قانون بيرس

في علم المنطق ، سُمّي قانون بيرس نسبةً إلى الفيلسوف والمنطقي تشارلز ساندرز بيرس . وقد اعتُبر هذا القانون بديهيةً في أول صياغة بديهية للمنطق الافتراضي . ويمكن اعتباره قانون الوسط المرفوع، مكتوبًا بصيغة لا تتضمن سوى نوع واحد من الروابط، ألا وهو الاستلزام.

في حساب القضايا ، ينص قانون بيرس على أن (( P → Q )→ P )→ P. وبكتابة هذا، يعني أن P يجب أن تكون صحيحة إذا كانت هناك قضية Q بحيث تتبع صحة P من صحة "إذا P فإن Q ".

لا ينطبق قانون بيرس في المنطق الحدسي أو المنطق الوسيط، ولا يمكن استنتاجه من نظرية الاستنتاج وحدها.

بموجب تماثل كاري-هوارد ، فإن قانون بيرس هو نوع عوامل الاستمرار ، على سبيل المثال call/cc في Scheme . ^{[ 1 ]}

إليكم بيان بيرس الخاص بالقانون:

يلزم رمز خامس لمبدأ الوسط المرفوع وغيره من القضايا المرتبطة به. ومن أبسط الصيغ من هذا النوع ما يلي:

هذا ليس بديهيًا. وصحته تتضح كما يلي: لا يمكن أن يكون خاطئًا إلا إذا كانت النتيجة النهائية x خاطئة بينما مقدمتها ( x ⤙ y ) ⤙ x صحيحة. إذا كان هذا صحيحًا، فإما أن تكون النتيجة x صحيحة، في حين أن الصيغة بأكملها ستكون صحيحة، أو أن مقدمتها x ⤙ y خاطئة. ولكن في الحالة الأخيرة، يجب أن تكون مقدمة x ⤙ y ، أي x ، صحيحة. (بيرس، الأوراق المجمعة 3.384).

ويشير بيرس بعد ذلك إلى تطبيق فوري للقانون:

من الصيغة المذكورة للتو، نحصل مباشرة على:

حيث يُستخدم الحرف "أ" بمعنى أن ( س ⤙ ص ) ⤙ أ يعني أن كل قضية تتبع من ( س ⤙ ص ). وبناءً على هذا الفهم، تنص الصيغة على مبدأ الوسط المرفوع، أي أن صحة س تنبع من زيف نفي س . (بيرس، الأوراق المجمعة 3.384).

تحذير : كما هو موضح في النص، فإن " a " هنا لا تشير إلى ذرة افتراضية، بل إلى شيء مثل الصيغة الافتراضية الكمية${\displaystyle \forall p\,p}$. الصيغة (( x → y ) → a ) → x لن تكون تحصيل حاصل إذا تم تفسير a على أنها ذرة.

في المنطق الحدسي، إذا${\displaystyle P}$تم إثباتها أو رفضها، أو إذا${\displaystyle Q}$إذا ثبتت صحة الفرضية، فإن قانون بيرس ينطبق على الفرضيتين. لكن القانون ينطبق في حالة خاصة عندما${\displaystyle Q}$إن رفض قاعدة "النتيجة العجيبة" ( consequencia mirabilis ) يُعادل قاعدة الوسط المرفوع في المنطق الأدنى . وهذا يعني أيضاً أن قانون بيس يستلزم المنطق الكلاسيكي على المنطق الحدسي. ويتضح ذلك أدناه.

أولاً، من${\displaystyle P\to Q}$يتبع التكافؤ${\displaystyle P\leftrightarrow (P\land Q)}$وهكذا${\displaystyle (P\to Q)\to P}$يعادل${\displaystyle (P\to Q)\to (P\land Q)}$وبهذا، يمكن أيضاً إثبات قانون بيرس من خلال تحديد الشكل المكافئ.${\displaystyle ((P\to Q)\to (P\land Q))\to P}$بالنظر إلى الحالة${\displaystyle Q=\bot }$وبالمثل، يوضح أيضًا كيف أن حذف النفي المزدوج${\displaystyle \neg \neg P\to P}$يستلزم ذلك نتائج عجيبة، وهذا الاتجاه لا يستخدم سوى الحد الأدنى من المنطق. أما في المنطق الحدسي، فيمكن استخدام الانفجار لـ${\displaystyle \bot \to (P\land \bot )}$وهكذا فإن النتيجة العجيبة هنا تعني أيضًا حذف النفي المزدوج.

بما أن قاعدة الوسط المرفوع المنفي مرتين صحيحة دائمًا حتى في المنطق الأدنى، فإنها تستلزم أيضًا قاعدة الوسط المرفوع، وذلك في المنطق الحدسي. في المقابل، يمكن إثبات حدسيًا أن قاعدة الوسط المرفوع تستلزم قانون بيرس الكامل مباشرةً. ولتحقيق هذه الغاية، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام مبدأ الانفجار ، يمكن التعبير عن قاعدة الوسط المرفوع على النحو التالي:${\displaystyle P\lor (P\to Q)}$ويمكن التعبير عن ذلك لفظياً على النحو التالي: "كل قضية${\displaystyle P}$إما أن يحمل أو يستلزم أي قضية أخرى." والآن لإثبات القانون، لاحظ أن${\displaystyle (P\lor R)\to ((R\to P)\to P)}$يمكن استنتاج ذلك من خلال الاستلزام الضمني من جهة، ومن خلال قاعدة الاستدلال من جهة أخرى. وأخيرًا، بدلًا من${\displaystyle R}$يعتبر${\displaystyle P\to Q}$.

ثمة برهان آخر على القانون في المنطق الكلاسيكي يتمثل في المرور عبر القياس المنطقي العكسي الانفصالي الصحيح كلاسيكيًا مرتين: لاحظ أولًا أن${\displaystyle \neg \neg P}$يُستدل على ذلك من خلال${\displaystyle (\neg \neg P\land \neg Q)\lor P}$، وهو ما يعادل حدسياً${\displaystyle \neg (\neg P\lor Q)\lor P}$والآن، يستلزم الانفجار ذلك${\displaystyle \neg A\lor B}$يشير إلى${\displaystyle A\to B}$واستخدام طريقة الوسط المستبعد لـ${\displaystyle A}$وهذا يستلزم أن هذين الأمرين متكافئان في الواقع. وبناءً على ذلك، فهذا يعني أنه في المنطق الكلاسيكي${\displaystyle P}$يعادل${\displaystyle (P\to Q)\to P}$.

من الناحية الحدسية، حتى القيد ليس${\displaystyle \neg Q\to P}$يستلزم ذلك دائمًا قانون بيرس لقضيتين. ويؤدي افتراض صحة القضية الأخيرة في شكلها الافتراضي إلى منطق سميتانيتش الوسيط .

يُتيح قانون بيرس تحسين أسلوب استخدام نظرية الاستنتاج لإثبات النظريات. لنفترض أن لدينا مجموعة من المقدمات Γ ونريد استنتاج قضية Z منها. باستخدام قانون بيرس، يُمكننا إضافة مقدمات إضافية من الشكل Z → P إلى Γ (بدون تكلفة إضافية) . على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا P → Z و ( P → Q ) → Z ونريد استنتاج Z بحيث يُمكننا استخدام نظرية الاستنتاج لنستنتج أن ( P → Z ) → ((( P → Q ) → Z ) → Z ) هي نظرية. عندئذٍ يُمكننا إضافة مقدمة أخرى Z → Q. من هذه المقدمة و P → Z ، نحصل على P → Q. ثم نُطبق قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) مع ( P → Q ) → Z كمقدمة رئيسية لنحصل على Z. بتطبيق نظرية الاستنتاج، نجد أن ( Z → Q ) → Z تتبع من المقدمات الأصلية. ثم نستخدم قانون بيرس بصيغة (( Z → Q )→ Z )→ Z وقاعدة القياس المنطقي (modus ponens) لاستنتاج Z من المقدمات الأصلية. بعد ذلك، يمكننا إكمال إثبات النظرية كما كنا نعتزم في الأصل.

من أسباب أهمية قانون بيرس أنه يُمكن أن يحل محل قانون الوسط المرفوع في المنطق الذي يعتمد فقط على الاستلزام. الجمل التي يُمكن استنتاجها من مخططات البديهيات هي:

• P →( Q → P )
• ( P → ( Q → R )) → (( P → Q ) → (( P → R ))
• (( P → Q )→ P )→ P
• من P و P → Q استنتج Q

(حيث تحتوي P و Q و R فقط على "→" كرابط) هي جميع التكرارات التي تستخدم فقط "→" كرابط.

بما أن قانون بيرس يستلزم قانون الوسط المرفوع، فإنه لا بد أن يفشل في المنطق الحدسي غير الكلاسيكي. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك منطق غودل متعدد القيم ، وهو منطق ضبابي تكون فيه قيم الصواب أعدادًا حقيقية بين 0 و1، مع تعريف الاستلزام المادي كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

ويمكن تبسيط قانون بيرس كصيغة إلى:

${\displaystyle {\begin{aligned}((u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\u,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

حيث أن كونها صحيحة دائمًا يُعادل القول بأن u > v يستلزم u = 1، وهو صحيح فقط إذا كانت القيمتان 0 و1 هما القيمتان المسموح بهما فقط. في الوقت نفسه، لا يمكن أن تكون هذه العبارة مساوية أبدًا لقيمة الصواب الدنيا للمنطق، ونفيها المزدوج صحيح دائمًا.

• ببليوغرافيا تشارلز ساندر بيرس

• بيرس، سي إس، "في جبر المنطق: مساهمة في فلسفة الترميز"، المجلة الأمريكية للرياضيات 7، 180-202 (1885). أعيد طبعه في: الأوراق المجمعة لتشارلز ساندرز بيرس 3، 359-403، وكتابات تشارلز إس. بيرس: طبعة زمنية 5، 162-190.
• Peirce, CS, Collected Papers of Charles Sanders Peirce , Vols. 1–6, Charles Hartshorne and Paul Weiss (eds.), Vols 7–8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931–1935, 1958.