الاثنا عشري

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

النظام الاثني عشري ، المعروف أيضًا بالنظام ذي الأساس 12 أو النظام العشري (من كلمة " دزينة ")، هو نظام عد موضعي يستخدم العدد 12 كأساس له . في النظام الاثني عشري، يُرمز للعدد 12 بالرمز "10"، أي 12 و0 وحدة ؛ أما في النظام العشري ، فيُكتب هذا العدد بالرمز "12"، أي 10 و2 وحدة، والسلسلة "10" تعني 10. في النظام الاثني عشري، "100" تعني مربع 12 (144)، و"1000" تعني مكعب 12 (1728)، و"0.1" تعني جزءًا من 12 (0.08333...).   

استُخدمت رموزٌ مختلفةٌ لتمثيل الرقمين عشرة وأحد عشر في النظام الاثني عشري؛ تستخدم هذه الصفحة الرمزين A و B ، كما في النظام الست عشري ، مما يجعل العد الاثني عشري من صفر إلى اثني عشر يُقرأ كالتالي: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A ، B ، 10. تستخدم جمعيتا النظام الاثني عشري في أمريكا وبريطانيا العظمى (المنظمات التي تُشجع استخدام النظام الاثني عشري) أرقامًا مُقلبة في منشوراتهما: 2 أو ↊ (رقم 2 مُقلب) للدلالة على عشرة ( dek ، تُنطق /dɛk/)، و 3 أو ↋ (رقم 3 مُقلب) للدلالة على أحد عشر ( el ، تُنطق /ɛl/). يلي هذه الأرقام الرقم اثنا عشر ( do ، تُنطق /doʊ/).

The number twelve, a superior highly composite number, is the smallest number with four non-trivial factors (2, 3, 4, 6), and the smallest to include as factors all four numbers (1 to 4) within the subitizing range, and the smallest abundant number. All multiples of reciprocals of 3-smooth numbers (⁠a/2b·3c⁠ where a,b,c are integers) have a terminating representation in duodecimal. In particular, ⁠+1/4⁠ (0.3), ⁠+1/3⁠ (0.4), ⁠+1/2⁠ (0.6), ⁠+2/3⁠ (0.8), and ⁠+3/4⁠ (0.9) all have a short terminating representation in duodecimal. There is also higher regularity observable in the duodecimal multiplication table. As a result, duodecimal has been described as the optimal number system.[1]

In these respects, duodecimal is considered superior to decimal, which has only 2 and 5 as factors, and other proposed bases like octal or hexadecimal. Sexagesimal (base sixty) does even better in this respect (the reciprocals of all 5-smooth numbers terminate), but at the cost of unwieldy multiplication tables and a much larger number of symbols to memorize.

Origin

In this section, numerals are in decimal. For example, "10" means 9+1, and "12" means 9+3.

Georges Ifrah speculatively traced the origin of the duodecimal system to a system of finger counting based on the knuckle bones of the four larger fingers. Using the thumb as a pointer, it is possible to count to 12 by touching each finger bone, starting with the farthest bone on the fifth finger, and counting on. In this system, one hand counts repeatedly to 12, while the other displays the number of iterations, until five dozens, i.e. the 60, are full. This system is still in use in many regions of Asia.[2][3]

اللغات التي تستخدم نظام الأرقام الاثني عشرية نادرة. ومن المعروف أن لغات الحزام الأوسط النيجيري مثل جانجي ، وجيبيري-نيراجو (جوري-كاهوجو)، وبيتي ، ولهجة نيمبيا من غواندارا ؛ [ 4 ] ولغة تشيبانغ في نيبال [ 5 ] تستخدم الأرقام الاثني عشرية.

تحتوي اللغات الجرمانية على كلمات خاصة للعددين 11 و12، مثل eleven و twelve في اللغة الإنجليزية . وهي مشتقة من الكلمتين الجرمانية البدائية * ainlif و* twalif (بمعنى واحد إلى اليسار واثنين إلى اليسار على التوالي )، مما يشير إلى أصل عشري وليس اثني عشري. [ 6 ] [ 7 ] مع ذلك، استخدمت اللغة النوردية القديمة نظام عد هجينًا يجمع بين النظامين العشري والاثني عشري، حيث كانت كلماتها تعني 200 لكلمة "مائة وثمانون"، و240 لكلمة "مائتان". [ 8 ] في الجزر البريطانية، استمر هذا النمط من العد حتى العصور الوسطى، حيث عُرف باسم " المائة الطويلة " (بمعنى 120).

تاريخيًا، كانت وحدات الزمن في العديد من الحضارات اثني عشرية. فهناك اثنا عشر برجًا فلكيًا ، واثنا عشر شهرًا في السنة، وكان لدى البابليين اثنا عشر ساعة في اليوم (مع أن هذا تغير لاحقًا إلى 24 ساعة ). وتعتمد التقاويم والساعات والبوصلات الصينية التقليدية على الفروع الأرضية الاثني عشر أو 24 مصطلحًا شمسيًا (12×2) . ويوجد 12 بوصة في القدم الإمبراطورية، و12 أونصة تروي في رطل تروي، و24 ساعة في اليوم (12×2)؛ وتُحسب العديد من الأشياء الأخرى بالدزينة ، أو بالجروس ( 144، 12 تربيع )، أو بالجروس الكبير (1728، 12 تكعيب ). استخدم الرومان نظامًا كسريًا قائمًا على العدد 12، بما في ذلك الأونسيا ، التي أصبحت فيما بعد الكلمتين الإنجليزيتين أونصة وبوصة . تاريخياً، استخدمت أجزاء كثيرة من أوروبا الغربية نظاماً نقدياً مختلطاً من النظام العشري والنظام الاثني عشري للجنيهات والشلنات والبنسات ، حيث كان الجنيه يساوي 20 شلناً والشلن يساوي 12 بنساً، وقد أسسه شارلمان في الأصل في ثمانينيات القرن الثامن الميلادي.   

وحدات مقسمة إلى اثني عشرية
القيمة النسبيةطولوزن
فرنسيإنجليزيالإنجليزية (طروادة)روماني
12 0بيدقدمجنيهالميزان
12 -1بوسبوصةأونصةأونسيا
12 -2خطخط2 من المبادئ2 سكروبولا
12 -3نقطةنقطةبذورسيليكوا

الرموز والنطق

في نظام العد الموضعي ذي الأساس n (اثنا عشري في النظام الاثني عشري)، يُعطى كل عدد من الأعداد الطبيعية n الأولى رمزًا عدديًا مميزًا، ثم يُرمز إلى n بالرمز "10"، أي 1 مضروبًا في n زائد صفر. في النظام الاثني عشري، تُستخدم الرموز العددية القياسية من 0 إلى 9 عادةً للأعداد من صفر إلى تسعة، ولكن توجد مقترحات عديدة لكتابة الأرقام التي تُمثل "عشرة" و"أحد عشر". [ 9 ] وتستغني مقترحات أكثر جذرية عن استخدام الأرقام العربية تمامًا ، وذلك استنادًا إلى مبدأ "الهوية المنفصلة". [ 9 ]

لا يوجد معيار موحد لنطق الأرقام الاثني عشرية، ولكن تم اقتراح أنظمة مختلفة.

الرموز ما بعد العشرية

اقترح العديد من المؤلفين استخدام حروف الأبجدية للرموز ما بعد العشرية. تُعدّ الحروف اللاتينية مثل ⟨A , B⟩ ( كما في النظام الست عشري ) أو ⟨T , E⟩ ( الأحرف الأولى من الرقمين عشرة وأحد عشر ) ملائمةً لسهولة الحصول عليها، وإمكانية كتابتها على الآلات الكاتبة مثلاً. مع ذلك، قد تُشتبه هذه الحروف عند استخدامها في النصوص العادية. كبديل، يمكن استخدام الحروف اليونانية مثل ⟨τ , ε⟩ . [ 9 ] اقترح فرانك إيمرسون أندروز، أحد أوائل الأمريكيين الداعمين للنظام الاثني عشري، واستخدم في كتابه " الأرقام الجديدة" الصادر عام 1935، الرمز ⟨X , Ɛ⟩ (حرف X كبير مائل من الرقم الروماني عشرة، وحرف E كبير مائل مستدير يشبه حرف E المفتوح ) ، إلى جانب الأرقام المائلة من 0 إلى 9 . [ 11 ] في عام 1936، اقترحت لويز لانج أسماءً للأعداد الاثني عشرية الأكبر من اثني عشر واستخدمت ⟨ξ , ε⟩ . [ 12 ] [ 13 ]

استخدمت إدنا كرامر في كتابها " التيار الرئيسي للرياضيات" الصادر عام ١٩٥١ الرمزين ⟨⚹⟩ و⟨ # ⟩ ( الزاوية السداسية وعلامة العدد ). [ ٩ ] وقد اختيرت هذه الرموز لتوافرها في بعض الآلات الكاتبة، كما أنها موجودة على الهواتف ذات الأزرار . [ ٩ ] استُخدمت هذه الصيغة في منشورات جمعية الـ ١٢ الأمريكية (DSA) من عام ١٩٧٤ إلى عام ٢٠٠٨. [ ١٤ ] [ ١٥ ]

من عام 2008 إلى عام 2015، استخدمت جمعية DSA الرموز ⟨ و ⟩ ، وهي الرموز التي ابتكرها ويليام أديسون دويغينز . [ 9 ] [ 16 ]

اقترحت جمعية الأرقام الاثني عشرية في بريطانيا العظمى (DSGB) الرموز ⟨2,3⟩ . [ 9 ] وقد قدّم إسحاق بيتمان هذا الترميز، المشتق من الأرقام العربية بتدويرها 180 درجة، عام 1857. [ 9 ] [ 17 ] وفي مارس 2013، قُدِّم اقتراحٌ لإدراج صيغ الأرقام للعددين 10 و11 التي نشرتها جمعيات الأرقام الاثني عشرية في معيار يونيكود . [ 18 ] ومن بين هذه الصيغ، قُبِلت الصيغ البريطانية/بيتمان للترميز كأحرف عند نقطتي الترميز U+218A ↊ الرقم الثاني بعد التدوير و U+218B ↋ الرقم الثالث بعد التدوير . وقد أُدرجت هذه الصيغ في يونيكود 8.0 (2015). [ 19 ] [ 20 ]

بعد إضافة أرقام بيتمان إلى يونيكود، أجرت جمعية النظام الاثني عشري تصويتًا، ثم بدأت بنشر محتوى PDF باستخدام أرقام بيتمان، لكنها استمرت في استخدام الحرفين X وE على موقعها الإلكتروني. [ 21 ] في يناير 2026، غيّرت الجمعية مواقعها الإلكترونية لاستخدام الحرفين A وB، مع الاستمرار في استخدام أرقام بيتمان في نشرة النظام الاثني عشري ومنشوراتها الأخرى. [ 22 ]

الرموزخلفيةملحوظة
أبكما في النظام الست عشرييسمح بإدخال البيانات على الآلات الكاتبة.
تيهـالأحرف الأولى من الرقمين عشرة وأحد عشريستخدم (بحروف صغيرة) في نظرية المجموعات الموسيقية [ 23 ]
XهـX من الرقم الروماني ؛ E من الرقم أحد عشر .
XZأصل حرف Z غير معروفينسبها إلى دالمبير وبوفون من قبل جمعية الفنانين المعاصرين . [ 9 ]
دلتاεدلتا اليونانية من δέκα "عشرة"؛ إبسيلون من ένδεκα "أحد عشر" [ 9 ]
τεتاو اليونانية ، إبسيلون [ 9 ]
ξε11 اليونانية ، إبسيلوناقترحتها لويز لانج (1936). [ 13 ]
⚹8علامة السداسي أو النجمة السداسية، علامة الرقم (هاش أو أوكتوثورب)على الهواتف ذات الأزرار الضاغطة ؛ استخدمتها إدنا كرامر في كتابها "التيار الرئيسي للرياضيات" (1951)؛ استخدمتها جمعية الرياضيات الرقمية 1974-2008 [ 24 ] [ 25 ] [ 9 ]
23
  • تم تدوير الرقمين 2 و 3 بمقدار 180 درجة
إسحاق بيتمان (1857)؛ [ 17 ] يستخدم من قبل DSGB؛ يستخدم من قبل DSA منذ عام 2015؛ مدرج في Unicode 8.0 (2015) [ 19 ] [ 26 ]
تُنطق "ديك" أو "إل"

الترميز الأساسي

توجد أيضًا مقترحات متنوعة حول كيفية التمييز بين العدد ذي الاثني عشر عشرية والعدد ذي العشرية. الطريقة الأكثر شيوعًا في مصادر الرياضيات الرئيسية لمقارنة أنظمة العد المختلفة هي استخدام رمز سفلي "10" أو "12"، على سبيل المثال " 54 12 = 64 10 ". لتجنب الالتباس حول معنى الرمز السفلي 10، قد تُكتب الرموز السفلية كاملةً، " 54 اثني عشر = 64 عشرة ". في عام 2015، اعتمدت جمعية الاثني عشرية الأمريكية الاختصار الأكثر اختصارًا المكون من حرف واحد، وهو z للدلالة على الاثني عشرية و d للدلالة على العشرية ، " 54 z = 64 d ". [ 27 ]

تشمل الطرق المقترحة الأخرى كتابة الأعداد الاثني عشرية بخط مائل " 54 = 64"، أو إضافة فاصلة منقوطة ( فاصلة همفري بدلًا من الفاصلة العشرية ) إلى الأعداد الاثني عشرية "54.6 = 64.5"، أو وضع علامة نجمة (*54  = 64) قبل الأعداد الاثني عشرية، أو مزيج من هذه الطرق. تستخدم جمعية النظام الاثني عشري في بريطانيا العظمى علامة نجمة (*) قبل الأعداد الصحيحة الاثني عشرية، وفاصلة همفري (*) للأعداد الاثني عشرية الأخرى. [ 27 ]

نطق

اقترحت جمعية الـ Dozenal الأمريكية أن يتم نطق الرقمين عشرة وأحد عشر على التوالي بـ "dek" و "el".

توجد في اللغة الإنجليزية مصطلحات لبعض قوى العدد 12: يُطلق على العدد 12 ( 10¹² أو 12¹⁰ ) اسم دزينة . ويُطلق على مربع العدد 12 ( 10¹² أو 14⁴¹⁰ ) اسم جروس . [ 28 ] ويُطلق على مكعب العدد 12 ( 100¹² أو 172⁸¹⁰ ) اسم جروس كبير . [ 29 ]

المناصرة و"الشمولية"

استخدم ويليام جيمس سيديس العدد 12 كأساس للغة المصطنعة التي ابتكرها فيندرجود في عام 1906، مشيرًا إلى أنه أصغر عدد له أربعة عوامل وشيوعه في التجارة. [ 30 ]

طُرحت حجج النظام الاثني عشري بالتفصيل في كتاب فرانك إيمرسون أندروز الصادر عام 1935 بعنوان "أعداد جديدة: كيف يُبسّط قبول الأساس الاثني عشري الرياضيات" . وأشار إيمرسون إلى أنه نظرًا لانتشار عوامل العدد اثني عشر في العديد من وحدات الوزن والقياس التقليدية، فإن العديد من المزايا الحسابية المزعومة للنظام المتري يُمكن تحقيقها إما عن طريق اعتماد وحدات وزن وقياس قائمة على النظام العشري أو عن طريق اعتماد النظام العددي الاثني عشري. [ 11 ]

وجه ساعة اثني عشري كما هو الحال في شعار جمعية الاثني عشرية الأمريكية، ويستخدم هنا للدلالة على المفاتيح الموسيقية

تشجع كل من جمعية النظام الاثني عشري الأمريكية (التي تأسست باسم جمعية النظام الاثني عشري الأمريكية في عام 1944) وجمعية النظام الاثني عشري لبريطانيا العظمى (التي تأسست عام 1959) على اعتماد النظام الاثني عشري.

كان عالم الرياضيات والحاسب الذهني ألكسندر كريج أيتكن من أشد المدافعين عن النظام الاثني عشري:

جداول الأعداد الاثني عشرية سهلة التعلم، أسهل من جداول الأعداد العشرية؛ وفي التعليم الابتدائي ستكون أكثر إثارة للاهتمام، إذ سيجد الأطفال الصغار استخدامات أكثر تشويقًا لاثني عشر قضيبًا أو مكعبًا مقارنةً بعشرة. أي شخص يتقن هذه الجداول سيُجري هذه العمليات الحسابية أسرع بأكثر من مرة ونصف في النظام الاثني عشري مقارنةً بالنظام العشري. هذه تجربتي، وأنا على يقين من أن تجارب الآخرين ستكون أكثر من ذلك.

— AC Aitken، "Twelves and Tens" في The Listener (25 يناير 1962) [ 31 ]

لكن الميزة الكمية النهائية، في تجربتي الخاصة، هي هذه: في حسابات متنوعة وواسعة النطاق من النوع العادي وغير المعقد بشكل مفرط، والتي أجريت على مدى سنوات عديدة، توصلت إلى استنتاج مفاده أن كفاءة النظام العشري يمكن تقييمها بحوالي 65 أو أقل، إذا خصصنا 100 للنظام الاثني عشري.

— AC Aitken، القضية ضد النظام العشري (1962) [ 32 ]

في وسائل الإعلام

في حلقة "أصابع القدم الاثنتي عشرة الصغيرة" من المسلسل التلفزيوني التعليمي الأمريكي " مدرسة الروك!" ، يصادف مزارع كائناً فضائياً ذا اثني عشر إصبعاً في اليدين واثني عشر إصبعاً في القدمين، يستخدم النظام الحسابي ذي الاثني عشر عشر. يستخدم الكائن الفضائي "ديك" و"إل" للدلالة على الرقمين عشرة وأحد عشر، ورموز الأرقام باستخدام خط أندروز "إكس" و"إي". [ 33 ] [ 34 ]

أنظمة القياس الاثني عشرية

تشمل أنظمة القياس التي اقترحها أصحاب نظرية الاثني عشر نظام توم بندلبيري TGM، [ 35 ] [ 36 ] ونظام تاكاشي سوغا العالمي للوحدات، [ 37 ] [ 36 ] ونظام جون فولان برايمل. [ 38 ]

مقارنة بأنظمة الأرقام الأخرى

في هذا القسم، الأرقام مكتوبة بالنظام العشري. على سبيل المثال، "10" تعني 9+1، و"12" تعني 9+3.

تُجادل جمعية الدُستين الأمريكية بأنه إذا كان أساس النظام العددي صغيرًا جدًا، فستكون هناك حاجة إلى سلاسل أطول بكثير للأعداد؛ أما إذا كان الأساس كبيرًا جدًا، فسيتعين حفظ جدول ضرب كبير لإجراء العمليات الحسابية. وبالتالي، تفترض الجمعية أن "أساس النظام العددي يجب أن يتراوح بين 7 أو 8 إلى 16 تقريبًا، وربما يشمل 18 و20". [ 39 ]

للعدد 12 ستة عوامل، هي 1، 2، 3، 4، 6، و12، منها 2 و3 عددان أوليان . وهو أصغر عدد له ستة عوامل، وأكبر عدد له نصف الأعداد الأصغر منه على الأقل كقواسم، وهو أكبر بقليل من 10. (العددان 18 و20 لهما ستة عوامل أيضًا، لكنهما أكبر بكثير). أما العدد 10، فله أربعة عوامل فقط، هي 1، 2، 5، و10، منها 2 و5 عددان أوليان. [ 39 ] يشترك العدد 6 مع العدد 12 في العاملين الأوليين 2 و3؛ إلا أنه، مثله مثل العدد 10، له أربعة عوامل فقط (1، 2، 3، و6) بدلًا من ستة. وقاعدته، وهي senary ، أقل من الحد الأدنى المحدد في نظام DSA.

العددان 8 و16 لا يحتويان إلا على 2 كعامل أولي. لذلك، في النظامين الثماني والسداسي عشري ، الكسور المنتهية الوحيدة هي تلك التي يكون مقامها قوة من قوى العدد 2 .

العدد 30 هو أصغر عدد له ثلاثة عوامل أولية مختلفة (2، 3، و5، وهي الأعداد الأولية الثلاثة الأولى)، وله ثمانية عوامل إجمالاً (1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، و30). وقد استخدم السومريون والبابليون القدماء ، وغيرهم، النظام الستيني ؛ أساسه 60، ويضيف العوامل الأربعة المناسبة 4، 12، 20، و60 إلى 30 دون إضافة عوامل أولية جديدة. أما أصغر عدد له أربعة عوامل أولية مختلفة فهو 210؛ ويتبع هذا النمط نمط الأعداد الأولية . مع ذلك، فإن هذه الأعداد كبيرة جدًا بحيث لا يمكن استخدامها كأساس، وهي تتجاوز بكثير الحد الأدنى الذي حددته جمعية الأعداد الرقمية.

في جميع الأنظمة الأساسية، توجد أوجه تشابه في تمثيل مضاعفات الأعداد التي تقل بواحد أو تزيد بواحد عن الأساس.

في جدول الضرب التالي، تُكتب الأرقام بالنظام الاثني عشري. على سبيل المثال، "10" تعني اثني عشر، و"12" تعني أربعة عشر.

جدول ضرب الأعداد الاثني عشرية
×123456789أب10
1123456789أب10
22468أ10121416181 أ20
3369101316192023262930
44810141820242830343840
55أ131821262 ب3439424750
661016202630364046505660
771219242 ب364148535 أ6570
881420283440485460687480
991623303946536069768390
أأ18263442505 أ68768492A0
بب1 أ2938475665748392أ 1B0
10102030405060708090A0B0100

جداول التحويل من وإلى النظام العشري

لتحويل الأعداد بين الأنظمة العددية، يمكن استخدام خوارزمية التحويل العامة (انظر القسم ذي الصلة تحت الترميز الموضعي ). أو يمكن استخدام جداول تحويل الأرقام. الجداول الموضحة أدناه تُستخدم لتحويل أي عدد من النظام الاثني عشري بين 0.1 و 8 ، أو أي عدد من النظام العشري بين 0.1 و 99,999.9 إلى النظام الاثني عشري. لاستخدامها، يجب أولاً تحليل العدد المُعطى إلى مجموع أعداد ، كل منها يحتوي على رقم معنوي واحد فقط. على سبيل المثال:

12345.6 = 10000 + 2000 + 300 + 40 + 5 + 0.6

يعمل هذا التحليل بنفس الطريقة بغض النظر عن أساس العد المستخدم. ما عليك سوى عزل كل رقم غير صفري، وإضافة أصفار كافية للحفاظ على قيمته المكانية. إذا احتوى الرقم المعطى على أصفار (على سبيل المثال، 7080.9)، فسيتم حذف هذه الأصفار من تحليل الأرقام (7080.9 = 7000 + 80 + 0.9). بعد ذلك، يمكن استخدام جداول تحويل الأرقام للحصول على القيمة المكافئة لكل رقم في أساس العد المستهدف. إذا كان الرقم المعطى مكتوبًا بالنظام الاثني عشري وكان أساس العد المستهدف هو النظام العشري، فسنحصل على:

(النظام العشري) 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0.6 = (النظام العشري) 20,736 + 3,456 + 432 + 48 + 5 + 0.5

بما أن الحدود قد تم تحويلها بالفعل إلى أعداد عشرية، يتم استخدام العمليات الحسابية العشرية المعتادة لإجراء عملية الجمع وإعادة تكوين العدد، للوصول إلى نتيجة التحويل:

اثنا عشري ---> عشري 10000 = 20736 2000 = 3456 300 = 432 40 = 48 5 = 5 + 0.6 = + 0.5 ----------------------------- 12,345.6 = 24,677.5

أي أن العدد 12345.6 (بالنظام الاثني عشري) يساوي العدد 24677.5 (بالنظام العشري).

إذا كان العدد المعطى بالنظام العشري وكان النظام المستهدف هو النظام الاثني عشري، فإن الطريقة هي نفسها. باستخدام جداول تحويل الأرقام:

(عشري) 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0.6 = (الاثني عشري) 5,954 + 1,1 أ 8 + 210 + 34 + 5 + 0. 7249

لجمع هذه النواتج الجزئية وإعادة تكوين العدد، يجب إجراء عملية الجمع باستخدام النظام الاثني عشري بدلاً من النظام العشري:

 النظام العشري ← النظام الاثنا عشري 10000 = 5954 2000 = 1.1 أ 8 300 = 210 40 = 34 5 = 5 + 0.6 = + 0.7249 -------------------------------12,345.6 = 7,189.7249

أي أن العدد 12345.6 (بالنظام العشري) يساوي العدد 7189.7249 (بالنظام الاثني عشري) .

تحويل الأرقام من 12 عشرية إلى أرقام عشرية

Duod.ديسمبرDuod.ديسمبرDuod.ديسمبرDuod.ديسمبرDuod.ديسمبرDuod.ديسمبر
1000020736100017281001441012110.10.08 3
20,00041,472200034562002882024220.20.1 6
30,00062208300051843004323036330.30.25
40,00082,944400069124005764048440.40. 3
50,000103,680500086405007205060550.50.41 6
60,000124,4166000103686008646072660.60.5
70,000145,152700012,09670010087084770.70.58 3
80,000165,88880001382480011528096880.80.6​
90,000186,624900015,552900129690108990.90.75
A0,000207,360ألف​17280A 001440أ ٠120أ100. أ0.8 3
ب 0,000228,096ب ، 00019008ب ٠٠1584ب ٠132ب110. ب0.91 6

تحويل الأرقام من النظام العشري إلى النظام ذي الاثني عشر رقمًا

ديسمبرDuod.ديسمبرDuod.ديسمبرDuod.ديسمبرDuod.ديسمبرDuod.ديسمبرالاثنا عشري
10000595410006 ب 41008410أ110.10.1 2497
20,000ب ، 6 أ 820001.1 أ 82001482018220.20.2497​
30,0001544030001.8 أ 03002103026330.30.3 7249
40,0001 ب ، 194400023944002944034440.40.4972​
50,00024، ب 2850002، أ 885003585042550.50.6
60,0002 أ ، 880600035806004206050660.60.7249​
70,00034,614700040747004 أ 4705 أ770.70.8 4972
80,0003 أ ، 368800047688005688068880.80.9724​
90,00044100900052609006309076990.90. A 9724

الكسور والأعداد غير النسبية

الكسور

في القائمتين التاليتين، الأرقام مكتوبة بالنظام الاثني عشري. على سبيل المثال، "10" تعني 9 + 3، و"12" تعني 9 + 5.

تنتهي الكسور الاثني عشرية للأعداد النسبية ذات المقامات الملساء من الدرجة 3 :

  • ١ / ٢ = ٠ ٫ ٦
  • ١ / ٣ = ٠ ٫ ٤
  • ١ / ٤ = ٠ ٫ ٣
  • ١ / ٦ = ٠٫ ٢
  • 1 / 8 = 0.16​
  • ١ / ٩ = ٠ ٫ ١٤
  • 1 / 10 = 0.1 (هذا هو واحد من اثني عشر، 1 / ​​A هو واحد من عشرة)
  • 1 / 14 = 0.09 (هذا هو سدس عشر، 1 / ​​12 هو أربعة عشر )

بينما تحتوي الأعداد النسبية الأخرى على كسور اثني عشرية متكررة :

  • ١ / ٥ = ٠ ٫ ٢٤٩٧
  • ١ / ٧ = ٠ ٫ ١٨٦A٣٥
  • 1 / A = 0.1 2497(عُشر )
  • 1 / B = 0.1 (واحد من أحد عشر )
  • 1 / 11 = 0.0B(واحد من ثلاثة عشر )
  • 1 / 12 = 0.0 A35186 (واحد من أربعة عشر )
  • 1 / 13 = 0.09724(واحد من خمسة عشر )
أمثلة بالنظام الاثني عشريالمكافئ العشري
1 × 5 / 8 = 0.761 × 5 / 8 = 0.625
100 × 5 / 8 = 76144 × 5 / 8 = 90
٥٧٦ / ٩ = ٧٦​810 / 9 = 90​
٤٠٠ / ٩ = ٥٤​٥٧٦ / ٩ = ٦٤​
1 أ 0.6 + 7.6 = 2622.5 + 7.5 = 30

كما هو موضح في الأعداد العشرية الدورية ، عندما يتم كتابة كسر غير قابل للاختزال باستخدام ترميز النقطة الأساسية في أي أساس، يمكن التعبير عن الكسر بدقة (ينتهي) إذا وفقط إذا كانت جميع العوامل الأولية لمقامه عوامل أولية أيضًا للأساس.

لأن2×5=10{\displaystyle 2\times 5=10}في النظام العشري، تنتهي الكسور التي تتكون مقاماتها من مضاعفات العددين 2 و5 فقط: 1/8 = 1 / ( 2 × 2×2) ، و 1 / 20 = 1 / ( 2 × 2×5) ، و1 / 500 = 1 / ( 2 × 2 × 5 × 5 ×5) يمكن التعبير عنها بدقة على النحو التالي: 0.125، 0.05، و0.002 على التوالي. أما 1/3 و 1 / 7 ، فهما يتكرران ( 0.333... و0.142857142857...).      

لأن2×2×3=12{\displaystyle 2\times 2\times 3=12}في النظام الاثني عشري، 1/8 هو عدد دقيق ؛ 1/20 و 1 / 500 يتكرران لأنهما يتضمنان 5 كعامل ؛ 1/3 هو عدد دقيق، و 1 / 7 يتكرر ، تمامًا كما هو الحال في النظام العشري .

عدد المقامات التي تعطي كسورًا منتهية ضمن عدد معين من الأرقام، n ، في نظام عددي أساسه b هو عدد عوامل (قواسم) الكسر.بن{\displaystyle b^{n}}، القوة النونية للأساس b (مع العلم أن هذا يشمل القاسم 1، الذي لا ينتج عنه كسور عند استخدامه في المقام). عدد عواملبن{\displaystyle b^{n}}يتم إعطاؤها باستخدام تحليلها إلى عواملها الأولية.

بالنسبة للأرقام العشرية،10ن=2ن×5ن{\displaystyle 10^{n}=2^{n}\times 5^{n}}يُحسب عدد القواسم بإضافة واحد إلى كل أس من أس كل عدد أولي وضرب الكميات الناتجة معًا، وبالتالي فإن عدد عوامل العدد هو10ن{\displaystyle 10^{n}}يكون(ن+1)(ن+1)=(ن+1)2{\displaystyle (n+1)(n+1)=(n+1)^{2}}.

على سبيل المثال، العدد 8 هو أحد عوامل العدد 10³ (1000)، لذا18{\textstyle {\frac {1}{8}}}والكسور الأخرى التي يكون مقامها 8 لا يمكن أن تتطلب أكثر من ثلاثة أرقام عشرية كسرية لإنهاء الكسر.58=0.62510.{\textstyle {\frac {5}{8}}=0.625_{10}.}

بالنسبة للعدد الاثني عشري،10ن=22ن×3ن{\displaystyle 10^{n}=2^{2n}\times 3^{n}}هذا لديه(2ن+1)(ن+1){\displaystyle (2n+1)(n+1)}القواسم. مقام العينة 8 هو عامل من عوامل المجموع الكلي122=144{\textstyle 12^{2}=144}(بالنظام العشري)، لذلك لا يمكن أن تحتاج الأثمان إلى أكثر من منزلتين عشريتين لإنهاءها.58=0.7612.{\textstyle {\frac {5}{8}}=0.76_{12}.}

بما أن العددين 10 و12 لهما عاملان أوليان فريدان، فإن عدد قواسم العدد 10 هو 12.بن{\displaystyle b^{n}}بالنسبة لـ b = 10 أو 12، ينمو بشكل تربيعي مع الأس n (بمعنى آخر، من رتبةن2{\displaystyle n^{2}}).

الأرقام المتكررة

تُجادل جمعية النظام الاثني عشري الأمريكية بأنّ عوامل العدد 3 أكثر شيوعًا في مسائل القسمة الواقعية من عوامل العدد 5. [ 39 ] وبالتالي، في التطبيقات العملية، تقلّ مشكلة تكرار الأعداد العشرية عند استخدام النظام الاثني عشري. ويُشير مؤيدو النظام الاثني عشري إلى أنّ هذا ينطبق بشكل خاص على الحسابات المالية، حيث تدخل أشهر السنة الاثني عشر في الحسابات غالبًا.

مع ذلك، عندما تظهر الكسور الدورية في النظام الاثني عشري، يكون احتمال أن تكون دورتها قصيرة جدًا أقل منه في النظام العشري، لأن العدد 12 (اثنا عشر) يقع بين عددين أوليين ، هما 11 (أحد عشر) و13 (ثلاثة عشر)، بينما يقع العدد 10 بجوار العدد المركب 9. ومع ذلك، فإن وجود دورة أقصر أو أطول لا يحل المشكلة الرئيسية المتمثلة في عدم الحصول على تمثيل محدود لهذه الكسور في الأساس المعطى (لذا فإن التقريب ، الذي يُدخل عدم دقة، ضروري للتعامل معها في العمليات الحسابية)، وبشكل عام، يزداد احتمال التعامل مع عدد لا نهائي من الأرقام الدورية عند التعبير عن الكسور بالنظام العشري مقارنةً بالنظام الاثني عشري، لأن واحدًا من كل ثلاثة أعداد متتالية يحتوي على العامل الأولي 3 في تحليله، بينما واحد فقط من كل خمسة يحتوي على العامل الأولي 5. جميع العوامل الأولية الأخرى، باستثناء 2، لا يشترك فيها أي من النظامين العشري أو الاثني عشري، لذا فهي لا تؤثر على الاحتمالية النسبية لمواجهة أرقام دورية (أي الكسر غير القابل للاختزال الذي يحتوي على أي من هذه العوامل الأخرى في مقامه سيتكرر في أي من الأساسين).

كذلك، يظهر العامل الأولي 2 مرتين في تحليل العدد 12، بينما يظهر مرة واحدة فقط في تحليل العدد 10؛ مما يعني أن معظم الكسور التي مقاماتها قوى العدد 2 سيكون لها تمثيل نهائي أقصر وأكثر ملاءمة في النظام الاثني عشري مقارنة بالنظام العشري:

  • 1/(2 2 ) = 0.25 10 = 0.3 12
  • 1/(2 3 ) = 0.125 10 = 0.16 12
  • 1/(2 4 ) = 0.0625 10 = 0.09 12
  • 1/(2 5 ) = 0.03125 10 = 0.046 12
الأساس العشري : العوامل الأولية للأساس: ٢ ، ٥. العوامل الأولية للعدد الأقل من الأساس بواحد: ٣. العوامل الأولية للعدد الأكبر من الأساس بواحد: ١١. جميع الأعداد الأولية الأخرى: ٧ ، ١٣ ، ١٧ ، ١٩، ٢٣ ، ٢٩ ، ٣١ .الأساس 12 عشري. العوامل الأولية للأساس: 2 ، 3. العوامل الأولية للعدد الأقل من الأساس بواحد: B. العوامل الأولية للعدد الأعلى من الأساس بواحد: 11 (= 13 × 10 ). جميع الأعداد الأولية الأخرى: 5 ، 7 ، 15 (= 17 × 10 ) ، 17 (= 19 × 10 ) ، 1B (= 23 × 10 ) ، 25 (= 29 × 10 ) ، 27 (= 31 × 10 ) .
جزءالعوامل الأولية للمقامالتمثيل الموضعيالتمثيل الموضعيالعوامل الأولية للمقامجزء
نصف20.50.62نصف
1/330. 30.431/3
1/420.250.321/4
1/550.20.2497​51/5
1/62 ، 30.1 60.22 ، 31/6
1/770.142857​0. 186A3571/7
1/820.1250.1621/8
1/930.1​0.1431/9
1/102 ، 50.10.1 24972 ، 51/ أ
1/11110.09​0.1​ب1/ ب
1/122 ، 30.08 30.12 ، 31/10
1/13130.076923​0.0B​111/11
1/142 ، 70.0 7142850.0 A351862 ، 71/12
1/153 ، 50.0 60.0 97243 ، 51/13
1/1620.06250.0921/14
1/17170. 05882352941176470. 08579214B36429A7151/15
1/182 ، 30.0 50.082 ، 31/16
1/19190. 0526315789473684210. 076B45171/17
1/202 ، 50.050.0 72492 ، 51/18
1/213 ، 70.047619​0.0 6A35183 ، 71/19
1/222 ، 110.0 450.0 62 ، ب1/1 أ
1/23230. 04347826086956521739130.06316948421​1 ب1/1 ب
1/242 ، 30.041 60.062 ، 31/20
1/2550.040. 05915343A0B62A68781B51/21
1/262 ، 130.0 3846150.0 562 ، 111/22
1/2730.037​0.05431/23
1/282 ، 70.03 5714280.0 5186A32 ، 71/24
1/29290. 03448275862068965517241379310.04B7​251/25
1/302 ، 3 ، 50.0 30.0 49722 ، 3 ، 51/26
1/31310. 0322580645161290. 0478AA093598166B74311B28623A55271/27
1/3220.031250.04621/28
1/333 ، 110.03​0.0 43 ، ب1/29
1/342 ، 170.0 29411764705882350.0 429A708579214B362 ، 15نصف أ
1/355 ، 70.0 2857140. 0414559B39315 ، 7نصف ب
1/362 ، 30.02 70.042 ، 31/30

طول الفترة الاثني عشرية لـ 1/ n هو (بالنظام العشري)

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (متسلسلة) A246004 في OEIS )

طول الفترة الاثني عشرية لـ 1/( العدد الأولي النوني ) هو (بالنظام العشري)

0، 0، 4، 6، 1، 2، 16، 6، 11، 4، 30، 9، 40، 42، 23، 52، 29، 15، 66، 35، 36، 26، 41، 8، 16، 100، 102، 53، 54، 112، 126، 65، 136، 138، 148، 150، 3، 162، 83، 172، 89، 90، 95، 24، 196، 66، 14، 222، 113، 114، 8، 119، 120، 125، 256، 131، 268، 54، 138، 280، ... (التسلسل A246489 في OEIS )

أصغر عدد أولي ذو دورة اثني عشرية n هو (بالنظام العشري)

11، 13، 157، 5، 22621، 7، 659، 89، 37، 19141، 23، 20593، 477517، 211، 61، 17، 2693651، 1657، 29043636306420266077، 85403261، 8177824843189، 57154490053، 47، 193، 303551، 79، 306829، 673، 59، 31، 373، 153953، 886381، 2551، 71، 73، ... (التسلسل A252170 في OEIS )

الأعداد غير النسبية

لا تنتهي تمثيلات الأعداد غير النسبية في أي نظام عددي موضعي (بما في ذلك النظام العشري والنظام الاثني عشري) ولا تتكرر . أمثلة:

عشريالاثنا عشري
√2، الجذر التربيعي للعدد 21.414213562373...1.4 ب 79170 أ 07 ب 8...
φ = 1 + √5 / 2 ، النسبة الذهبية1.618033988749...1.74 ب ب 6772802 أ ...
e ، أساس اللوغاريتم الطبيعي2.718281828459...2.875236069821...
π ، باي3.141592653589...3.184809493 ب 91...

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ دفورسكي، جورج (18 يناير 2013). "لماذا يجب علينا التحول إلى نظام العد ذي الأساس 12" . جيزمودو . تم الاسترجاع في 21 ديسمبر 2013 .
  2. ↑ بيتمان، ريتشارد (1990). "أصل أنظمة العد الاثني عشرية والستينية في بلاد ما بين النهرين". المجلة الفلبينية للغويات . 21 (1): 97.
  3. ↑ إفراه، جورج (2000) [الطبعة الفرنسية الأولى 1981]. التاريخ العالمي للأرقام: من عصور ما قبل التاريخ إلى اختراع الحاسوب . وايلي. ISBN 0-471-39340-1.تمت ترجمتها من الفرنسية بواسطة ديفيد بيلوس، وإي إف هاردينغ، وصوفي وود، وإيان مونك.
  4. ↑ ماتسوشيتا، شوجي (أكتوبر 1998). "النظام العشري مقابل النظام الاثني عشري: تفاعل بين نظامين للترقيم" . www3.aa.tufs.ac.jp. مؤرشف من الأصل في 5 أكتوبر 2008. تم الاطلاع عليه في 29 مايو 2011 .
  5. ^ مازاودون ، مارتين (2002). "مبادئ بناء الأسماء في لغات تيبيتو بيرمان". في فرانسوا، جاك (محرر). التعددية (PDF) . لوفين: بيترز. ص 91 – 119. ISBN  90-429-1295-2أُرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 28-03-2016 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27-03-2014 .
  6. ↑ فون مينغدن، فرديناند (2006). "خصائص نظام الأرقام في اللغة الإنجليزية القديمة". في: نيكولاس ريت؛ هربرت شندل؛ كريستيان دالتون-بافر؛ ديتر كاستوفسكي (محررون). اللغة الإنجليزية في العصور الوسطى وتراثها: البنية والمعنى وآليات التغيير . دراسات في اللغة والأدب الإنجليزي في العصور الوسطى. المجلد 16. فرانكفورت: بيتر لانغ. الصفحات 125-145 .  
  7. ↑ فون مينغدن، فرديناند (2010). الأعداد الأصلية: اللغة الإنجليزية القديمة من منظور لغوي مقارن . موضوعات في اللغويات الإنجليزية. المجلد 67. برلين؛ نيويورك: دي غرويتر موتون. الصفحات 159-161 .  
  8. ↑ غوردون، إي في (1957). مقدمة إلى اللغة النوردية القديمة . أكسفورد: مطبعة كلارندون. ص 292-293 . 
  9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 دي فليجر، مايكل (2010). "نظرة عامة على علم الرموز" (ملف PDF) . نشرة الاثني عشرية . 4X [58] (2).
  10. ↑ باكين، سكوت (2021) [2007]. "قائمة رموز LATEX الشاملة" . شبكة أرشيف TEX الشاملة ( الإصدار 14.0). 
    ري، فوكوي (2004) [2002]. "tipa – الخطوط ووحدات الماكرو لأحرف الصوتيات IPA" . شبكة أرشيف TEX الشاملة (  الإصدار 1.3).
    تم استخدام الرقمين 2 و 3 في حزمة TIPA، وهما مأخوذان من كتاب مبادئ الرابطة الصوتية الدولية ، جامعة لندن، 1949.
  11. 1 2 أندروز، فرانك إيمرسون (1935). الأعداد الجديدة: كيف يُسهّل قبول الأساس الاثني عشري (12) الرياضيات . هاركورت، بريس وشركاه. ص 52. 
  12. ↑ جلاسر، أنطون (1971). تاريخ النظام الثنائي وأنظمة الترقيم غير العشرية الأخرى . أرشيف الإنترنت. أنطون جلاسر. ISBN 978-0-9600324-2-6.
  13. 1 2 لانج، لويز (1936). "حول بصمات الأصابع في الكلمات العددية" . مجلة العلوم والرياضيات المدرسية . 36 (1): 13-19 . doi : 10.1111/j.1949-8594.1936.tb10996.x . ISSN 0036-6803 . 
  14. ↑ "الاجتماع السنوي لعام 1973 واجتماع مجلس الإدارة" (ملف PDF) . نشرة الاثني عشرية . 25 [29] (1). 1974.
  15. ↑ دي فليجر، مايكل (2008). "العودة إلى الكلاسيكية" (ملف PDF) . نشرة الاثني عشرية . 49 [57] (2).
  16. 1 2 "Mo for Megro" (PDF) . نشرة الاثني عشرية . 1 (1). 1945.
  17. 1 2 بيتمان، إسحاق (24 نوفمبر 1857). "إصلاح المحاسبة". صحيفة بيدفوردشير المستقلة .أُعيد طبعه بعنوان "السير إسحاق بيتمان حول نظام الدزينة: إصلاح حسابي" (ملف PDF) . نشرة النظام الاثني عشري . 3 (2): 1-5 . 1947.
  18. ↑ بينتزلين، كارل (30 مارس 2013). "مقترح لترميز أشكال الأرقام الاثني عشرية في نظام الترميز الموحد" (ملف PDF) . ISO/IEC JTC1/SC2/WG2 . تاريخ الاسترجاع: 25 يونيو 2024 .
  19. 1 2 "معيار يونيكود، الإصدار 8.0: أشكال الأرقام" (ملف PDF) . اتحاد يونيكود . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-05-2016 .
  20. ↑ "معيار يونيكود 8.0" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-07-2014 .
  21. ↑ جمعية النظام الاثني عشري الأمريكية (بدون تاريخ). "ماذا ينبغي على جمعية النظام الاثني عشري الأمريكية فعله بشأن الأحرف التي تتجاوز النظام العشري؟" . جمعية النظام الاثني عشري الأمريكية . تم الاطلاع عليه في 1 يناير 2018 .
  22. ↑ جمعية دوزينال الأمريكية (بدون تاريخ). "جمعية دوزينال الأمريكية" . جمعية دوزينال الأمريكية . جمعية دوزينال الأمريكية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 فبراير 2016 .
  23. ↑ أرنولد ويتال ، مقدمة كامبريدج في التسلسلية (نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج، 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8(غلاف ورقي).
  24. 1 2 "الاجتماع السنوي لعام 1973 واجتماع مجلس الإدارة" (ملف PDF) . نشرة الاثني عشر . 25 [29] (1). 1974.
  25. 1 2 دي فليجر، مايكل (2008). "العودة إلى الكلاسيكية" (ملف PDF) . نشرة الاثني عشرية . 49 [57] (2).
  26. ↑ "معيار يونيكود 8.0" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-07-2014 .
  27. 1 2 فولان، جون (يوليو 2015). "مخططات ترميز الأساس" (ملف PDF) . نشرة الاثني عشرية . 62 .
  28. ↑ "تعريف كلمة GROSS" . www.merriam-webster.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 فبراير 2025 .
  29. ↑ "تعريف إجمالي الربح" . www.merriam-webster.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 فبراير 2025 .
  30. ↑ العبقري (سيرة حياة دبليو جيه إس) صفحة [42]
  31. ↑ AC Aitken (25 يناير 1962) "Twelves and Tens" The Listener .
  32. ↑ AC Aitken (1962) The Case Against Decimalisation . Edinburgh / London: Oliver & Boyd.
  33. ↑ "SchoolhouseRock - Little Twelvetoes" . 6 فبراير 2010. مؤرشف من الأصل في 6 فبراير 2010.
  34. ↑ بيلوس، أليكس (4 أبريل 2011). مغامرات أليكس في أرض الأرقام . دار نشر إيه آند سي بلاك. صفحة 50. رقم ISBN  978-1-4088-0959-4.
  35. ↑ بيندلبيري، توم؛ غودمان، دونالد (2012). "TGM: علم قياس متماسك بالوحدات الاثني عشرية" (ملف PDF) . جمعية الوحدات الاثني عشرية في بريطانيا العظمى.
  36. 1 2 غودمان، دونالد (2016). "دليل النظام الاثني عشري" (ملف PDF) . جمعية النظام الاثني عشري الأمريكية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 أبريل 2018 .
  37. ↑ سوغا، تاكاشي (22 مايو 2019). "اقتراح لنظام الوحدات العالمي" (PDF) .
  38. ↑ فولان، جون. "علم القياس الأولي" (ملف PDF) . نشرة الاثني عشري . 63 (1): 38-60 .
  39. 1 2 3 دي فليجر، مايكل توماس (30 نوفمبر 2011). "أسئلة وأجوبة حول نظام دوزينال" (ملف PDF) . موقع twentyal.org . جمعية دوزينال الأمريكية . تاريخ الاسترجاع: 20 نوفمبر 2022 .