الكيرالية (الرياضيات)

في الهندسة ، يُقال إن الشكل كيرالي (ويُقال إنه يمتلك خاصية الكيرالية ) إذا لم يكن مطابقًا لصورته المرآوية ، أو بتعبير أدق، إذا لم يكن بالإمكان تحويله إلى صورته المرآوية عن طريق الدوران والانتقال فقط. أما الجسم غير الكيرالي فيُقال عنه إنه لا كيرالي .

يُقال عن الجسم الكيرالي وصورته المرآوية أنهما متماثلان ضوئياً . كلمة "كيرالية" مشتقة من الكلمة اليونانية χείρ (cheir)، والتي تعني اليد، وهي أكثر الأجسام الكيرالية شيوعاً؛ أما كلمة "متماثل ضوئياً" فهي مشتقة من الكلمة اليونانية ἐναντίος (enantios) التي تعني "مقابل" + μορφή (morphe) التي تعني "شكل".

يُعتبر كل من التترومينو S و Z متماثلين ضوئياً في بعدين.

S	Z

يمكن تحديد بعض الأجسام ثلاثية الأبعاد الكيرالية، مثل الحلزون ، بأنها يمينية أو يسارية ، وفقًا لقاعدة اليد اليمنى .

تُظهر العديد من الأشياء المألوفة الأخرى نفس التناظر الكيرالي لجسم الإنسان، مثل القفازات والأحذية. يختلف الحذاء الأيمن عن الحذاء الأيسر فقط بكونهما صورة معكوسة لبعضهما البعض. في المقابل، قد لا تُعتبر القفازات الرقيقة كيرالية إذا كان بالإمكان ارتداؤها مقلوبة . ^{[ 1 ]}

تُظهر قطع التترومينو ذات الأشكال J وL وS وZ في لعبة الفيديو الشهيرة Tetris خاصية الكيرالية، ولكن فقط في فضاء ثنائي الأبعاد. ولا تحتوي كل قطعة على حدة على تناظر انعكاسي في المستوى.

يكون الشكل غير متماثل إذا وفقط إذا احتوت مجموعة التناظر الخاصة به على تماثل واحد على الأقل يعكس الاتجاه . في الهندسة الإقليدية، يمكن كتابة أي تماثل على النحو التالي:${\displaystyle v\mapsto Av+b}$باستخدام مصفوفة متعامدة${\displaystyle A}$ومتجه${\displaystyle b}$المحدد لـ​${\displaystyle A}$إذا كانت القيمة إما 1 أو -1، فإن التناظر يكون معكوسًا للاتجاه، وإلا فهو يحافظ على الاتجاه.

يوجد تعريف عام للكيرالية قائم على نظرية الزمر. ^{[ 2 ]} وهو لا يشير إلى أي مفهوم توجيهي: يكون التماثل مباشرًا إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب مربعات التماثلات، وإلا فهو تماثل غير مباشر. ويعمل تعريف الكيرالية الناتج في الزمكان. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

في بُعدين، كل شكل يمتلك محور تناظر يكون غير كيرالي، ويمكن إثبات أن كل شكل محدود غير كيرالي يجب أن يمتلك محور تناظر. ( محور تناظر الشكل)${\displaystyle F}$هو خط${\displaystyle L}$بحيث${\displaystyle F}$ثابت تحت التحويل${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)}$، متى${\displaystyle L}$يتم اختياره ليكون${\displaystyle x}$(محور نظام الإحداثيات.) لهذا السبب، يكون المثلث غير متماثل إذا كان متساوي الأضلاع أو متساوي الساقين ، ويكون متماثلًا إذا كان مختلف الأضلاع .

ضع في اعتبارك النمط التالي:

هذا الشكل كيرالي، لأنه ليس مطابقاً لصورته المرآوية:

لكن إذا مددنا النمط في كلا الاتجاهين إلى ما لا نهاية، فسنحصل على شكل غير متماثل (غير محدود) لا يمتلك محور تناظر. مجموعة تناظره هي مجموعة زخرفية ناتجة عن انعكاس انزلاقي واحد .

_{في ثلاثة أبعاد، يكون} كل شكل يمتلك مستوى تناظر مرآوي S1 _، أو مركز تناظر انعكاسي S2 ، أو محور تناظر دوراني غير صحيح أعلى (انعكاس دوراني) Sn ^{[ 5 ]} _شكلاً غير كيرالي. ( مستوى تناظر الشكل${\displaystyle F}$هي طائرة${\displaystyle P}$بحيث${\displaystyle F}$ثابت تحت التحويل${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y,-z)}$، متى${\displaystyle P}$يتم اختياره ليكون${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$المستوى الثالث لنظام الإحداثيات. مركز تناظر الشكل${\displaystyle F}$هذه نقطة${\displaystyle C}$بحيث${\displaystyle F}$ثابت تحت التحويل${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$، متى${\displaystyle C}$(يُختار ليكون أصل نظام الإحداثيات). لاحظ، مع ذلك، أن هناك أشكالًا غير متناظرة تفتقر إلى كل من المستوى ومركز التناظر. مثال على ذلك الشكل

${\displaystyle F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}}$

وهو ثابت تحت التناظر العكسي للاتجاه${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)}$وبالتالي فهو غير متماثل، ولكنه لا يملك مستوى ولا مركز تناظر. الشكل

${\displaystyle F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}}$

كما أنه غير متناظر لأن الأصل هو مركز التناظر، ولكنه يفتقر إلى مستوى التناظر.

يمكن أن يكون للأشكال غير المتناظرة محور مركزي .

تُسمى العقدة غير متناظرة إذا أمكن تشويهها باستمرار إلى صورتها المرآوية، وإلا تُسمى عقدة متناظرة . على سبيل المثال، العقدة البسيطة وعقدة الرقم ثمانية غير متناظرتين، بينما عقدة البرسيم متناظرة.

• عدم التناظر
• متعدد الأوجه الكيرالي
• الكيرالية (الكيمياء)
• الكيرالية (الفيزياء)
• التكافؤ (في الفيزياء)
• الانحراف
• جبر الرؤوس

• فلابان، إريكا (2000). عندما تلتقي الطوبولوجيا بالكيمياء . آفاق. مطبعة جامعة كامبريدج والجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-521-66254-0.

• التناظر، والكيرالية، ومقاييس التناظر، ومقاييس الكيرالية: تعريفات عامة
• المجسمات الكيرالية متعددة الأوجه من تصميم إريك دبليو. وايسشتاين ، مشروع عروض وولفرام .
• مشعب كيرالي في أطلس المشعبات.