متعدد المكعبات

الموسوعة الحرة
جميع المكعبات الرباعية الثمانية أحادية الجانب - إذا تم تجاهل الكيرالية، فإن المكعبين السفليين باللون الرمادي يُعتبران متطابقين، مما يعطي 7 مكعبات رباعية حرة إجمالاً
لغز يتضمن ترتيب تسعة مكعبات ثلاثية كبيرة الحجم (L) في مكعب 3×3×3

المكعب المتعدد هو متعدد السطوح متعامد يتكون من ضم مكعب واحد أو أكثر متطابقة وجهاً لوجه. تُعد المكعبات المتعددة نظائر ثلاثية الأبعاد للمضلعات المستوية . مكعب سوما ، ومكعب بيدلام ، والمكعب الشيطاني ، ولغز سلوثوبر-غراتسما ، ولغز كونواي هي أمثلة على مسائل التعبئة القائمة على المكعبات المتعددة. [ 1 ]

تعداد المكعبات المتعددة

مكعب خماسي حلزوني

كما هو الحال مع البوليومينو ، يمكن عدّ المكعبات المتعددة بطريقتين، اعتمادًا على ما إذا كانت أزواج المكعبات المتعددة الكيرالية (المتكافئة بالانعكاس المرآوي ، وليس باستخدام الإزاحات والدورانات فقط) تُحسب كمكعب متعدد واحد أو اثنين. على سبيل المثال، ستة مكعبات رباعية غير كيرالية ومكعب واحد كيرالي، مما يعطي عددًا قدره 7 أو 8 مكعبات رباعية على التوالي. [ 2 ] على عكس البوليومينو، عادةً ما تُحسب المكعبات المتعددة مع تمييز الأزواج المتناظرة، لأنه لا يمكن قلب مكعب متعدد لعكسه كما هو الحال مع البوليومينو في ثلاثة أبعاد. على وجه الخصوص، يستخدم مكعب سوما كلا شكلي المكعب الرباعي الكيرالي.

يتم تصنيف المكعبات المتعددة وفقًا لعدد الخلايا المكعبة التي تحتوي عليها: [ 3 ]

ناسم المكعب المتعدد الأبعاد من الرتبة nعدد المكعبات المتعددة أحادية الجانب من الرتبة n (يتم احتساب الانعكاسات على أنها مميزة) (التسلسل A000162 في OEIS )عدد المكعبات المتعددة الحرة من الرتبة n (يتم حساب الانعكاسات معًا) (التسلسل A038119 في OEIS )
1مكعب أحادي11
2ثنائي المكعب11
3مكعب ثلاثي22
4مكعب رباعي87
5خماسي المكعب2923
6مكعب سداسي166112
7المكعب السباعي1023607
8مكعب ثماني69223811

تم حصر المكعبات المتعددة الثابتة (حيث تُحسب كل من الانعكاسات والدورانات كعناصر منفصلة (التسلسل A001931 في OEIS ) )، والمكعبات المتعددة أحادية الجانب، والمكعبات المتعددة الحرة حتى n = 22. كما تم دراسة عائلات محددة من المكعبات المتعددة. [ 4 ] [ 5 ]

تناظرات المكعبات المتعددة

كما هو الحال مع متعددات الأضلاع، يمكن تصنيف المكعبات المتعددة وفقًا لعدد تناظراتها. وقد قام دبليو إف لونون بحصر تناظرات المكعبات المتعددة (فئات الترافق للمجموعات الفرعية للمجموعة الثمانية السطوح غير المتناظرة ) لأول مرة عام 1972. معظم المكعبات المتعددة غير متناظرة، ولكن العديد منها يمتلك مجموعات تناظر أكثر تعقيدًا، وصولًا إلى مجموعة التناظر الكاملة للمكعب ذي 48 عنصرًا. يوجد 33 نوعًا مختلفًا من التناظر يمكن أن يمتلكها المكعب المتعدد (بما في ذلك عدم التناظر). [ 2 ]

خصائص المكعبات الخماسية

12 مكعبًا خماسيًا مسطحة وتتوافق مع البنتومينو . 5 من المكعبات الـ 17 المتبقية لها تناظر مرآوي، وتشكل المكعبات الـ 12 الأخرى 6 أزواج كيرالية.

أبعاد الصناديق المحيطة بالمكعبات الخماسية هي 5×1×1، 4×2×1، 3×3×1، 3×2×1، 3×2×2، و2×2×2. [ 6 ]

قد يمتلك المكعب المتعدد ما يصل إلى 24 اتجاهًا في الشبكة المكعبة، أو 48 اتجاهًا إذا سُمح بالانعكاس. من بين المكعبات الخماسية، يتمتع سطحان مستويان (5-1-1 والصلبان) بتناظر انعكاسي في المحاور الثلاثة جميعها؛ ولهما ثلاثة اتجاهات فقط. بينما تتمتع 10 مكعبات بتناظر انعكاسي واحد؛ ولها 12 اتجاهًا. أما كل مكعب من المكعبات الخماسية الـ 17 المتبقية، فله 24 اتجاهًا.

فتحات المكعب الثماني والمكعب الفائق

صليب دالي

يتكون التيسيراكت ( المكعب الفائق رباعي الأبعاد ) من ثمانية مكعبات كأوجه له ، وكما يمكن فرد المكعب إلى شكل سداسي ، يمكن فرد التيسيراكت إلى مكعب ثماني. أحد أشكال الفرد، على وجه الخصوص، يحاكي الفرد المعروف للمكعب إلى شكل الصليب اللاتيني : فهو يتكون من أربعة مكعبات مكدسة فوق بعضها البعض، مع أربعة مكعبات أخرى متصلة بالأوجه المربعة المكشوفة للمكعب الثاني من الأعلى في المجموعة، لتشكيل شكل صليب مزدوج ثلاثي الأبعاد . استخدم سلفادور دالي هذا الشكل في لوحته "الصلب" (Corpus Hypercubus) عام 1954 [ 7 ] ، ووُصف في قصة روبرت أ. هاينلاين القصيرة " وبنى بيتًا معوجًا " عام 1940. [ 8 ] تكريمًا لدالي، سُمي هذا المكعب الثماني بصليب دالي . [ 9 ] [ 10 ] ويمكن استخدامه لتغطية الفضاء . [ 9 ]

وبشكل أعم (إجابةً على سؤال طرحه مارتن غاردنر عام 1966)، من بين جميع المكعبات الثمانية الحرة البالغ عددها 3811 مكعبًا، هناك 261 مكعبًا عبارة عن امتدادات للمكعب الفائق. [ 9 ] [ 11 ]

على عكس ما هو عليه الحال في ثلاثة أبعاد حيث تستبعد المسافات بين رؤوس المكعب المتعدد ذي الحواف الموحدة √7 بسبب نظرية ليجندر للمربعات الثلاثة ، تنص نظرية لاغرانج للمربعات الأربعة على أن النظير في أربعة أبعاد ينتج عنه جذور تربيعية لكل عدد طبيعي

اتصال الحدود

على الرغم من اشتراط اتصال مكعبات المكعب المتعدد بمربعات متجاورة، إلا أنه ليس من الضروري اتصال مربعات حدوده بحواف متجاورة. فعلى سبيل المثال، يُعد المكعب 26، المُشكَّل من شبكة مكعبات 3×3×3 ثم إزالة المكعب المركزي، مكعبًا متعددًا صحيحًا، حيث لا تتصل حدود الفراغ الداخلي بالحدود الخارجية. كما أنه ليس من الضروري أن تُشكِّل حدود المكعب المتعدد سطحًا متعدد الشعب . فعلى سبيل المثال، يحتوي أحد المكعبات الخماسية على مكعبين يلتقيان بحواف متجاورة، بحيث تكون الحافة بينهما ضلعًا لأربعة مربعات حدودية.

إذا كان للمكعب المتعدد خاصية إضافية تتمثل في أن مكمله (مجموعة المكعبات الصحيحة التي لا تنتمي إلى المكعب المتعدد) متصل بمسارات من المكعبات تتقاطع مربعًا بمربع، فإن مربعات حدود المكعب المتعدد تكون بالضرورة متصلة أيضًا بمسارات من المربعات تتقاطع حافة بحافة. ​​[ 12 ] أي أن الحدود في هذه الحالة تشكل متعددًا متعدد الأضلاع .

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
هل يمكن فرد كل مكعب متعدد الأضلاع ذي حدود متصلة إلى متعدد الأضلاع؟ وإذا كان الأمر كذلك، فهل يمكن فرد كل مكعب متعدد الأضلاع من هذا النوع إلى متعدد الأضلاع يغطي المستوى؟
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

يمكن فرد كل مكعب من النوع k حيث k < 7، بالإضافة إلى صليب دالي (حيث k = 8 ) ، إلى متعدد الأضلاع الذي يغطي المستوى. يبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كان بالإمكان فرد كل مكعب متعدد الأضلاع ذي حدود متصلة إلى متعدد الأضلاع، أو ما إذا كان ذلك ممكنًا دائمًا بشرط إضافي هو أن متعدد الأضلاع يغطي المستوى. [ 10 ]

الرسم البياني المزدوج

يمكن تصور بنية المكعب المتعدد باستخدام "رسم بياني ثنائي" يحتوي على رأس لكل مكعب وحافة لكل مكعبين يشتركان في مربع. [ 13 ] وهذا يختلف عن المفاهيم المشابهة في الاسم، مثل المجسم الثنائي متعدد السطوح ، والرسم البياني الثنائي للرسم البياني المضمن في السطح.

كما تم استخدام الرسوم البيانية الثنائية لتعريف ودراسة فئات فرعية خاصة من المكعبات المتعددة، مثل تلك التي يكون رسمها البياني الثنائي عبارة عن شجرة. [ 14 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايسستين، إريك دبليو. "بولي كيوب". من عالم الرياضيات
  2. 1 2 لونون، دبليو إف (1972)، "تناظر متعددات الأشكال المكعبة والعامة"، في ريد، رونالد سي (محرر)، نظرية الرسم البياني والحوسبة ، نيويورك: أكاديميك برس، ص 101-108 ، ISBN  978-1-48325-512-5
  3. ↑ مكعبات متعددة، في صفحات البولي
  4. ^ “تعداد فئات محددة من المكعبات المتعددة”، جان مارك شامبارنود وآخرون، جامعة روان، فرنسا PDF
  5. ↑ "التفاف ديريشليه وحصر المكعبات الهرمية المتعددة"، سي. كاريه، إن. ديبرو، إم. دينوفشاتيل، جيه. دوبرنارد، سي. هيلاريه، جيه. لوك، أو. ماليه؛ 19 نوفمبر 2013 (ملف PDF)
  6. ^ آرتس ، رونالد م. “Pentacube” . من عالم الرياضيات.
  7. ↑ كيمب، مارتن (1 يناير 1998)، "أبعاد دالي"، مجلة نيتشر ، 391 (27): 27، رمز Bibcode : 1998Natur.391...27K ، doi : 10.1038/34063
  8. ↑ فاولر، ديفيد (2010)، "الرياضيات في الخيال العلمي: الرياضيات كخيال علمي"، الأدب العالمي اليوم ، 84 (3): 48-52 ، doi : 10.1353/wlt.2010.0188 ، JSTOR 27871086 ، S2CID 115769478 ، رواية روبرت هاينلاين "وبنى بيتًا مائلًا"، التي نُشرت عام 1940، ورواية مارتن غاردنر "الأستاذ بلا جوانب"، التي نُشرت عام 1946، من أوائل أعمال الخيال العلمي التي قدمت للقراء شريط موبيوس، وزجاجة كلاين، والمكعب الفائق (التيسيراكت).  .
  9. 1 2 3 دياز، جيوفانا؛ أورورك، جوزيف (2015)، امتدادات المكعب الفائق التي تبلطR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}وR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}arXiv : 1512.02086 ، Bibcode : 2015arXiv151202086D​.
  10. 1 2 لانجرمان، ستيفان ؛ وينسلو، أندرو (2016)، "فكّات المكعبات المتعددة التي تفي بمعيار كونواي" (PDF) ، المؤتمر الياباني التاسع عشر حول الهندسة المنفصلة والحسابية والرسوم البيانية والألعاب (JCDCG^3 2016).
  11. ↑ تورني، بيتر (1984)، "كشف المكعب الفائق"، مجلة الرياضيات الترفيهية ، 17 (1): 1-16 ، MR 0765344 .
  12. ↑ باجشي، أميتابها؛ بهارجافا، أنكور؛ تشودري، أميتاب؛ إبشتاين، ديفيد ؛ شيديلر، كريستيان (2006)، "تأثير الأعطال على توسع الشبكة"، نظرية أنظمة الحوسبة ، 39 (6): 903-928 ، arXiv : cs/0404029 ، doi : 10.1007/s00224-006-1349-0 ، MR 2279081 ، S2CID 9332443  انظر على وجه الخصوص إلى Lemma 3.9، ص  924، والتي تنص على تعميم لخاصية اتصال الحدود هذه إلى المكعبات المتعددة ذات الأبعاد الأعلى.
  13. ↑ باريكيت، روني؛ باريكيت، جيل؛ روت، غونتر (2010)، "صيغ ومعدلات نمو المكعبات المتعددة عالية الأبعاد"، كومبيناتوريكا ، 30 (3): 257-275 ، CiteSeerX 10.1.1.217.7661 ، doi : 10.1007/s00493-010-2448-8 ، MR 2728490 ، S2CID 18571788   .
  14. ^ الوبيس، جريج. بوز, بروسنجيت ك . كوليت، سيباستيان؛ ديمين، إريك د . ديمين، مارتن ل . دويب، كريم؛ Dujmovic, فيدا ; إياكونو, جون ; الأماكن القريبة : Morin، Pat (2011)، “الكشفات الشائعة عن polyominoes و polycubes”، الهندسة الحسابية والرسوم البيانية والتطبيقات (PDF) ، ملاحظات محاضرة في الحوسبة. العلوم، المجلد. 7033، سبرينغر، هايدلبرغ، الصفحات من 44 إلى 54، دوى : 10.1007/978-3-642-24983-9_5 ، HDL : 1721.1/73836 ، ISBN   978-3-642-24982-2MR 2927309​ .