معضلة تجنب الأوائل

في الجبر ، تنص مبرهنة تجنب الأعداد الأولية على أنه إذا كان المثالي I في حلقة تبديلية R موجودًا في اتحاد عدد محدود من المثاليات الأولية P _i ، فإنه موجود في P _i لبعض i .

توجد العديد من الصيغ المختلفة لهذه اللمة (انظر هوخستر)؛ على سبيل المثال، إذا احتوت الحلقة R على حقل لانهائي أو حقل منتهٍ ذي عدد عناصر كبير بما فيه الكفاية ، فإن العبارة تتبع من حقيقة في الجبر الخطي مفادها أن الفضاء المتجهي فوق حقل لانهائي أو حقل منتهٍ ذي عدد عناصر كبير ليس اتحادًا منتهيًا لفضاءاته المتجهة الجزئية. ^{[ 1 ]}

ربما يكون البيان والحجة التاليان هما الأكثر شيوعًا.

نظرية ( مبدأ تجنب الأعداد الأولية ) : ليكن E مجموعة جزئية من الحلقة التبديلية R ، وهي زمرة جزئية جمعية من R ومغلقة ضربيًا . (على وجه الخصوص، يمكن أن تكون E حلقة جزئية أو مثاليًا من R ).${\displaystyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{n},n\geq 1}$أن تكون مُثُلاً عليا بحيث${\displaystyle I_{i}}$تُعدّ هذه مُثُلاً عليا لـ${\displaystyle i\geq 3}$إذا لم تكن E موجودة في أي من${\displaystyle I_{i}}$إذاً، فإن E لا يحتوي على الاتحاد${\textstyle \bigcup I_{i}}$.

البرهان بالاستقراء على n : الفكرة هي إيجاد عنصر من R موجود في E وليس في أي من عناصره.${\displaystyle I_{i}}$الحالة الأساسية${\displaystyle n=1}$هذا أمر تافه. لنفترض الآن${\displaystyle n\geq 2}$لكل قيمة i ، اختر

${\displaystyle z_{i}\in E\setminus \bigcup _{j\neq i}I_{j}}$،

حيث أن كل مجموعة من المجموعات على اليمين غير فارغة وفقًا لفرضية الاستقراء. يمكننا أن نفترض${\displaystyle z_{i}\in I_{i}}$لكل i ؛ وإلا، فهناك بعض${\displaystyle z_{k}}$ومن بينها ما يتجنب كل${\displaystyle I_{i}}$وهكذا نكون قد انتهينا. ضع

${\displaystyle z=z_{1}\cdots z_{n-1}+z_{n}}$.

بما أن المجموعة E مغلقة تحت عمليتي الجمع والضرب، فإن z تنتمي إلى E بحسب التعريف. ندعي أن z لا تنتمي إلى أي من المجموعات الأخرى.${\displaystyle I_{i}}$في الواقع، إذا${\displaystyle z\in I_{i}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle i\leq n-1}$، ثم${\displaystyle z_{n}\in I_{i}}$وهذا تناقض. لنفترض الآن${\displaystyle z\in I_{n}}$. ثم ${\displaystyle z_{1}\cdots z_{n-1}\in I_{n}}$. لو${\displaystyle n=2}$هذا تناقض بحد ذاته. إذا${\displaystyle n>2}$إذن، بما أن${\displaystyle I_{n}}$هو مثال مثالي،${\displaystyle z_{i}\in I_{n}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle i\leq n-1}$وهذا تناقض آخر.${\displaystyle \square }$

يوجد الشكل التالي لتجنب الأعداد الأولية بسبب إي. ديفيس .

البرهان: ^{[ 3 ]} نبرهن بالاستقراء على r . وبدون فقدان للعمومية ، يمكننا افتراض عدم وجود علاقة احتواء بين${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$'s؛ لأنه بخلاف ذلك يمكننا استخدام الفرضية الاستقرائية.

أيضًا، إذا${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {p}}_{i}}$لكل i ، نكون قد انتهينا؛ وبالتالي، دون فقدان للعمومية، يمكننا أن نفترض${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$. باستخدام فرضية الاستقراء، نجد قيمة y في J بحيث${\displaystyle x+y\in I-\cup _{1}^{r-1}{\mathfrak {p}}_{i}}$. لو${\displaystyle x+y}$ليس في${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$انتهينا. وإلا، فلاحظ أن${\displaystyle J\not \subset {\mathfrak {p}}_{r}}$(منذ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$) ومنذ ذلك الحين${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$لدينا مثال مثالي رئيسي:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}\not \supset J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$.

وبالتالي، يمكننا الاختيار${\displaystyle y'}$في${\displaystyle J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$هذا ليس في${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$ثم، بما أن${\displaystyle x+y\in {\mathfrak {p}}_{r}}$العنصر${\displaystyle x+y+y'}$يمتلك الخاصية المطلوبة.${\displaystyle \square }$

• ميل هوخستر ، نظرية الأبعاد وأنظمة المعاملات ، مذكرة تكميلية
• ماتسومورا، هيديوكي (1986). نظرية الحلقات التبادلية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  8. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-36764-6. السيد 0879273 . زبل 0603.13001 .