منطق

المنطق هو دراسة التفكير الصحيح . وهو يشمل المنطق الرسمي وغير الرسمي . المنطق الرسمي هو دراسة الاستدلالات الصحيحة استنباطيًا أو الحقائق المنطقية . وهو يدرس كيف تتبع الاستنتاجات من المقدمات بناءً على بنية الحجج وحدها، بغض النظر عن موضوعها ومحتواها. يرتبط المنطق غير الرسمي بالمغالطات غير الرسمية والتفكير النقدي ونظرية الحجج . يدرس المنطق غير الرسمي الحجج المعبر عنها باللغة الطبيعية بينما يستخدم المنطق الرسمي لغة رسمية . عند استخدامه كاسم معدود ، يشير مصطلح "المنطق" إلى نظام شكلي منطقي محدد يعبر عن نظام إثبات . يلعب المنطق دورًا مركزيًا في العديد من المجالات، مثل الفلسفة والرياضيات وعلوم الكمبيوتر واللغويات .

تدرس المنطق الحجج التي تتكون من مجموعة من المقدمات التي تؤدي إلى نتيجة. ومن الأمثلة على ذلك الحجة من المقدمات "إنه يوم الأحد" و"إذا كان يوم الأحد فلا داعي للعمل" المؤدية إلى النتيجة "لا داعي للعمل". ^[1] تعبر المقدمات والاستنتاجات عن مقترحات أو ادعاءات يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة. ومن السمات المهمة للمقترحات بنيتها الداخلية. على سبيل المثال، تتكون المقترحات المعقدة من مقترحات أبسط مرتبطة بمفردات منطقية مثل ( و ) أو ( إذا...فإن ). تحتوي المقترحات البسيطة أيضًا على أجزاء، مثل "الأحد" أو "العمل" في المثال. تعتمد حقيقة المقترح عادةً على معاني جميع أجزائه. ومع ذلك، لا ينطبق هذا على المقترحات الصحيحة منطقيًا. فهي صحيحة فقط بسبب بنيتها المنطقية المستقلة عن المعاني المحددة للأجزاء الفردية. ${\displaystyle \land }$${\displaystyle \to }$

يمكن أن تكون الحجج صحيحة أو غير صحيحة. تكون الحجة صحيحة إذا كانت مقدماتها تدعم استنتاجها. تتمتع الحجج الاستنتاجية بأقوى شكل من أشكال الدعم: إذا كانت مقدماتها صحيحة، فيجب أن تكون استنتاجاتها صحيحة أيضًا. هذا ليس هو الحال بالنسبة للحجج التوسعية ، والتي تصل إلى معلومات جديدة حقًا غير موجودة في المقدمات. العديد من الحجج في الخطاب اليومي والعلوم هي حجج توسعية. وهي مقسمة إلى حجج استقرائية واستنباطية . الحجج الاستقرائية هي تعميمات إحصائية، مثل استنتاج أن جميع الغربان سوداء بناءً على العديد من الملاحظات الفردية للغربان السوداء. ^[2] الحجج الاستنباطية هي استنتاجات لأفضل تفسير، على سبيل المثال، عندما يستنتج الطبيب أن المريض يعاني من مرض معين يفسر الأعراض التي يعاني منها. ^[3] غالبًا ما تجسد الحجج التي لا تفي بمعايير التفكير الصحيح مغالطات . أنظمة المنطق هي أطر نظرية لتقييم صحة الحجج.

تمت دراسة المنطق منذ العصور القديمة . تشمل المناهج المبكرة المنطق الأرسطي والمنطق الرواقي والنيايا والموهسية . يركز المنطق الأرسطي على التفكير في شكل القياسات المنطقية . كان يُعتبر النظام الرئيسي للمنطق في العالم الغربي حتى تم استبداله بالمنطق الشكلي الحديث، والذي له جذوره في عمل علماء الرياضيات في أواخر القرن التاسع عشر مثل جوتلوب فريجه . اليوم، النظام الأكثر استخدامًا هو المنطق الكلاسيكي . يتكون من المنطق القياسي والمنطق من الدرجة الأولى . لا يأخذ المنطق القياسي في الاعتبار سوى العلاقات المنطقية بين القضايا الكاملة. يأخذ المنطق من الدرجة الأولى أيضًا الأجزاء الداخلية من القضايا في الاعتبار، مثل المسندات والكميات . تقبل المنطق الموسع الحدس الأساسي وراء المنطق الكلاسيكي وتطبقه على مجالات أخرى، مثل الميتافيزيقيا والأخلاق ونظرية المعرفة . ومن ناحية أخرى، ترفض المنطق المنحرف بعض الحدس الكلاسيكي وتقدم تفسيرات بديلة للقوانين الأساسية للمنطق.

نشأت كلمة "منطق" من الكلمة اليونانية "لوجوس"، والتي لها مجموعة متنوعة من الترجمات، مثل العقل أو الخطاب أو اللغة . ^[4] يُعرَّف المنطق تقليديًا بأنه دراسة قوانين الفكر أو الاستدلال الصحيح ، ^[5] وعادةً ما يُفهم من حيث الاستدلالات أو الحجج . الاستدلال هو نشاط استخلاص الاستنتاجات. الحجج هي التعبير الخارجي عن الاستدلالات. ^[6] الحجة هي مجموعة من المقدمات مع النتيجة. يهتم المنطق بما إذا كانت الحجج صحيحة، أي ما إذا كانت مقدماتها تدعم النتيجة. ^[7] تنطبق هذه الخصائص العامة على المنطق بالمعنى الأوسع، أي على كل من المنطق الرسمي وغير الرسمي حيث أن كلاهما معني بتقييم صحة الحجج. ^[8] المنطق الرسمي هو المجال المهيمن تقليديًا، ويقصر بعض المنطقيين المنطق على المنطق الرسمي. ^[9]

يُعرف المنطق الرسمي أيضًا بالمنطق الرمزي ويُستخدم على نطاق واسع في المنطق الرياضي . ويستخدم نهجًا رسميًا لدراسة الاستدلال: فهو يستبدل التعبيرات الملموسة برموز مجردة لفحص الشكل المنطقي للحجج بشكل مستقل عن محتواها الملموس. وبهذا المعنى، فهو محايد موضوعيًا لأنه يهتم فقط بالبنية المجردة للحجج وليس بمحتواها الملموس. ^[10]

يهتم المنطق الصوري بالحجج الصحيحة استنتاجيًا ، والتي تضمن حقيقة مقدماتها حقيقة استنتاجاتها. وهذا يعني أنه من المستحيل أن تكون المقدمات صحيحة والاستنتاج خاطئًا. ^[11] بالنسبة للحجج الصحيحة، يتبع الهيكل المنطقي للمقدمات والاستنتاج نمطًا يسمى قاعدة الاستدلال . ^[12] على سبيل المثال، modus ponens هي قاعدة استدلال وفقًا لها تكون جميع الحجج من النموذج "(1) ص ، (2) إذا ص إذن س ، (3) إذن س " صحيحة، بغض النظر عما تمثله المصطلحات ص وس . ^[13] وبهذا المعنى، يمكن تعريف المنطق الصوري بأنه علم الاستدلالات الصحيحة. يرى تعريف بديل المنطق على أنه دراسة الحقائق المنطقية . ^{[14] تكون القضية صحيحة} منطقيًا إذا كانت صدقها يعتمد فقط على المفردات المنطقية المستخدمة فيها. وهذا يعني أن هذا صحيح في جميع العوالم الممكنة وتحت جميع التفسيرات لمصطلحاته غير المنطقية، مثل الادعاء "إما أن تمطر أو لا تمطر". ^[15] هذان التعريفان للمنطق الصوري ليسا متطابقين، لكنهما وثيقا الصلة. على سبيل المثال، إذا كان الاستدلال من p إلى q صحيحًا استنتاجيًا، فإن الادعاء "إذا كان p ثم q " هو حقيقة منطقية. ^[16]

يستخدم المنطق الرسمي لغات رسمية للتعبير عن الحجج وتحليلها. ^[17] وعادة ما يكون لديهم مفردات محدودة للغاية وقواعد نحوية دقيقة . تحدد هذه القواعد كيفية دمج رموزها لبناء الجمل، ما يسمى بالصيغ جيدة التكوين . ^[18] تجعل بساطة ودقة المنطق الرسمي قادرًا على صياغة قواعد دقيقة للاستدلال. تحدد ما إذا كانت حجة معينة صالحة أم لا. ^[19] بسبب الاعتماد على اللغة الرسمية، لا يمكن دراسة حجج اللغة الطبيعية بشكل مباشر. بدلاً من ذلك، يجب ترجمتها إلى لغة رسمية قبل تقييم صحتها. ^[20]

يمكن أيضًا استخدام مصطلح "المنطق" بمعنى مختلف قليلاً كاسم معدود. وبهذا المعنى، فإن المنطق هو نظام شكلي منطقي. تختلف المنطقات المتميزة عن بعضها البعض فيما يتعلق بقواعد الاستدلال التي تقبلها على أنها صالحة واللغات الشكلية المستخدمة للتعبير عنها. ^[21] بدءًا من أواخر القرن التاسع عشر، تم اقتراح العديد من الأنظمة الشكلية الجديدة. هناك خلافات حول ما يجعل النظام الشكلي منطقًا. ^[22] على سبيل المثال، تم اقتراح أن الأنظمة الكاملة منطقيًا فقط، مثل المنطق من الدرجة الأولى ، هي المؤهلة كمنطق. ولهذه الأسباب، ينكر بعض المنظرين أن المنطق من الدرجة الأعلى هو منطق بالمعنى الدقيق للكلمة. ^[23]

عندما يُفهم المنطق بالمعنى الواسع، فإنه يشمل المنطق الرسمي وغير الرسمي. ^[24] يستخدم المنطق غير الرسمي معايير ومقاييس غير رسمية لتحليل وتقييم صحة الحجج. ويركز بشكل أساسي على الخطاب اليومي. ^[25] وقد حفز تطويره الصعوبات في تطبيق رؤى المنطق الرسمي على حجج اللغة الطبيعية. ^[26] وفي هذا الصدد، فإنه ينظر في المشكلات التي لا يستطيع المنطق الرسمي بمفرده معالجتها. ^[27] يوفر كلاهما معايير لتقييم صحة الحجج وتمييزها عن المغالطات. ^[28]

لقد تم اقتراح العديد من توصيفات المنطق غير الرسمي ولكن لا يوجد اتفاق عام على تعريفه الدقيق. ^[29] يرى النهج الأكثر حرفية أن المصطلحين "رسمي" و "غير رسمي" ينطبقان على اللغة المستخدمة للتعبير عن الحجج. وفقًا لهذا الرأي، يدرس المنطق غير الرسمي الحجج الموجودة في لغة غير رسمية أو طبيعية. ^[30] لا يمكن للمنطق الرسمي فحصها بشكل غير مباشر إلا من خلال ترجمتها أولاً إلى لغة رسمية بينما يبحثها المنطق غير الرسمي في شكلها الأصلي. ^[31] وفقًا لهذا الرأي، تنتمي الحجة "الطيور تطير. تويتي طائر. لذلك، تويتي يطير." إلى اللغة الطبيعية ويتم فحصها من خلال المنطق غير الرسمي. لكن الترجمة الرسمية "(1) ؛ (2) ؛ (3) " تدرس من خلال المنطق الرسمي. ^[32] تأتي دراسة حجج اللغة الطبيعية بصعوبات مختلفة. على سبيل المثال، غالبًا ما تكون تعبيرات اللغة الطبيعية غامضة وغامضة وتعتمد على السياق. ^[33] هناك نهج آخر يعرّف المنطق غير الرسمي بالمعنى الواسع باعتباره الدراسة المعيارية للمعايير والمقاييس والإجراءات المتبعة في الحجج. وبهذا المعنى، فإنه يشمل أسئلة حول دور العقلانية والتفكير النقدي وعلم نفس الحجج. ^[34]${\displaystyle \forall x(طائر(x)\to يطير(x))}$${\displaystyle الطائر(تويتي)}$${\displaystyle الذباب(تويتي)}$

هناك توصيف آخر يحدد المنطق غير الرسمي بدراسة الحجج غير الاستنتاجية. وبهذه الطريقة، يتناقض مع الاستدلال الاستنتاجي الذي يتم فحصه بواسطة المنطق الرسمي. ^[35] تجعل الحجج غير الاستنتاجية استنتاجها محتملًا ولكنها لا تضمن صحته. ومن الأمثلة على ذلك الحجة الاستقرائية من الملاحظة التجريبية التي تقول "كل الغربان التي رأيتها حتى الآن سوداء" إلى الاستنتاج "كل الغربان سوداء". ^[36]

هناك نهج آخر يتمثل في تعريف المنطق غير الرسمي باعتباره دراسة المغالطات غير الرسمية . ^[37] المغالطات غير الرسمية هي حجج غير صحيحة توجد فيها أخطاء في محتوى وسياق الحجة . ^[38] على سبيل المثال، تتضمن المعضلة الزائفة خطأ في المحتوى من خلال استبعاد الخيارات القابلة للتطبيق. هذه هي الحال في المغالطة "إما أن تكون معنا أو ضدنا؛ أنت لست معنا؛ لذلك، أنت ضدنا". ^[39] يذكر بعض المنظرين أن المنطق الرسمي يدرس الشكل العام للحجج بينما يدرس المنطق غير الرسمي حالات معينة من الحجج. هناك نهج آخر يتمثل في الاعتقاد بأن المنطق الرسمي لا يأخذ في الاعتبار إلا دور الثوابت المنطقية لاستنتاجات صحيحة بينما يأخذ المنطق غير الرسمي أيضًا معنى المفاهيم الموضوعية في الاعتبار. تركز المناهج الأخرى على مناقشة الموضوعات المنطقية مع أو بدون أدوات رسمية وعلى دور نظرية المعرفة لتقييم الحجج. ^[40]

المقدمات والاستنتاجات هي الأجزاء الأساسية للاستدلالات أو الحجج وبالتالي تلعب دورًا مركزيًا في المنطق. في حالة الاستدلال الصحيح أو الحجة الصحيحة، فإن الاستنتاج يتبع المقدمات، أو بعبارة أخرى، المقدمات تدعم الاستنتاج. [ ^41] على سبيل المثال، المقدمات "المريخ أحمر" و"المريخ كوكب" تدعم الاستنتاج "المريخ كوكب أحمر". بالنسبة لمعظم أنواع المنطق، من المقبول أن المقدمات والاستنتاجات يجب أن تكون حاملة للحقيقة . ^{[41] [أ]} هذا يعني أنها تحمل قيمة حقيقة : فهي إما صحيحة أو خاطئة. تنظر الفلسفة المعاصرة إليها عمومًا إما كمقترحات أو كجمل . ^[43] المقترحات هي دلالات الجمل وعادة ما تُرى كأشياء مجردة . ^[44] على سبيل المثال، الجملة الإنجليزية "الشجرة خضراء" تختلف عن الجملة الألمانية "der Baum ist grün" لكن كلاهما يعبران عن نفس الاقتراح. ^[45]

غالبًا ما يتم انتقاد النظريات القائمة على افتراضات للمقدمات والاستنتاجات لأنها تعتمد على أشياء مجردة. على سبيل المثال، يرفض علماء الطبيعة الفلسفيون عادةً وجود أشياء مجردة. تتعلق الحجج الأخرى بالتحديات التي تنطوي عليها تحديد معايير هوية المقترحات. ^[43] يتم تجنب هذه الاعتراضات من خلال النظر إلى المقدمات والاستنتاجات ليس كمقترحات ولكن كجمل، أي كأشياء لغوية ملموسة مثل الرموز المعروضة على صفحة كتاب. لكن هذا النهج يأتي بمشاكل جديدة خاصة به: غالبًا ما تكون الجمل تعتمد على السياق وغامضة، مما يعني أن صحة الحجة لن تعتمد فقط على أجزائها ولكن أيضًا على سياقها وعلى كيفية تفسيرها. ^[46] نهج آخر هو فهم المقدمات والاستنتاجات من الناحية النفسية كأفكار أو أحكام. يُعرف هذا الموقف باسم علم النفس . تمت مناقشته بالتفصيل في مطلع القرن العشرين ولكنه غير مقبول على نطاق واسع اليوم. ^[47]

المقدمات والاستنتاجات لها بنية داخلية. وكجمل أو مقترحات، يمكن أن تكون بسيطة أو معقدة. ^[48] والمقترح المعقد له مقترحات أخرى كمكونات له، والتي ترتبط ببعضها البعض من خلال روابط مقترحة مثل "و" أو " إذا ... إذن". من ناحية أخرى، لا تحتوي المقترحات البسيطة على أجزاء مقترحة. ولكن يمكن تصورها أيضًا على أنها ذات بنية داخلية: فهي تتكون من أجزاء فرعية من المقترحات، مثل المصطلحات المفردة والمسندات . ^{[49] [48]} على سبيل المثال، يمكن تشكيل المقترح البسيط "المريخ أحمر" من خلال تطبيق المسند "أحمر" على المصطلح المفرد "المريخ". على النقيض من ذلك، فإن المقترح المعقد "المريخ أحمر والزهرة بيضاء" يتكون من مقترحين بسيطين مرتبطين بواسطة الرابط المقترح "و". ^[49]

تعتمد صحة القضية، جزئيًا على الأقل، على مكوناتها. بالنسبة للقضايا المعقدة التي تم تشكيلها باستخدام روابط القضايا الوظيفية الحقيقية ، فإن صدقها يعتمد فقط على قيم صدق أجزائها. ^{[49] [50]} لكن هذه العلاقة أكثر تعقيدًا في حالة القضايا البسيطة وأجزائها الفرعية. هذه الأجزاء الفرعية لها معاني خاصة بها، مثل الإشارة إلى الأشياء أو فئات الأشياء. ^[51] يعتمد ما إذا كانت القضية البسيطة التي تشكلها صحيحة على علاقتها بالواقع، أي ما هي الأشياء التي تشير إليها. تتم دراسة هذا الموضوع من خلال نظريات المرجعية . ^[52]

بعض القضايا المعقدة صحيحة بشكل مستقل عن المعاني الجوهرية لأجزائها. ^[53] في المنطق الكلاسيكي، على سبيل المثال، تكون القضية المعقدة "إما أن المريخ أحمر أو المريخ ليس أحمر" صحيحة بشكل مستقل عما إذا كانت أجزائها، مثل القضية البسيطة "المريخ أحمر"، صحيحة أو خاطئة. في مثل هذه الحالات، تسمى الحقيقة حقيقة منطقية: تكون القضية صحيحة منطقيًا إذا كانت حقيقتها تعتمد فقط على المفردات المنطقية المستخدمة فيها. ^[54] وهذا يعني أنها صحيحة بموجب جميع تفسيرات مصطلحاتها غير المنطقية. في بعض المنطق النمطي ، يعني هذا أن القضية صحيحة في جميع العوالم الممكنة. ^[55] يعرّف بعض المنظرين المنطق بأنه دراسة الحقائق المنطقية. ^[16]

يمكن استخدام جداول الحقيقة لإظهار كيفية عمل الروابط المنطقية أو كيفية اعتماد قيم الحقيقة للاقتراحات المعقدة على أجزائها. تحتوي على عمود لكل متغير إدخال. يتوافق كل صف مع مجموعة محتملة واحدة من قيم الحقيقة التي يمكن أن تأخذها هذه المتغيرات؛ بالنسبة لجداول الحقيقة المقدمة في الأدب الإنجليزي، تُستخدم الرموز "T" و"F" أو "1" و"0" بشكل شائع كاختصارات لقيم الحقيقة "true" و"false". ^[56] تعرض الأعمدة الأولى جميع مجموعات قيم الحقيقة المحتملة لمتغيرات الإدخال. تعرض الإدخالات في الأعمدة الأخرى قيم الحقيقة للتعبيرات المقابلة كما تحددها قيم الإدخال. على سبيل المثال، يستخدم التعبير " "${\displaystyle p\land q}$ الرابط المنطقي ( و ). يمكن استخدامه للتعبير عن جملة مثل "أمس كان يوم الأحد وكان الطقس جيدًا". لا يكون صحيحًا إلا إذا كان كل من متغيري الإدخال ("أمس كان يوم الأحد") و ("كان الطقس جيدًا") صحيحين. في جميع الحالات الأخرى، يكون التعبير ككل خاطئًا. من بين الروابط المنطقية المهمة الأخرى ( ليس )، ( أو )، ( إذا...فإن )، و ( ضربة شيفر ). ^[57] وبالنظر إلى الاقتراح الشرطي ، يمكننا تكوين جداول الحقيقة لعكسه ، ومعكوسه ( ) ، ونقيضه ( ) . ويمكن أيضًا تعريف جداول الحقيقة للتعبيرات الأكثر تعقيدًا التي تستخدم العديد من الروابط القضائية. ^[58 ]${\displaystyle \land }$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \uparrow }$${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle q\to p}$ ${\displaystyle \lnot p\to \lnot q}$ ${\displaystyle \lnot q\to \lnot p}$

جدول الحقيقة للتعبيرات المختلفة

ص	س	ص ∧ س	ص ∨ س	ص → س	¬p → ¬q	ص س${\displaystyle \uparrow }$
ت	ت	ت	ت	ت	ت	ف
ت	ف	ف	ت	ف	ت	ت
ف	ت	ف	ت	ت	ف	ت
ف	ف	ف	ف	ت	ت	ت

يُعرَّف المنطق عادةً من حيث الحجج أو الاستدلالات على أنه دراسة صحتها. ^[59] الحجة هي مجموعة من المقدمات مع نتيجة. ^[60] الاستدلال هو عملية الاستدلال من هذه المقدمات إلى النتيجة. [ ^{43] ولكن غالبًا ما تُستخدم هذه المصطلحات بالتبادل في المنطق. تكون الحجج صحيحة أو غير صحيحة اعتمادًا على ما إذا كانت} مقدماتها تدعم استنتاجها. من ناحية أخرى، تكون المقدمات والاستنتاجات صحيحة أو خاطئة اعتمادًا على ما إذا كانت تتفق مع الواقع. في المنطق الرسمي، الحجة السليمة هي حجة صحيحة ولديها مقدمات صحيحة فقط. ^[61] في بعض الأحيان يتم التمييز بين الحجج البسيطة والمعقدة. تتكون الحجة المعقدة من سلسلة من الحجج البسيطة. وهذا يعني أن استنتاج إحدى الحجج يعمل كمقدمة للحجج اللاحقة. لكي تكون الحجة المعقدة ناجحة، يجب أن تكون كل حلقة من السلسلة ناجحة. ^[43]

الحجج والاستنتاجات إما صحيحة أو غير صحيحة. إذا كانت صحيحة فإن مقدماتها تدعم استنتاجاتها. في حالة عدم صحة هذا الدعم، يكون هذا الدعم مفقودًا. يمكن أن يأخذ أشكالًا مختلفة تتوافق مع أنواع الاستدلال المختلفة . ^[62] أقوى أشكال الدعم يتوافق مع الاستدلال الاستنتاجي . ولكن حتى الحجج التي لا تكون صالحة استنتاجيًا قد تظل حججًا جيدة لأن مقدماتها تقدم دعمًا غير استنتاجي لاستنتاجاتها. في مثل هذه الحالات، يتم استخدام مصطلح الاستدلال التوسيعي أو الاستقرائي . ^[63] ترتبط الحجج الاستنتاجية بالمنطق الرسمي على النقيض من العلاقة بين الحجج التوسيعية والمنطق غير الرسمي. ^[64]

الحجة الصالحة استنباطيًا هي الحجة التي تضمن مقدماتها صحة استنتاجها. ^[11] على سبيل المثال، الحجة "(1) كل الضفادع برمائيات؛ (2) لا توجد قطط برمائيات؛ (3) وبالتالي لا توجد قطط ضفادع" صالحة استنباطيًا. بالنسبة للصحة الاستنباطية، لا يهم ما إذا كانت المقدمات أو الاستنتاجات صحيحة بالفعل. لذا فإن الحجة "(1) كل الضفادع ثدييات؛ (2) لا توجد قطط ثدييات؛ (3) وبالتالي لا توجد قطط ضفادع" صالحة أيضًا لأن الاستنتاج يتبع بالضرورة المقدمات. ^[65]

وفقًا لوجهة نظر مؤثرة لألفريد تارسكي ، فإن الحجج الاستنتاجية لها ثلاث سمات أساسية: (1) أنها شكلية، أي أنها تعتمد فقط على شكل المقدمات والاستنتاج؛ (2) أنها قبلية، أي لا حاجة إلى أي خبرة حسية لتحديد ما إذا كانت صحيحة أم لا؛ (3) أنها نمطية، أي أنها صحيحة بالضرورة المنطقية للمقترحات المعطاة، بغض النظر عن أي ظروف أخرى. ^[66]

بسبب السمة الأولى، التركيز على الشكلية، عادة ما يتم التعرف على الاستدلال الاستنتاجي بقواعد الاستدلال. ^[67] تحدد قواعد الاستدلال شكل المقدمات والاستنتاج: كيف يجب هيكلتها حتى يكون الاستدلال صحيحًا. الحجج التي لا تتبع أي قاعدة من قواعد الاستدلال غير صالحة استنتاجيًا. ^[68] يعد modus ponens قاعدة بارزة في الاستدلال. لها الشكل " p ؛ إذا كان p ، فإن q ؛ وبالتالي q ". ^[69] مع العلم أنه قد هطل المطر للتو ( ) وأن الشوارع مبللة بعد المطر ( )، يمكن للمرء استخدام modus ponens لاستنتاج أن الشوارع مبللة ( ). ^[70]${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle q}$

يمكن التعبير عن السمة الثالثة بالقول بأن الاستدلالات الصحيحة استنتاجيًا تحافظ على الحقيقة: فمن المستحيل أن تكون المقدمات صحيحة والاستنتاج خاطئ. ^[71] وبسبب هذه السمة، غالبًا ما يُزعم أن الاستدلالات الاستنتاجية غير إعلامية لأن الاستنتاج لا يمكنه الوصول إلى معلومات جديدة غير موجودة بالفعل في المقدمات. ^[72] ولكن هذه النقطة لا يتم قبولها دائمًا لأنها تعني، على سبيل المثال، أن معظم الرياضيات غير إعلامية. يميز توصيف مختلف بين المعلومات السطحية والعميقة. المعلومات السطحية للجملة هي المعلومات التي تقدمها صراحةً. المعلومات العميقة هي مجموع المعلومات الواردة في الجملة، سواء صراحةً أو ضمناً. وفقًا لهذا الرأي، فإن الاستدلالات الاستنتاجية غير إعلامية على مستوى العمق. لكنها يمكن أن تكون إعلامية للغاية على مستوى السطح من خلال جعل المعلومات الضمنية صريحة. يحدث هذا، على سبيل المثال، في البراهين الرياضية. ^[73]

الحجج التوسعية هي الحجج التي تحتوي استنتاجاتها على معلومات إضافية غير موجودة في مقدماتها. وفي هذا الصدد، فهي أكثر إثارة للاهتمام لأنها تحتوي على معلومات على مستوى العمق وقد يتعلم المفكر شيئًا جديدًا حقًا. لكن هذه الميزة تأتي بتكلفة معينة: تدعم المقدمات الاستنتاج بمعنى أنها تجعل صدقه أكثر احتمالية ولكنها لا تضمن صدقه. ^[74] وهذا يعني أن استنتاج الحجة التوسعية قد يكون خاطئًا حتى لو كانت جميع مقدماتها صحيحة. ترتبط هذه الخاصية ارتباطًا وثيقًا بعدم الرتابة وقابلية الإبطال : قد يكون من الضروري سحب استنتاج سابق عند تلقي معلومات جديدة أو في ضوء استنتاجات جديدة مستخلصة. ^[75] يلعب الاستدلال التوسعي دورًا مركزيًا في العديد من الحجج الموجودة في الخطاب اليومي والعلوم. الحجج التوسعية ليست غير صحيحة تلقائيًا. بدلاً من ذلك، تتبع معايير مختلفة للصحة. يأتي الدعم الذي توفره لاستنتاجها عادةً بدرجات. وهذا يعني أن الحجج التوسعية القوية تجعل استنتاجها محتملًا جدًا بينما تكون الحجج الضعيفة أقل يقينًا. ونتيجة لهذا، فإن الخط الفاصل بين الحجج الصحيحة والخاطئة غير واضح في بعض الحالات، كما هو الحال عندما تقدم المقدمات دعمًا ضعيفًا ولكن لا يمكن إهماله. وهذا يتناقض مع الحجج الاستنتاجية، والتي تكون إما صحيحة أو غير صحيحة ولا يوجد شيء بينهما. ^[76]

المصطلحات المستخدمة لتصنيف الحجج التوسيعية غير متسقة. يستخدم بعض المؤلفين، مثل جيمس هوثورن، مصطلح " الاستقراء " لتغطية جميع أشكال الحجج غير الاستنتاجية. ^[77] ولكن بمعنى أضيق، فإن الاستقراء هو نوع واحد فقط من الحجج التوسيعية إلى جانب الحجج الاستنتاجية . ^[78] يسمح بعض الفلاسفة، مثل ليو جروارك، أيضًا بالحجج الموصلة ^[ب] كنوع آخر. ^[79] بهذا المعنى الضيق، غالبًا ما يتم تعريف الاستقراء على أنه شكل من أشكال التعميم الإحصائي. ^[80] في هذه الحالة، تكون مقدمات الحجة الاستقرائية عبارة عن العديد من الملاحظات الفردية التي تظهر جميعها نمطًا معينًا. الاستنتاج إذن هو قانون عام يحصل عليه هذا النمط دائمًا. ^[81] بهذا المعنى، قد يستنتج المرء أن "كل الأفيال رمادية" بناءً على ملاحظاته السابقة عن لون الأفيال. ^[78] هناك شكل وثيق الصلة من الاستدلال الاستقرائي لا يستنتج قانونًا عامًا بل حالة أكثر تحديدًا، كما هو الحال عندما نستنتج أن الفيل الذي لم نره بعد هو أيضًا رمادي اللون. ^[81] ينص بعض المنظرين، مثل إيغور دوفن، على أن الاستدلالات الاستقرائية تعتمد فقط على الاعتبارات الإحصائية. بهذه الطريقة، يمكن تمييزها عن الاستدلال الاستقرائي. ^[78]

قد يأخذ الاستدلال الاستقرائي الملاحظات الإحصائية بعين الاعتبار أو لا يأخذها. وفي كلتا الحالتين، تقدم المقدمات الدعم للاستنتاج لأن الاستنتاج هو أفضل تفسير لسبب صحة المقدمات. ^[82] وبهذا المعنى، يُطلق على الاختطاف أيضًا الاستدلال على أفضل تفسير . ^[83] على سبيل المثال، نظرًا للفرضية القائلة بوجود طبق به فتات الخبز في المطبخ في الصباح الباكر، فقد يستنتج المرء الاستنتاج بأن زميله في المنزل تناول وجبة خفيفة في منتصف الليل وكان متعبًا للغاية بحيث لم يتمكن من تنظيف الطاولة. هذا الاستنتاج مبرر لأنه أفضل تفسير للحالة الحالية للمطبخ. ^[78] بالنسبة للاختطاف، لا يكفي أن يفسر الاستنتاج المقدمات. على سبيل المثال، الاستنتاج القائل بأن لصًا اقتحم المنزل الليلة الماضية، وجاع في العمل، وتناول وجبة خفيفة في منتصف الليل، من شأنه أيضًا أن يفسر حالة المطبخ. لكن هذا الاستنتاج غير مبرر لأنه ليس التفسير الأفضل أو الأكثر ترجيحًا. ^{[82] [83]}

لا ترقى جميع الحجج إلى معايير التفكير الصحيح. وعندما لا ترقى إلى هذا المستوى، يشار إليها عادةً باسم المغالطات . ولا يتلخص جانبها الأساسي في أن استنتاجها خاطئ، بل في وجود بعض العيوب في المنطق الذي أدى إلى هذا الاستنتاج. ^[84] لذا فإن الحجة القائلة "الجو مشمس اليوم؛ وبالتالي فإن العناكب لها ثماني أرجل" مغالطة حتى لو كان الاستنتاج صحيحًا. يقدم بعض المنظرين، مثل جون ستيوارت ميل ، تعريفًا أكثر تقييدًا للمغالطات من خلال اشتراط ظهورها بشكل صحيح. ^[85] وبهذه الطريقة، يمكن التمييز بين المغالطات الحقيقية والأخطاء المنطقية المجردة بسبب الإهمال. وهذا يفسر سبب ميل الناس إلى ارتكاب المغالطات: لأنها تحتوي على عنصر مغرٍ يغري الناس بارتكابها وقبولها. ^[86] ومع ذلك، فإن هذه الإشارة إلى المظاهر مثيرة للجدل لأنها تنتمي إلى مجال علم النفس ، وليس المنطق، ولأن المظاهر قد تختلف باختلاف الأشخاص. ^[87]

تنقسم المغالطات عادة إلى مغالطات رسمية وغير رسمية. ^[38] بالنسبة للمغالطات الرسمية، يوجد مصدر الخطأ في شكل الحجة. على سبيل المثال، إنكار المقدم هو أحد أنواع المغالطات الرسمية، كما في "إذا كان عطيل عازبًا، فهو ذكر؛ عطيل ليس عازبًا؛ وبالتالي فإن عطيل ليس ذكرًا". ^[88] لكن معظم المغالطات تندرج ضمن فئة المغالطات غير الرسمية، والتي تتم مناقشة مجموعة كبيرة منها في الأدبيات الأكاديمية. يوجد مصدر خطأها عادةً في محتوى أو سياق الحجة . ^[89] يتم تصنيف المغالطات غير الرسمية أحيانًا على أنها مغالطات الغموض، أو مغالطات الافتراض، أو مغالطات الصلة. بالنسبة لمغالطات الغموض، فإن غموض اللغة الطبيعية وغموضها مسؤولان عن عيبها، كما في "الريش نور؛ ما هو نور لا يمكن أن يكون مظلمًا؛ وبالتالي فإن الريش لا يمكن أن يكون مظلمًا". ^[90] إن مغالطات الافتراض لها مقدمة خاطئة أو غير مبررة ولكنها قد تكون صحيحة بخلاف ذلك. ^[91] وفي حالة مغالطات الصلة، فإن المقدمات لا تدعم الاستنتاج لأنها غير ذات صلة به. ^[92]

يركز معظم علماء المنطق بشكل أساسي على دراسة المعايير التي تحدد صحة الحجة أو خطأها. ويُرتكب خطأ إذا تم انتهاك هذه المعايير. وفي حالة المنطق الرسمي، تُعرف هذه المعايير باسم قواعد الاستدلال . ^[93] وهي قواعد تعريفية تحدد ما إذا كان الاستدلال صحيحًا أو الاستدلالات المسموح بها. وتتناقض القواعد التعريفية مع القواعد الإستراتيجية. تحدد القواعد الإستراتيجية الحركات الاستدلالية الضرورية للوصول إلى نتيجة معينة بناءً على مجموعة من المقدمات. ولا ينطبق هذا التمييز على المنطق فحسب، بل ينطبق أيضًا على الألعاب. ففي لعبة الشطرنج ، على سبيل المثال، تنص القواعد التعريفية على أنه لا يجوز للأساقفة التحرك إلا قطريًا. ومن ناحية أخرى، تصف القواعد الإستراتيجية كيف يمكن استخدام الحركات المسموح بها للفوز باللعبة، على سبيل المثال، من خلال التحكم في المركز والدفاع عن ملك المرء . ^[94] وقد قيل إن علماء المنطق يجب أن يعطوا المزيد من التركيز على القواعد الإستراتيجية لأنها ذات صلة وثيقة بالاستدلال الفعال. ^[93]

يتألف النظام الرسمي للمنطق من لغة رسمية إلى جانب مجموعة من البديهيات ونظام إثبات يستخدم لاستخلاص استنتاجات من هذه البديهيات. ^[95] في المنطق، البديهيات هي عبارات يتم قبولها دون إثبات. تُستخدم لتبرير عبارات أخرى. ^[96] يتضمن بعض المنظرين أيضًا دلالات تحدد كيفية ارتباط تعبيرات اللغة الرسمية بالأشياء الحقيقية. ^[97] بدءًا من أواخر القرن التاسع عشر، تم اقتراح العديد من الأنظمة الرسمية الجديدة. ^[98]

تتكون اللغة الرسمية من أبجدية وقواعد نحوية. الأبجدية هي مجموعة الرموز الأساسية المستخدمة في التعبيرات . تحدد القواعد النحوية كيفية ترتيب هذه الرموز لتؤدي إلى صيغ جيدة التكوين. ^[99] على سبيل المثال، تحدد القواعد النحوية للمنطق القياسي أن " "${\displaystyle P\land Q}$ هي صيغة جيدة التكوين ولكن " "${\displaystyle \land Q}$ ليست كذلك لأن العطف المنطقي يتطلب وجود مصطلحات على كلا الجانبين. ^[100]${\displaystyle \land }$

نظام الإثبات هو مجموعة من القواعد لبناء البراهين الرسمية. إنه أداة للوصول إلى استنتاجات من مجموعة من البديهيات. يتم تعريف القواعد في نظام الإثبات من حيث الشكل النحوي للصيغ بغض النظر عن محتواها المحدد. على سبيل المثال، تنص القاعدة الكلاسيكية لمقدمة العطف على أن يتبع من المقدمات و . يمكن تطبيق مثل هذه القواعد بشكل متسلسل، مما يعطي إجراءً ميكانيكيًا لتوليد الاستنتاجات من المقدمات. هناك أنواع مختلفة من أنظمة الإثبات بما في ذلك الاستنتاج الطبيعي والحساب المتسلسل . ^[101]${\displaystyle P\land Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle س}$

الدلالات هي نظام لربط تعبيرات لغة رسمية مع دلالاتها. في العديد من أنظمة المنطق، الدلالات هي قيم الحقيقة. على سبيل المثال، يعين علم الدلالات للمنطق القياسي القياسي للصيغة الدلالة "صحيح" كلما كانت و صحيحتين. من وجهة نظر دلالية، فإن المقدمة تستلزم نتيجة إذا كانت النتيجة صحيحة كلما كانت المقدمة صحيحة. ^[102]${\displaystyle P\land Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle س}$

إن النظام المنطقي سليم عندما لا يستطيع نظام إثباته أن يتوصل إلى نتيجة من مجموعة من المقدمات ما لم تكن هذه النتيجة متضمنة دلاليًا. وبعبارة أخرى، لا يستطيع نظام إثباته أن يؤدي إلى نتائج خاطئة، كما هو محدد بواسطة علم الدلالة. ويكون النظام مكتملًا عندما يستطيع نظام إثباته أن يتوصل إلى كل نتيجة متضمنة دلاليًا بواسطة مقدماته. وبعبارة أخرى، يستطيع نظام إثباته أن يؤدي إلى أي نتيجة صحيحة، كما هو محدد بواسطة علم الدلالة. وعلى هذا فإن الصحة والاكتمال معًا يصفان نظامًا تتوافق مفاهيمه عن الصلاحية والنتيجة تمامًا. ^[103]

تُعد أنظمة المنطق أطرًا نظرية لتقييم صحة الاستدلال والحجج. لأكثر من ألفي عام، كان يُعامل المنطق الأرسطي باعتباره قانون المنطق في العالم الغربي، ^[104] لكن التطورات الحديثة في هذا المجال أدت إلى انتشار واسع النطاق للأنظمة المنطقية. ^[105] يقسم أحد التصنيفات البارزة الأنظمة المنطقية الرسمية الحديثة إلى منطق كلاسيكي ومنطق ممتد ومنطق منحرف . ^[106]

يشتمل المنطق الأرسطي على مجموعة كبيرة ومتنوعة من المواضيع. وهي تشمل أطروحات ميتافيزيقية حول الفئات الوجودية ومشاكل التفسير العلمي. ولكن بمعنى أضيق، فهو مطابق لمصطلح المنطق أو القياس المنطقي. القياس المنطقي هو شكل من أشكال الحجة التي تنطوي على ثلاث قضايا: مقدمتان واستنتاج. كل قضية لها ثلاثة أجزاء أساسية: موضوع ، ومسند، ورابط يربط الموضوع بالمسند. ^[107] على سبيل المثال، تتكون القضية "سقراط حكيم" من الموضوع "سقراط"، والمسند "حكيم"، والرابط "هو". ^[108] الموضوع والمسند هما مصطلحا القضية. لا يحتوي المنطق الأرسطي على قضايا معقدة تتكون من قضايا بسيطة. وهو يختلف في هذا الجانب عن المنطق القياسي، حيث يمكن ربط أي قضيتين باستخدام رابط منطقي مثل "و" لتشكيل قضية معقدة جديدة. ^[109]

في المنطق الأرسطي، يمكن أن يكون الموضوع عامًا أو خاصًا أو غير محدد أو مفردًا . على سبيل المثال، مصطلح "كل البشر" هو موضوع عالمي في الاقتراح "كل البشر فانون". يمكن تكوين اقتراح مماثل عن طريق استبداله بالمصطلح الخاص "بعض البشر"، أو المصطلح غير المحدد "إنسان"، أو المصطلح المفرد "سقراط". ^[110]

لا يتضمن المنطق الأرسطي سوى مسندات لخصائص بسيطة للكيانات. لكنه يفتقر إلى مسندات تتوافق مع العلاقات بين الكيانات. ^[111] يمكن ربط المسند بالموضوع بطريقتين: إما بتأكيده أو بنفيه. ^[112] على سبيل المثال، تتضمن القضية "سقراط ليس قطة" نفي مسند "قطة" للموضوع "سقراط". باستخدام مجموعات من الموضوعات والمسندات، يمكن تكوين مجموعة كبيرة ومتنوعة من القضايا والقياسات المنطقية. تتميز القياسات المنطقية بحقيقة أن المقدمات مرتبطة ببعضها البعض وبالنتيجة من خلال مشاركة مسند واحد في كل حالة. ^[113] وبالتالي، تحتوي هذه القضايا الثلاث على ثلاثة مسندات، يشار إليها باسم الحد الرئيسي والحد الثانوي والحد الأوسط . ^[114] يتضمن الجانب المركزي للمنطق الأرسطي تصنيف جميع القياسات المنطقية الممكنة إلى حجج صالحة وغير صالحة وفقًا لكيفية تكوين القضايا. ^{[112] [115]} على سبيل المثال، فإن القياس المنطقي القائل بأن "كل البشر فانون؛ سقراط إنسان؛ وبالتالي فإن سقراط فان" صحيح. أما القياس المنطقي القائل بأن "كل القطط فانية؛ سقراط فان؛ وبالتالي فإن سقراط قطة" فهو غير صحيح. ^[116]

يختلف المنطق الكلاسيكي عن المنطق التقليدي أو الأرسطي. فهو يشمل المنطق القياسي والمنطق من الدرجة الأولى. وهو "كلاسيكي" بمعنى أنه يستند إلى حدس منطقي أساسي مشترك بين معظم المنطقيين. ^[117] وتشمل هذه الحدس قانون الوسط المستبعد ، والقضاء على النفي المزدوج ، ومبدأ الانفجار ، وثنائية الحقيقة. ^[118] وقد تم تطويره في الأصل لتحليل الحجج الرياضية ولم يتم تطبيقه إلا لاحقًا على مجالات أخرى أيضًا. وبسبب هذا التركيز على الرياضيات، فإنه لا يتضمن المفردات المنطقية ذات الصلة بالعديد من الموضوعات الأخرى ذات الأهمية الفلسفية. ومن الأمثلة على المفاهيم التي يتجاهلها التباين بين الضرورة والإمكانية ومشكلة الالتزام الأخلاقي والإذن. وبالمثل، فإنه لا يتناول العلاقات بين الماضي والحاضر والمستقبل. ^[119] يتم تناول مثل هذه القضايا من خلال المنطق الموسع. فهي تبني على الحدس الأساسي للمنطق الكلاسيكي وتوسعه من خلال تقديم مفردات منطقية جديدة. بهذه الطريقة، يتم تطبيق النهج المنطقي الدقيق على مجالات مثل الأخلاق أو نظرية المعرفة التي تقع خارج نطاق الرياضيات. ^[120]

يتألف المنطق القياسي من أنظمة رسمية يتم فيها بناء الصيغ من مقترحات ذرية باستخدام روابط منطقية . على سبيل المثال، يمثل المنطق القياسي اقتران مقترحين ذريين وكصيغة معقدة . وعلى عكس المنطق القياسي حيث تكون المصطلحات والمسندات هي أصغر الوحدات، فإن المنطق القياسي يأخذ المقترحات الكاملة بقيم الحقيقة كمكون أساسي له. ^[121] وبالتالي، لا يمكن للمنطق القياسي أن يمثل إلا العلاقات المنطقية التي تنشأ من الطريقة التي يتم بها بناء المقترحات المعقدة من مقترحات أبسط. لكنه لا يمكنه تمثيل الاستدلالات الناتجة عن البنية الداخلية للمقترح. ^[122]${\displaystyle P}$${\displaystyle س}$${\displaystyle P\land Q}$

يتضمن المنطق من الدرجة الأولى نفس الروابط التقريرية مثل المنطق التقريري ولكنه يختلف عنه لأنه يعبر عن البنية الداخلية للتقارير. يحدث هذا من خلال أدوات مثل المصطلحات المفردة التي تشير إلى أشياء معينة، والمسندات التي تشير إلى الخصائص والعلاقات، والكميات التي تعالج مفاهيم مثل "بعض" و"كل". ^[123] على سبيل المثال، للتعبير عن القضية "هذا الغراب أسود"، يمكن للمرء استخدام المسند للخاصية "أسود" والمصطلح المفرد الذي يشير إلى الغراب لتشكيل التعبير . للتعبير عن أن بعض الأشياء سوداء، يتم دمج الكمي الوجودي مع المتغير لتشكيل القضية . يحتوي المنطق من الدرجة الأولى على قواعد مختلفة للاستدلال تحدد كيف يمكن للتعبيرات المفصلة بهذه الطريقة أن تشكل حججًا صالحة، على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يستنتج من . ^[124]${\displaystyle B}$${\displaystyle r}$${\displaystyle B(r)}$${\displaystyle \يوجد }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \يوجد xB(x)}$${\displaystyle \يوجد xB(x)}$${\displaystyle B(r)}$

المنطق الممتد هو أنظمة منطقية تقبل المبادئ الأساسية للمنطق الكلاسيكي . وهي تقدم رموزًا ومبادئ إضافية لتطبيقها على مجالات مثل الميتافيزيقيا والأخلاق ونظرية المعرفة . ^[125]

المنطق النمطي هو امتداد للمنطق الكلاسيكي. في شكله الأصلي، والذي يُطلق عليه أحيانًا "المنطق النمطي الحقيقي"، يقدم رمزين جديدين: يعبر عن أن شيئًا ما ممكن بينما يعبر عن أن شيئًا ما ضروري. ^[126] على سبيل المثال، إذا كانت الصيغة تمثل الجملة "سقراط مصرفي"، فإن الصيغة تعبر عن الجملة "من الممكن أن يكون سقراط مصرفيًا". ^[127] لتضمين هذه الرموز في الصيغة المنطقية، يقدم المنطق النمطي قواعد جديدة للاستدلال تحكم الدور الذي تلعبه في الاستدلالات. تنص إحدى قواعد الاستدلال على أنه إذا كان شيء ضروريًا، فهو ممكن أيضًا. وهذا يعني أن يتبع من . ينص مبدأ آخر على أنه إذا كانت القضية ضرورية، فإن نفيها مستحيل والعكس صحيح. وهذا يعني أن يعادل . ^[128]${\displaystyle \الماس }$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle B(s)}$${\displaystyle \الماس ب(س)}$${\displaystyle \الماس أ}$${\displaystyle \مربع أ}$${\displaystyle \مربع أ}$${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$

تُدخل أشكال أخرى من المنطق النمطي رموزًا مماثلة ولكنها تربط معاني مختلفة بها لتطبيق المنطق النمطي على مجالات أخرى. على سبيل المثال، يتعلق المنطق الأخلاقي بمجال الأخلاق ويُدخل رموزًا للتعبير عن أفكار الالتزام والإذن ، أي لوصف ما إذا كان على الوكيل القيام بعمل معين أو يُسمح له بأدائه. ^[129] تُعبر العوامل النمطية في المنطق النمطي الزمني عن العلاقات الزمنية. يمكن استخدامها للتعبير ، على سبيل المثال، عن حدوث شيء ما في وقت ما أو حدوث شيء ما طوال الوقت. ^[129] في نظرية المعرفة، يُستخدم المنطق النمطي المعرفي لتمثيل أفكار معرفة شيء ما على النقيض من مجرد الاعتقاد بأنه كذلك. ^[130]

إن المنطق من الدرجة الأعلى يوسع المنطق الكلاسيكي ليس باستخدام المشغلات النمطية ولكن من خلال تقديم أشكال جديدة من القياس الكمي. ^[131] تتوافق المحددات الكمية مع مصطلحات مثل "الكل" أو "البعض". في المنطق الكلاسيكي من الدرجة الأولى، يتم تطبيق المحددات الكمية فقط على الأفراد. الصيغة " "${\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))}$ ( بعض التفاح حلو) هي مثال على المحدد الكمي الوجودي " "${\displaystyle \يوجد }$ المطبق على المتغير الفردي " "${\displaystyle x}$ . في المنطق من الدرجة الأعلى، يُسمح أيضًا بالقياس الكمي على المسندات. وهذا يزيد من قوته التعبيرية. على سبيل المثال، للتعبير عن فكرة أن ماري وجون يشتركان في بعض الصفات، يمكن للمرء استخدام الصيغة " "${\displaystyle \exists Q(Q(ماري)\و Q(جون))}$ . في هذه الحالة، يتم تطبيق المحدد الكمي الوجودي على المتغير المسند " "${\displaystyle س}$ . ^[132] القوة التعبيرية المضافة مفيدة بشكل خاص في الرياضيات لأنها تسمح بصياغات أكثر إيجازًا للنظريات الرياضية. ^[43] ولكن لها عيوب فيما يتعلق بخصائصها الميتالوجية والتداعيات الوجودية، وهذا هو السبب في أن المنطق من الدرجة الأولى لا يزال يستخدم بشكل أكثر شيوعًا. ^[133]

إن المنطق المنحرف عبارة عن أنظمة منطقية ترفض بعض البديهيات الأساسية للمنطق الكلاسيكي. ولهذا السبب، عادة ما يُنظر إليها ليس كمكملات له ولكن كمنافسين له. تختلف الأنظمة المنطقية المنحرفة عن بعضها البعض إما لأنها ترفض البديهيات الكلاسيكية المختلفة أو لأنها تقترح بدائل مختلفة لنفس القضية. ^[134]

المنطق الحدسي هو نسخة مقيدة من المنطق الكلاسيكي. ^[135] فهو يستخدم نفس الرموز ولكنه يستبعد بعض قواعد الاستدلال. على سبيل المثال، وفقًا لقانون إزالة النفي المزدوج، إذا لم تكن الجملة غير صحيحة، فهي صحيحة. وهذا يعني أن يتبع من . هذه قاعدة استدلال صالحة في المنطق الكلاسيكي ولكنها غير صالحة في المنطق الحدسي. مبدأ كلاسيكي آخر ليس جزءًا من المنطق الحدسي هو قانون الوسط المستبعد . ينص على أنه بالنسبة لكل جملة، إما هي أو نفيها صحيح. وهذا يعني أن كل اقتراح من النموذج صحيح. ^[135] تستند هذه الانحرافات عن المنطق الكلاسيكي إلى فكرة أن الحقيقة يتم إثباتها من خلال التحقق باستخدام الإثبات. المنطق الحدسي بارز بشكل خاص في مجال الرياضيات البناءة ، والتي تؤكد على الحاجة إلى إيجاد أو إنشاء مثال محدد لإثبات وجوده. ^[136]${\displaystyle A}$${\displaystyle \lnot \lnot A}$${\displaystyle A\lor \lnot A}$

تبتعد المنطق متعدد القيم عن الكلاسيكية برفض مبدأ الثنائية ، والذي يتطلب أن تكون جميع القضايا إما صحيحة أو خاطئة. على سبيل المثال، اقترح كل من يان لوكاسيويكز وستيفن كول كلين منطقًا ثلاثيًا له قيمة حقيقة ثالثة تمثل أن قيمة حقيقة العبارة غير محددة. ^[137] تم تطبيق هذه المنطق في مجال اللغويات. المنطق الضبابي هو منطق متعدد القيم له عدد لا نهائي من "درجات الحقيقة"، ممثلة بعدد حقيقي بين 0 و1 ^{. [138]}

المنطق المتناقض هو أنظمة منطقية يمكنها التعامل مع التناقضات. وقد صيغت هذه الأنظمة لتجنب مبدأ الانفجار: فبالنسبة لها، ليس من الضروري أن ينشأ أي شيء عن تناقض. ^[139] وغالبًا ما تكون مدفوعة بالجدلية ، وهي وجهة النظر القائلة بأن التناقضات حقيقية أو أن الواقع نفسه متناقض. جراهام بريست هو مؤيد معاصر مؤثر لهذا الموقف، وقد نُسبت آراء مماثلة إلى جورج فيلهلم فريدريش هيجل . ^[140]

عادةً ما يتم تنفيذ المنطق غير الرسمي بطريقة أقل منهجية. وغالبًا ما يركز على قضايا أكثر تحديدًا، مثل التحقيق في نوع معين من المغالطات أو دراسة جانب معين من الحجج. ومع ذلك، فقد تم أيضًا تقديم بعض أطر المنطق غير الرسمي التي تحاول تقديم توصيف منهجي لصحة الحجج. ^[141]

يرى النهج البراجماتي أو الحواري للمنطق غير الرسمي أن الحجج هي أفعال كلامية وليست مجرد مجموعة من المقدمات مع استنتاج. ^[142] وباعتبارها أفعال كلامية، فإنها تحدث في سياق معين، مثل الحوار ، الذي يؤثر على معايير الحجج الصحيحة والخاطئة. ^[143] تفهم نسخة بارزة لدوجلاس إن والتون الحوار على أنه لعبة بين لاعبين. يتميز الموقف الأولي لكل لاعب بالمقترحات التي يلتزم بها والاستنتاج الذي ينوي إثباته. الحوارات هي ألعاب إقناع: كل لاعب لديه هدف إقناع الخصم باستنتاجه الخاص. ^[144] يتحقق ذلك من خلال تقديم الحجج: الحجج هي تحركات اللعبة. ^[145] إنها تؤثر على المقترحات التي يلتزم بها اللاعبون. الخطوة الفائزة هي حجة ناجحة تأخذ التزامات الخصم كمقدمات وتوضح كيف يتبع استنتاج المرء منها. هذا عادة ما يكون غير ممكن على الفور. ولهذا السبب، فمن الضروري عادة صياغة سلسلة من الحجج كخطوات وسيطة، كل منها يقرب الخصم قليلاً من النتيجة المقصودة. وإلى جانب هذه الحجج الإيجابية التي تقود المرء إلى النصر، هناك أيضًا حجج سلبية تمنع انتصار الخصم من خلال إنكار النتيجة التي توصل إليها. ^[144] إن صحة الحجة تعتمد على ما إذا كانت تعزز تقدم الحوار. ومن ناحية أخرى، فإن المغالطات هي انتهاكات لمعايير قواعد الحجج السليمة. ^[146] وتعتمد هذه المعايير أيضًا على نوع الحوار. على سبيل المثال، تختلف المعايير التي تحكم الخطاب العلمي عن المعايير في المفاوضات التجارية. ^[147]

من ناحية أخرى، يركز النهج المعرفي للمنطق غير الرسمي على الدور المعرفي للحجج. [ 148 ^] ويستند إلى فكرة أن الحجج تهدف إلى زيادة معرفتنا. ويحققون ذلك من خلال ربط المعتقدات المبررة بالمعتقدات التي لم يتم تبريرها بعد. ^[149] تنجح الحجج الصحيحة في توسيع المعرفة بينما المغالطات هي إخفاقات معرفية: فهي لا تبرر الاعتقاد في استنتاجها. ^[150] على سبيل المثال، مغالطة التوسل بالسؤال هي مغالطة لأنها تفشل في تقديم مبرر مستقل لاستنتاجها، على الرغم من أنها صالحة استنتاجيًا. ^[151] بهذا المعنى، تتكون المعيارية المنطقية من النجاح المعرفي أو العقلانية. ^[149] النهج البايزي هو أحد الأمثلة على النهج المعرفي. ^[152] إن جوهر البايزية ليس فقط ما إذا كان الوكيل يؤمن بشيء ما ولكن الدرجة التي يؤمن بها به، ما يسمى بالتصديق . تُرى درجات الاعتقاد كاحتمالات ذاتية في القضية المعتقد بها، أي مدى تأكد الوكيل من أن القضية صحيحة. ^[153] وفقًا لهذا الرأي، يمكن تفسير الاستدلال على أنه عملية تغيير معتقدات المرء، غالبًا كرد فعل على معلومات واردة جديدة. ^[154] يتبع الاستدلال الصحيح والحجج التي يستند إليها قوانين الاحتمال، على سبيل المثال، مبدأ الشرطية . من ناحية أخرى، ينتهك الاستدلال السيئ أو غير العقلاني هذه القوانين. ^[155]

تُدرَس المنطق في مجالات مختلفة. وفي كثير من الحالات، يتم ذلك من خلال تطبيق منهجه الرسمي على مواضيع محددة خارج نطاقه، مثل الأخلاق أو علوم الكمبيوتر. ^[156] وفي حالات أخرى، يُجعل المنطق نفسه موضوعًا للبحث في تخصص آخر. يمكن أن يحدث هذا بطرق متنوعة. على سبيل المثال، يمكن أن ينطوي على التحقيق في الافتراضات الفلسفية المرتبطة بالمفاهيم الأساسية التي يستخدمها المنطقيون. تشمل الطرق الأخرى تفسير وتحليل المنطق من خلال الهياكل الرياضية بالإضافة إلى دراسة ومقارنة الخصائص المجردة للأنظمة المنطقية الرسمية. ^[157]

فلسفة المنطق هي التخصص الفلسفي الذي يدرس نطاق وطبيعة المنطق. ^[59] وهو يدرس العديد من الافتراضات الضمنية في المنطق، مثل كيفية تحديد مفاهيمه الأساسية أو الافتراضات الميتافيزيقية المرتبطة بها. ^[158] كما يهتم بكيفية تصنيف الأنظمة المنطقية وينظر في الالتزامات الوجودية التي تتحملها. ^[159] المنطق الفلسفي هو أحد المجالات داخل فلسفة المنطق. يدرس تطبيق الأساليب المنطقية على المشاكل الفلسفية في مجالات مثل الميتافيزيقيا والأخلاق ونظرية المعرفة. ^[160] يحدث هذا التطبيق عادةً في شكل أنظمة منطقية ممتدة أو منحرفة. ^[161]

علم الميتالوجيا هو مجال البحث الذي يدرس خصائص الأنظمة المنطقية الرسمية. على سبيل المثال، عندما يتم تطوير نظام رسمي جديد، قد يدرسه علماء الميتالوجيا لتحديد الصيغ التي يمكن إثباتها فيه. قد يدرسون أيضًا ما إذا كان من الممكن تطوير خوارزمية لإيجاد دليل لكل صيغة وما إذا كانت كل صيغة قابلة للإثبات فيه عبارة عن تكرار. أخيرًا، قد يقارنونه بأنظمة منطقية أخرى لفهم سماته المميزة. تتعلق إحدى القضايا الرئيسية في علم الميتالوجيا بالعلاقة بين بناء الجملة والدلالات. تحدد القواعد النحوية للنظام الرسمي كيفية استنتاج النتائج من المقدمات، أي كيفية صياغة البراهين. تحكم دلالات النظام الرسمي الجمل الصحيحة والجمل الخاطئة. هذا يحدد صحة الحجج لأنه بالنسبة للحجج الصحيحة، من المستحيل أن تكون المقدمات صحيحة والاستنتاج خاطئًا. تتعلق العلاقة بين بناء الجملة والدلالات بقضايا مثل ما إذا كانت كل حجة صالحة قابلة للإثبات وما إذا كانت كل حجة قابلة للإثبات صالحة. يدرس علماء المعادن أيضًا ما إذا كانت الأنظمة المنطقية كاملة وسليمة ومتسقة . إنهم مهتمون بما إذا كانت الأنظمة قابلة للحسم وما هي القوة التعبيرية التي تتمتع بها. يعتمد علماء المعادن عادةً بشكل كبير على التفكير الرياضي المجرد عند فحص وصياغة البراهين المعدنية. بهذه الطريقة، يهدفون إلى الوصول إلى استنتاجات دقيقة وعامة حول هذه الموضوعات. ^[162]

يُستخدم مصطلح "المنطق الرياضي" أحيانًا كمرادف لـ "المنطق الرسمي". ولكن بمعنى أكثر تقييدًا، يشير إلى دراسة المنطق داخل الرياضيات. تشمل المجالات الفرعية الرئيسية نظرية النموذج ونظرية الإثبات ونظرية المجموعات ونظرية الحساب . ^[164] يتناول البحث في المنطق الرياضي عادةً الخصائص الرياضية للأنظمة الرسمية للمنطق. ومع ذلك، يمكن أن يشمل أيضًا محاولات استخدام المنطق لتحليل التفكير الرياضي أو لإنشاء أسس منطقية للرياضيات . ^[165] كان الأخير مصدر قلق كبير في المنطق الرياضي في أوائل القرن العشرين، والذي سعى إلى برنامج المنطقية الذي روادته الفلاسفة المنطقيون مثل جوتلوب فريج وألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل . كان من المفترض أن تكون النظريات الرياضية تكرارات منطقية ، وكان برنامجهم هو إظهار ذلك عن طريق اختزال الرياضيات إلى المنطق. فشلت العديد من المحاولات لتحقيق هذا البرنامج، بدءًا من عرقلة مشروع فريجه في مبادئه الأساسية بواسطة مفارقة راسل ، إلى هزيمة برنامج هيلبرت بواسطة نظريات عدم الاكتمال لغودل . ^[166]

نشأت نظرية المجموعات في دراسة اللانهائية التي أجراها جورج كانتور ، وكانت مصدرًا للعديد من القضايا الأكثر تحديًا وأهمية في المنطق الرياضي. وتشمل هذه القضايا نظرية كانتور ، وحالة بديهية الاختيار ، ومسألة استقلال فرضية الاستمرارية ، والنقاش الحديث حول البديهيات الأساسية الكبيرة . ^[167]

نظرية قابلية الحساب هي فرع من المنطق الرياضي الذي يدرس الإجراءات الفعالة لحل مشاكل الحساب. أحد أهدافها الرئيسية هو فهم ما إذا كان من الممكن حل مشكلة معينة باستخدام خوارزمية. على سبيل المثال، بالنظر إلى ادعاء معين حول الأعداد الصحيحة الموجبة، فإنها تفحص ما إذا كان من الممكن العثور على خوارزمية لتحديد ما إذا كان هذا الادعاء صحيحًا. تستخدم نظرية قابلية الحساب أدوات ونماذج نظرية مختلفة، مثل آلات تورينج ، لاستكشاف هذا النوع من المشكلات. ^[168]

المنطق الحسابي هو فرع من فروع المنطق وعلوم الكمبيوتر يدرس كيفية تنفيذ التفكير الرياضي والصيغ المنطقية باستخدام أجهزة الكمبيوتر. وهذا يشمل، على سبيل المثال، أدوات إثبات النظرية التلقائية ، والتي تستخدم قواعد الاستدلال لبناء دليل خطوة بخطوة من مجموعة من المقدمات إلى النتيجة المقصودة دون تدخل بشري. ^{[169] تم تصميم لغات} البرمجة المنطقية خصيصًا للتعبير عن الحقائق باستخدام الصيغ المنطقية واستخلاص الاستنتاجات من هذه الحقائق. على سبيل المثال، Prolog هي لغة برمجة منطقية تعتمد على منطق المسند. ^[170] يطبق علماء الكمبيوتر أيضًا مفاهيم من المنطق على المشكلات في الحوسبة. كانت أعمال كلود شانون مؤثرة في هذا الصدد. لقد أظهر كيف يمكن استخدام المنطق البولياني لفهم الدوائر الحاسوبية وتنفيذها. ^[171] يمكن تحقيق ذلك باستخدام بوابات المنطق الإلكترونية ، أي الدوائر الإلكترونية ذات مدخل واحد أو أكثر ومخرج واحد عادةً. يتم تمثيل قيم الحقيقة للاقتراحات بمستويات الجهد. بهذه الطريقة، يمكن محاكاة الوظائف المنطقية عن طريق تطبيق الفولتية المقابلة على مدخلات الدائرة وتحديد قيمة الوظيفة عن طريق قياس جهد المخرج. ^[172]

الدلالات الرسمية هي مجال فرعي من المنطق واللغويات وفلسفة اللغة . يدرس علم الدلالات معنى اللغة. يستخدم علم الدلالات الرسمية أدوات رسمية من مجالات المنطق الرمزي والرياضيات لإعطاء نظريات دقيقة لمعنى تعبيرات اللغة الطبيعية . يفهم المعنى عادةً فيما يتعلق بشروط الحقيقة ، أي أنه يفحص المواقف التي تكون فيها الجملة صحيحة أو خاطئة. أحد افتراضاته المنهجية المركزية هو مبدأ التكوين . ينص على أن معنى تعبير معقد يتم تحديده من خلال معاني أجزائه وكيفية دمجها. على سبيل المثال، يعتمد معنى عبارة الفعل "يمشي ويغني" على معاني التعبيرات الفردية "يمشي" و"يغني". تعتمد العديد من النظريات في الدلالات الرسمية على نظرية النموذج. وهذا يعني أنهم يستخدمون نظرية المجموعات لبناء نموذج ثم تفسير معاني التعبير فيما يتعلق بالعناصر في هذا النموذج. على سبيل المثال، يمكن تفسير مصطلح "يمشي" على أنه مجموعة جميع الأفراد في النموذج الذين يشتركون في خاصية المشي. كان ريتشارد مونتاجو وباربرا بارتي من أوائل المنظرين المؤثرين في هذا المجال ، وقد ركزا تحليلهما على اللغة الإنجليزية. ^[173]

تدرس نظرية المعرفة المنطقية كيف يعرف المرء أن الحجة صحيحة أو أن القضية صحيحة منطقيًا. ^[174] وهذا يشمل أسئلة مثل كيفية تبرير أن modus ponens هي قاعدة استدلال صالحة أو أن التناقضات خاطئة. ^[175] الرأي السائد تقليديًا هو أن هذا الشكل من الفهم المنطقي ينتمي إلى المعرفة المسبقة . ^[176] في هذا الصدد، غالبًا ما يُقال إن العقل لديه قدرة خاصة لفحص العلاقات بين الأفكار الخالصة وأن هذه القدرة مسؤولة أيضًا عن إدراك الحقائق المنطقية. ^[177] يفهم نهج مماثل قواعد المنطق من حيث الاتفاقيات اللغوية . وفقًا لهذا الرأي، فإن قوانين المنطق تافهة لأنها صحيحة بحكم التعريف: فهي تعبر فقط عن معاني المفردات المنطقية. ^[178]

يعترض بعض المنظرين، مثل هيلاري بوتنام وبينيلوبي مادي ، على الرأي القائل بأن المنطق يمكن معرفته مسبقًا. ويرى هؤلاء أن الحقائق المنطقية تعتمد على العالم التجريبي . وعادةً ما يقترن هذا بالادعاء بأن قوانين المنطق تعبر عن انتظامات عالمية موجودة في السمات البنيوية للعالم. ووفقًا لهذا الرأي، يمكن استكشافها من خلال دراسة الأنماط العامة للعلوم الأساسية . على سبيل المثال، قيل إن بعض رؤى ميكانيكا الكم تدحض مبدأ التوزيع في المنطق الكلاسيكي، والذي ينص على أن الصيغة تعادل . ويمكن استخدام هذا الادعاء كحجة تجريبية لأطروحة مفادها أن المنطق الكمومي هو النظام المنطقي الصحيح ويجب أن يحل محل المنطق الكلاسيكي. ^[179]${\displaystyle A\land (B\lor C)}$${\displaystyle (أ\و ب)\أو (أ\و ج)}$

تم تطوير المنطق بشكل مستقل في العديد من الثقافات خلال العصور القديمة. كان أرسطو أحد المساهمين الأوائل الرئيسيين ، حيث طور منطق المصطلح في كتابه "أورجانون" و "التحليلات السابقة" . ^[183] ​​وكان مسؤولاً عن تقديم القياس المنطقي الافتراضي ^[184] والمنطق النمطي الزمني. ^[185] تشمل الابتكارات الأخرى المنطق الاستقرائي ^[186] بالإضافة إلى مناقشة المفاهيم المنطقية الجديدة مثل المصطلحات والمتنبئات والقياسات المنطقية والاقتراحات. كان المنطق الأرسطي يحظى بتقدير كبير في العصور الكلاسيكية والعصور الوسطى، سواء في أوروبا أو الشرق الأوسط. وظل مستخدمًا على نطاق واسع في الغرب حتى أوائل القرن التاسع عشر. ^[187] وقد حل محله الآن عمل لاحق، على الرغم من أن العديد من رؤاه الرئيسية لا تزال موجودة في أنظمة المنطق الحديثة. ^[188]

كان ابن سينا ​​(ابن سينا) مؤسس منطق ابن سينا، الذي حل محل المنطق الأرسطي باعتباره النظام المنطقي السائد في العالم الإسلامي . ^[189] وقد أثر على كتاب العصور الوسطى الغربيين مثل ألبرتوس ماغنوس وويليام الأوكامي . ^[190] كتب ابن سينا ​​عن القياس الافتراضي ^[191] وحساب القضايا . ^[192] طور نظرية قياس أصلية "مُصممة زمنيًا"، تتضمن المنطق الزمني والمنطق النمطي. ^[193] كما استخدم المنطق الاستقرائي، مثل أساليبه في الاتفاق والاختلاف والتباين المصاحب، والتي تعد بالغة الأهمية للمنهج العلمي . ^{[191] كان} فخر الدين الرازي منطقيًا مسلمًا مؤثرًا آخر. انتقد القياس الأرسطي وصاغ نظامًا مبكرًا للمنطق الاستقرائي، مما أنذر بنظام المنطق الاستقرائي الذي طوره جون ستيوارت ميل. ^[194]

خلال العصور الوسطى ، تم إجراء العديد من الترجمات والتفسيرات لمنطق أرسطو. كانت أعمال بوثيوس مؤثرة بشكل خاص. بالإضافة إلى ترجمة أعمال أرسطو إلى اللاتينية، أنتج أيضًا كتبًا مدرسية عن المنطق. ^[195] في وقت لاحق، تم الاستعانة بأعمال الفلاسفة المسلمين مثل ابن سينا ​​وابن رشد (ابن رشد). أدى هذا إلى توسيع نطاق الأعمال القديمة المتاحة لعلماء المسيحيين في العصور الوسطى حيث كان المزيد من الأعمال اليونانية متاحة لعلماء المسلمين والتي تم الحفاظ عليها في التعليقات اللاتينية. في عام 1323، تم إصدار كتاب Summa Logicae المؤثر لوليام أوكام . إنها أطروحة شاملة عن المنطق تناقش العديد من المفاهيم الأساسية للمنطق وتقدم شرحًا منهجيًا لأنواع القضايا وشروط صدقها. ^[196]

في الفلسفة الصينية، كانت مدرسة الأسماء والموهية مؤثرة بشكل خاص. ركزت مدرسة الأسماء على استخدام اللغة والمفارقات. على سبيل المثال، اقترح جونجسون لونج مفارقة الحصان الأبيض ، والتي تدافع عن أطروحة أن الحصان الأبيض ليس حصانًا. كما اعترفت مدرسة الموهية بأهمية اللغة للمنطق وحاولت ربط الأفكار في هذه المجالات بعالم الأخلاق. ^[197]

في الهند، كانت دراسة المنطق في المقام الأول من قِبَل مدارس نيايا والبوذية والجاينية . ولم يتم التعامل معه باعتباره تخصصًا أكاديميًا منفصلاً وكانت مناقشات مواضيعه تحدث عادةً في سياق نظرية المعرفة ونظريات الحوار أو الجدال. ^[198] في نيايا، يُفهَم الاستدلال كمصدر للمعرفة ( برامانا ) . يتبع إدراك شيء ما ويحاول الوصول إلى استنتاجات، على سبيل المثال، حول سبب هذا الشيء. ^[199] يوجد أيضًا تركيز مماثل على العلاقة بنظرية المعرفة في مدارس المنطق البوذية والجاينية، حيث يُستخدم الاستدلال لتوسيع المعرفة المكتسبة من خلال مصادر أخرى. ^[200] تشبه بعض النظريات اللاحقة لنيايا، التي تنتمي إلى مدرسة نافيا نيايا ، الأشكال الحديثة للمنطق، مثل التمييز الذي أجراه جوتلوب فريجه بين المعنى والمرجع وتعريفه للعدد. ^[201]

ساد المنطق القياسي الذي طوره أرسطو في الغرب حتى منتصف القرن التاسع عشر، عندما حفز الاهتمام بأسس الرياضيات تطوير المنطق الرمزي الحديث. ^{[202] يرى الكثيرون أن} كتاب Begriffsschrift لغوتلوب فريجه هو موطن المنطق الحديث. غالبًا ما تُعتبر فكرة غوتفريد فيلهلم لايبنتز عن لغة شكلية عالمية رائدة. كان من بين الرواد الآخرين جورج بول ، الذي اخترع الجبر البولياني كنظام رياضي للمنطق، وتشارلز بيرس ، الذي طور منطق الأقارب . قام ألفريد نورث وايتهايد وبرتراند راسل، بدورهما، بتكثيف العديد من هذه الأفكار في عملهما Principia Mathematica . قدم المنطق الحديث مفاهيم جديدة، مثل الوظائف والكميات والمسندات العلائقية. من السمات المميزة للمنطق الرمزي الحديث استخدامه للغة الشكلية لتدوين أفكاره بدقة. في هذا الصدد، يبتعد عن المنطقيين السابقين، الذين اعتمدوا بشكل أساسي على اللغة الطبيعية. ^[203] كان من بين التأثيرات الخاصة تطوير المنطق من الدرجة الأولى، والذي يُعامل عادةً باعتباره النظام القياسي للمنطق الحديث. ^[204] سمحت عموميته التحليلية بإضفاء الطابع الرسمي على الرياضيات ودفعت التحقيق في نظرية المجموعات . كما جعلت نهج ألفريد تارسكي لنظرية النموذج ممكنًا ووفر الأساس للمنطق الرياضي الحديث. ^[205]