منحنى مستوٍ

في الرياضيات ، يُعرف المنحنى المستوي بأنه منحنى يقع في مستوى ما، وقد يكون هذا المستوى إقليديًا أو أفينيًا أو إسقاطيًا . ومن أكثر الحالات دراسةً المنحنيات المستوية الملساء (بما في ذلك المنحنيات المستوية الملساء جزئيًا )، والمنحنيات المستوية الجبرية . كما تشمل المنحنيات المستوية منحنيات جوردان (وهي منحنيات تُحيط بمنطقة من المستوى، ولكنها ليست بالضرورة ملساء) ورسوم الدوال المتصلة .

يمكن تمثيل المنحنى المستوي في كثير من الأحيان في الإحداثيات الديكارتية بمعادلة ضمنية على النحو التالي:${\displaystyle f(x,y)=0}$بالنسبة لدالة معينة f . إذا أمكن حل هذه المعادلة صراحةً لإيجاد قيمة y أو x ، أي إعادة كتابتها على النحو التالي:${\displaystyle y=g(x)}$أو${\displaystyle x=h(y)}$بالنسبة لدالة محددة g أو h ، فإن هذا يوفر شكلاً بديلاً وصريحاً للتمثيل. ويمكن أيضاً تمثيل منحنى مستوٍ في الإحداثيات الديكارتية بمعادلة وسيطية على النحو التالي:${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t))}$لوظائف محددة${\displaystyle x(t)}$و${\displaystyle y(t).}$

يمكن أحيانًا تمثيل المنحنيات المستوية أيضًا في أنظمة إحداثيات بديلة ، مثل الإحداثيات القطبية التي تعبر عن موقع كل نقطة من حيث الزاوية والمسافة من نقطة الأصل.

المنحنى المستوي الأملس هو منحنى في مستوى إقليدي حقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$وهي فضاء مستوٍ أملس أحادي البعد. هذا يعني أن المنحنى المستوي الأملس هو منحنى مستوٍ "يبدو محليًا كخط مستقيم " ، بمعنى أنه بالقرب من كل نقطة، يمكن تحويله إلى خط مستقيم بواسطة دالة ملساء . وبالمثل، يمكن تمثيل المنحنى المستوي الأملس محليًا بمعادلة.${\displaystyle f(x,y)=0,}$أين​${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$هي دالة سلسة ، والمشتقات الجزئية${\displaystyle \partial f/\partial x}$و​​${\displaystyle \partial f/\partial y}$لا تكون كلتاهما صفرًا عند نقطة معينة من المنحنى.

المنحنى الجبري المستوي هو منحنى في مستوى أفيني أو إسقاطي يُعطى بمعادلة متعددة الحدود واحدة${\displaystyle f(x,y)=0}$(أو${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$حيث F عبارة عن متعددة حدود متجانسة ، في الحالة الإسقاطية.

تمت دراسة المنحنيات الجبرية على نطاق واسع منذ القرن الثامن عشر.

لكل منحنى جبري مستوٍ درجة، وهي درجة المعادلة المُعرِّفة، والتي تساوي، في حالة الحقل المغلق جبريًا ، عدد نقاط تقاطع المنحنى مع خط في وضع عام . على سبيل المثال، الدائرة المُعطاة بالمعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$حاصل على الدرجة الثانية.

تُسمى المنحنيات الجبرية المستوية غير المنفردة من الدرجة 2 بالقطوع المخروطية ، وتكون جميع عمليات الإكمال الإسقاطي الخاصة بها متماثلة مع الإكمال الإسقاطي للدائرة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$(أي المنحنى الإسقاطي للمعادلة)${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$تُسمى المنحنيات المستوية من الدرجة الثالثة بالمنحنيات المستوية التكعيبية ، وإذا كانت غير شاذة، تُسمى بالمنحنيات الإهليلجية . أما المنحنيات المستوية من الدرجة الرابعة فتُسمى بالمنحنيات المستوية الرباعية .

تُعرض أمثلة عديدة للمنحنيات المستوية في معرض المنحنيات ، وتُدرج في قائمة المنحنيات . وتُعرض هنا المنحنيات الجبرية من الدرجة الأولى أو الثانية (المنحنى الجبري من الدرجة الأقل من الثالثة يقع دائمًا في مستوى واحد).

اسم	المعادلة الضمنية	معادلة بارامترية	كوظيفة​	الرسم البياني
خط مستقيم	${\displaystyle ax+by=c}$	${\displaystyle (x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)}$	${\displaystyle y=mx+c}$
دائرة	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle (x,y)=(r\cos t,r\sin t)}$
القطع المكافئ	${\displaystyle y-x^{2}=0}$	${\displaystyle (x,y)=(t,t^{2})}$	${\displaystyle y=x^{2}}$
القطع الناقص	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t)}$
القطع الزائد	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)}$

• الهندسة الجبرية
• منحنى محدب
• الهندسة التفاضلية
• منحنى أوسجود
• تركيب المنحنى المستوي
• الأصناف الإسقاطية
• منحنى الانحراف

• كوليدج، جيه إل (28 أبريل 2004)، رسالة في المنحنيات المستوية الجبرية ، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-49576-0.
• ييتس، آر سي (1952)، دليل عن المنحنيات وخصائصها ، جي دبليو إدواردز، ASIN B0007EKXV0 .
• لورانس، ج. دينيس (1972)، فهرس المنحنيات المستوية الخاصة ، دوفر، ISBN 0-486-60288-5.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المنحنى المستوي" . عالم الرياضيات .