقام المتكررة لـ 1 / F ، حيث F هو R = ^10² - n، أو عامل من عوامل R ؛ باستثناء قيم F التي يكون فيها طول دورة 1 / F يقسم 2 (أو، بشكل مكافئ، أقل من 3)؛ ويجب أن يكون F عددًا أوليًا نسبيًا مع 10.

في أغلب الأحيان يكون من الأنسب اختيار أصغر قيمة لـ F التي تناسب ما سبق.

في النظام الاثني عشري ، تكون الأعداد الصحيحة القابلة للتبديل هي: (باستخدام معكوس العددين اثنين وثلاثة للعددين عشرة وأحد عشر على التوالي)

لاحظ أن مشكلة "الإزاحة إلى اليسار بشكل دوري بمقدار موضع واحد" ليس لها حل للمضاعف الأقل من 12 باستثناء 2 و 5، ونفس المشكلة في النظام العشري ليس لها حل للمضاعف الأقل من 10 باستثناء 3.

• ب. ييو، الأعداد الصحيحة القابلة للتبديل من اليمين من الرتبة k، الأعداد الصحيحة القابلة للتبديل من اليسار من الرتبة k، الفصل 18.1، 18.2، الصفحات  168/360 في كتاب "الرياضيات الترفيهية"، https://web.archive.org/web/20090901180500/http://math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
• سي إيه بيكوفر ، عجائب الأرقام ، الفصل 28، مطبعة جامعة أكسفورد بالمملكة المتحدة، 2000.
• سلون، ن.  ج.  أ. (محرر). "المتتالية A092697 (لـ 1 ≤ n ≤ 9، a(n) = أصغر عدد m بحيث يُحصل على حاصل ضرب n*m بمجرد إزاحة الرقم الأيمن من m إلى الطرف الأيسر)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
• غاردنر، مارتن. السيرك الرياضي: المزيد من الألغاز والألعاب والمفارقات وغيرها من وسائل الترفيه الرياضية من مجلة ساينتفك أمريكان. نيويورك: الجمعية الرياضية الأمريكية، 1979. الصفحات  111-122.
• كالمان، دان؛ "الكسور ذات أنماط الأرقام الدورية" مجلة الرياضيات الجامعية، المجلد 27، العدد 2. (مارس، 1996)، ص  109-115.
• ليزلي، جون. "فلسفة الحساب: عرض رؤية تقدمية لنظرية وممارسة ..." ، لونغمان، هيرست، ريس، أورم، وبراون، 1820، رقم ISBN 1-4020-1546-1
• ويلز، ديفيد ؛ " قاموس البطريق للأرقام الغريبة والمثيرة للاهتمام " ، دار بنغوين للنشر. رقم ISBN 0-14-008029-5