نظرية ميكيل

نظرية ميكيل هي نتيجة في الهندسة ، سُميت نسبةً إلى أوغست ميكيل ، ^{[ 1 ]} وتتعلق بتقاطع ثلاث دوائر، كل منها مرسومة من خلال رأس مثلث ونقطتين على ضلعيه المجاورين. وهي إحدى النتائج العديدة المتعلقة بالدوائر في الهندسة الإقليدية التي تعود إلى ميكيل، والذي نُشرت أعماله في مجلة "Journal de mathématiques pures et appliquées" التي أسسها ليوفيل حديثًا .

بصورة رسمية، ليكن ABC مثلثًا، مع وجود النقاط A ' و B' و C' على أضلاعه BC و AC و AB على التوالي (أو امتداداتها ) . ارسم ثلاث دوائر محيطة ( دوائر ميكيل ) للمثلثات AB'C ' و A'BC ' و A'B'C . تنص نظرية ميكيل على أن هذه الدوائر تتقاطع في نقطة واحدة M ، تُسمى نقطة ميكيل . بالإضافة إلى ذلك، فإن الزوايا الثلاث MA'B و MB'C و MC'A (الموضحة باللون الأخضر في الرسم) متساوية، وكذلك الزوايا الثلاث المكملة MA'C و MB'A و MC'B . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تُستنتج النظرية (ونتيجتها) من خصائص الأشكال الرباعية الدائرية . لنفترض أن الدائرتين المحيطتين بالشكلين A'B'C و AB'C' تتقاطعان عند نقطة واحدة.${\displaystyle M\neq B'.}$ثم${\displaystyle \angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B,}$وبالتالي فإن BA'MC' دورية كما هو مطلوب.

إذا كانت النقاط A ' و B' و C' تُشكّل مثلثًا في نص نظرية ميكيل (أي أنها ليست على استقامة واحدة )، فإن النظرية تُسمى نظرية المحور في فوردر (1960 ، ص 17) . ^{[ 4 ]} (في الرسم التوضيحي، تُسمى هذه النقاط P و Q و R ). 

إذا كانت النقاط A´ و B´ و C´ تقع على استقامة واحدة، فإن نقطة ميكيل تقع على الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، والعكس صحيح، إذا كانت نقطة ميكيل تقع على هذه الدائرة المحيطة، فإن النقاط A´ و B´ و C´ تقع على خط مستقيم واحد. ^{[ 5 ]}

إذا كانت المسافات الكسرية لـ A´ و B´ و C´ على طول الأضلاع BC ( a ) و CA ( b ) و AB ( c ) هي da _و db و _dc على التوالي، فإن نقطة ميكيل، في الإحداثيات الثلاثية ( x : y : z ) _، تُعطى بالصيغة التالية :  

${\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)}$

${\displaystyle y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)}$

${\displaystyle z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),}$

حيث d' _a = 1 - d _a ، إلخ.

في حالة d _a = d _b = d _c = ½ فإن نقطة ميكيل هي مركز الدائرة المحيطة (cos α  : cos β  : cos γ ) .

يمكن عكس النظرية لتصبح: بالنسبة لثلاث دوائر تتقاطع عند النقطة M ، يمكن رسم خط مستقيم من أي نقطة A على إحدى الدوائر، مرورًا بنقطة تقاطعها C' مع دائرة أخرى، لنحصل على النقطة B (عند نقطة التقاطع الثانية). وبالمثل، تتصل النقطة B بالدائرة الثانية عبر نقطة التقاطع A' مع الدائرة الثالثة، لنحصل على النقطة C. ستكون النقاط C و A ونقطة التقاطع المتبقية B ' على استقامة واحدة، وسيمر المثلث ABC دائمًا بنقاط تقاطع الدوائر A ' و B' و C ' .

إذا كان المثلث المرسوم XYZ مشابهًا للمثلث المرجعي ABC ، فإن نقطة التقاء الدوائر الثلاث M تكون ثابتة لجميع هذه المثلثات XYZ . ^{[ 6 ] : ص 257}

تلتقي الدوائر المحيطة بجميع المثلثات الأربعة للشكل الرباعي الكامل عند نقطة M. ^{[ 7 ]} في الرسم التخطيطي أعلاه، هذه هي ∆ABF و∆CDF و∆ADE و∆BCE .

أُعلن عن هذه النتيجة، في سطرين، من قبل جاكوب شتاينر في عدد 1827/1828 من مجلة جيرجون للرياضيات ، ^{[ 8 ]} ولكن قدم ميكيل برهانًا مفصلاً. ^{[ 7 ]}

ليكن ABCDE خماسيًا محدبًا. مدّد جميع أضلاعه حتى تلتقي في خمس نقاط F، G، H، I، K، وارسم الدوائر المحيطة بالمثلثات الخمسة CFD، DGE، EHA، AIB، وBKC. عندئذٍ، تكون نقاط التقاطع الثانية (بخلاف A، B، C، D، E)، وهي النقاط الجديدة M، N، P، R، وQ، متحدة الدائرة (تقع على دائرة واحدة). ^{[ 9 ]} انظر الرسم التوضيحي.

والنتيجة العكسية تُعرف باسم نظرية الدوائر الخمس .

بفرض وجود النقاط A و B و C و D على دائرة، ودوائر تمر بكل زوج متجاور من هذه النقاط، فإن نقاط التقاطع المتبادلة لهذه الدوائر الأربع عند W و X و Y و Z تقع على دائرة واحدة. تُعرف هذه النظرية بنظرية الدوائر الست . ^{[ 10 ]} وتُعرف أيضًا بنظرية الدوائر الأربع ، وعلى الرغم من أنها تُنسب عمومًا إلى جاكوب شتاينر، إلا أن البرهان المنشور الوحيد المعروف قدمه ميكيل. ^{[ 11 ]} ويشير إليها ديفيد ج. ويلز باسم نظرية ميكيل . ^{[ 12 ]}

يوجد أيضًا نظير ثلاثي الأبعاد، حيث تتقاطع الكرات الأربع التي تمر بنقطة من نقاط رباعي الأوجه والنقاط الموجودة على حواف رباعي الأوجه في نقطة مشتركة. ^{[ 3 ]}

• نظرية الحزمة
• نظريات دائرة كليفورد
• تكوين ميكيل

• كوكسيتر، إتش إس إم ؛ غريتزر، إس إل (1967)، إعادة النظر في الهندسة ، المكتبة الرياضية الجديدة ، المجلد  19، واشنطن العاصمة : الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-88385-619-2، Zbl 0166.16402 
• فوردر، إتش جي (1960)، الهندسة ، لندن: هاتشينسون
• أوسترمان، ألكسندر؛ وانر، جيرهارد (2012)، الهندسة من خلال تاريخها ، سبرينغر، ISBN 978-3-642-29162-3
• بيدو، دان (1988) [1970]، الهندسة / دورة شاملة ، دوفر، ISBN 0-486-65812-0
• سمارت، جيمس ر. (1997)، الهندسة الحديثة (  الطبعة الخامسة)، بروكس/كول، رقم ISBN 0-534-35188-3
• ويلز، ديفيد (1991)، قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام ، نيويورك: كتب بنغوين، رقم ISBN 0-14-011813-6، Zbl 0856.00005 

• فايستين، اريك دبليو “نظرية ميكيل” . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية الدوائر الخمس لميكيل" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، اريك دبليو “نظرية ميكل الخماسي” . عالم الرياضيات .
• فايستين، إريك دبليو. “النظرية المحورية” . عالم الرياضيات .
• نظرية ميكيل ، نشاط تعليمي مع برهان موجه في قسم الرسومات الهندسية الديناميكية