جوزيف ليوفيل

في عام 1835، أثبت ليوفيل وجود التكاملات غير الأولية ومعيار التكامل بحدود منتهية، أي بدلالة الدوال الأولية . ^{[ 3 ]} وقدّم مثالاً على هذا النوع من التكاملات غير الأولية.${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{x}}\,dx}$[ ^{7 ] : 119​}

في عام 1838، نشر ليوفيل طريقة لإثبات وجود حلول للمعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الثانية التي تتضمن تقريبات متتالية، وهي طريقة تُنسب الآن إلى إميل بيكار ، الذي قدم نهجًا أكثر عمومية في أوائل تسعينيات القرن التاسع عشر. ^{[ 8 ] : 719-20}

في الجبر، كان ليوفيل من أوائل من أدركوا أهمية إسهامات إيفاريست غالوا الراحل ، الذي أرسل إليه عمله صديقه أوغست شوفالييه. ^{[ 9 ]} قام ليوفيل بتحرير ونشر أعمال غالوا في مجلته الخاصة عام 1846، وبعد ذلك اجتذبت نظرية غالوا انتباه العديد من علماء الرياضيات، من بينهم باولو روفيني ، وجوزيف ألفريد سيريه ، وأوغستين لويس كوشي . ^{[ 8 ] : 766} وبمساعدته في نشر أعمال غالوا، ساهم ليوفيل، وإن بشكل غير مباشر، في تطوير الجبر الحديث عمومًا ونظرية الزمر خصوصًا. ^{[ 10 ]}

أثارت الأبحاث حول حلول المعادلات الجبرية الاهتمام بالأعداد غير النسبية الجبرية والمتسامية . ^{[ 8 ] : 980} في عام 1844، ^{[ 11 ]} كان ليوفيل أول من أثبت وجود الأعداد المتسامية . وقد فعل ذلك من خلال عرض بعض النتائج المتعلقة بتقريب الأعداد غير النسبية الجبرية باستخدام الأعداد النسبية، ووضع متباينة شكلت معيارًا للتسامي. ^{[ 8 ] : 981} في جوهرها، تُعلن متباينته أن الأعداد النسبية تقريبات ضعيفة للأعداد الجبرية غير النسبية. ^{[ 7 ] : 124} ثم قدم مثالًا واضحًا. فقد أظهر أن أي عدد من الشكل

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2!}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3!}}}+\cdots ,}$

حيث${\displaystyle a_{i}}$الأعداد الصحيحة من 0 إلى 9، هي أعداد متسامية. ^{[ 8 ] : 981} البراهين المستقبلية على تسامي عدد أويلر${\displaystyle e}$بقلم تشارلز هيرميت و${\displaystyle \pi }$استندت حسابات ( π ) التي أجراها فرديناند فون ليندمان إلى مساهمات ليوفيل. ^{[ 7 ] : 127}

تم تسمية دالة ليوفيل ، وهي مفهوم مهم في نظرية الأعداد، تكريماً له.

في عمله على التكاملات الإهليلجية ، أسس الموضوع برمته على الخصائص العامة للدوال الدورية المزدوجة، وبرهن على تجاوز الدوال الأبيلية . ^{[ 8 ] : 650} وفي هذا السياق اكتشف نظرية ليوفيل في التحليل العقدي، التي تنص على أن الدوال الكاملة المحدودة ثابتة. ^{[ 3 ]} كما قدم برهانًا موجزًا ​​للنظرية الأساسية في الجبر . ^{[ 10 ]}

تُعدّ نظرية ليوفيل للدوال التوافقية ، أو حلول معادلة لابلاس ، نتيجةً مشابهة . تنصّ هذه النظرية على أن الدوال التوافقية المحدودة في الفضاء الإقليدي ثابتة. وقدّم إدوارد نيلسون برهانًا موجزًا ​​لها عام 1961، مستغلًا خاصية القيمة المتوسطة للدوال التوافقية. ^{[ 12 ]}

منذ منتصف القرن الثامن عشر، دأب علماء الرياضيات والفيزياء على دراسة مجموعة متنوعة من المعادلات التفاضلية الجزئية ذات القيم الحدية ، مستخدمين فصل المتغيرات لتحليلها إلى أنظمة من المعادلات التفاضلية العادية، التي تحمل بدورها معاملات خاصة بها. وكانت الحلول التي تم التوصل إليها لقيم محددة لهذه المعاملات، والتي تُسمى القيم الذاتية ، تُعرف بالدوال الذاتية . وقد أدى فصل المتغيرات في أنظمة إحداثيات مختلفة إلى ظهور دوال خاصة جديدة، مثل دوال بيسل ومتعددات حدود ليجندر ، كدوال ذاتية للمعادلات التفاضلية العادية. ^{[ 8 ] : 715} سعى ليوفيل وصديقه، جاك شارل فرانسوا ستورم ، إلى معالجة المشكلة العامة لأي معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية. وفي سلسلة من الأبحاث التي نُشرت في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وضع الرجلان نظرية ستورم-ليوفيل . ^{[ 8 ] : 715-716.} على الرغم من أن أهمية هذه المساهمة استغرقت بعض الوقت حتى يدركها علماء الرياضيات، ^{[ 13 ] : 571،} إلا أنها أصبحت الآن إجراءً قياسيًا لحل أنواع معينة من المعادلات التكاملية . ^{[ 14 ]} استُلهم عملهم من تحليل انتشار الحرارة في أسطوانة بواسطة جان بابتيست جوزيف فورييه ، ^{[ 14 ]} ويمكن اعتباره تعميمًا لتحليل فورييه . ^{[ 13 ] : 571.} في صياغتها الأصلية، لم تكن نظرية ستورم-ليوفيل دقيقة تمامًا، إذ لم تتناول بشكل كافٍ اكتمال مجموعة الدوال الذاتية (أو مجموعة الأساس المتعامدة) وتقارب التوسع بدلالة الدوال الذاتية. ^{[ 8 ] : 717.} وقد تناول علماء رياضيات آخرون هذه المسائل لاحقًا، مثل ماكسيم بوشيه ، وماكس ماسون ، وغاريت بيركوف . ^{[ 13 ] : 572.}

بشكل مستقل عن نيلز هنريك أبيل ، درس ليوفيل المعادلات التكاملية الخاصة واستخدم طريقة التعويضات المتتالية ، متقدمًا بذلك على كارل نيومان ببضعة عقود. مع ذلك، طغت أعمال فيتو فولتيرا ، رائد النظرية العامة للمعادلات التكاملية، على إسهاماته في هذا المجال. ^{[ 8 ] : 1054} شكّلت أبحاث ليوفيل حول نظرية ستورم-ليوفيل والمعادلات التكاملية الخطية إسهامات مبكرة في دراسة التحليل الوظيفي . ^{[ 10 ]}

في عام 1837، سعى ليوفيل ^{[ 15 ]} إلى إيجاد حلول تقريبية لمعادلات تفاضلية خطية من الرتبة الثانية ذات معاملات متغيرة مكانيًا، وحصل، بلغة حديثة، على متسلسلة تقاربية . ^{[ 8 ] : 1101} وفي العام نفسه، اكتشف جورج غرين هذه التقنية بشكل مستقل في ورقة بحثية حول أمواج المياه في قناة. ^{[ 16 ]} أُعيد اكتشاف طريقة ليوفيل-غرين في عام 1923 على يد هارولد جيفريز ، [ ^{17 ] ثم} مرة أخرى في عام 1926 على يد غريغور وينتزل وهانز كرامرز وليون بريلوين ، الذين كانوا يدرسون معادلة شرودنغر في ميكانيكا الكم. ^{[ 8 ] : 1101}

انجذب ليوفيل إلى دراسة الميكانيكا بفضل أعمال ويليام روان هاميلتون وكارل غوستاف جاكوب جاكوبي . ^{[ 10 ]} أثبت ليوفيل في بحثٍ نُشر عام 1838 حول المعادلات التفاضلية ^{[ 18 ]} أن حجم فضاء الطور لنظام ميكانيكي محافظ ثابت، وهي نتيجة تُعرف الآن باسم نظرية ليوفيل في الميكانيكا الهاميلتونية . ^{[ 3 ]} بعد جوزيا ويلارد غيبس ، تُعتبر نظرية ليوفيل نتيجةً أساسيةً في الميكانيكا الإحصائية. ^{[ 19 ] : 48-51.} في سياقٍ ذي صلة، قدّم ليوفيل مفهوم إحداثيات الفعل والزاوية كوصفٍ للأنظمة القابلة للتكامل تمامًا . يُطلق على الصياغة الحديثة لهذا المفهوم أحيانًا اسم نظرية ليوفيل-أرنولد ، ويُشار إلى المفهوم الأساسي للتكامل باسم تكامل ليوفيل.

في دراسته للديناميكا الكهربائية، طور ليوفيل تكامل ريمان-ليوفيل للنظر في التفاضل والتكامل من الرتبة الكسرية . ^{[ 20 ]}

كما درس نظرية الجهد ^{[ 3 ]} والأشكال الإهليلجية للتوازن، بما في ذلك تلك ذات المحاور غير المتساوية، أي إهليلجات جاكوبي . ^{[ 10 ]}

أشارت مخطوطاته غير المنشورة إلى أنه كان على دراية بطريقة رايلي-ريتز لتقريب القيم الذاتية لمسألة القيمة الحدية في وقت مبكر من عام 1845، أي قبل عقود من تقديم ويليام ستروت ( اللورد رايلي ) لها في كتابه " نظرية الصوت" (1877). ^{[ 3 ]}