مثالي رئيسي

يكون المثالي P في الحلقة التبديلية R أوليًا إذا كان يتمتع بالخاصيتين التاليتين:

• إذا كان a و b عنصرين من R بحيث يكون حاصل ضربهما ab عنصرًا من P ، فإن a ينتمي إلى P أو b ينتمي إلى P.
• P ليست الحلقة R بأكملها .

هذا يُعمم الخاصية التالية للأعداد الأولية، والمعروفة باسم مبرهنة إقليدس : إذا كان p عددًا أوليًا، وكان p يقسم حاصل ضرب عددين صحيحين ab ، فإن p يقسم a أو p يقسم b . وبالتالي يمكننا القول

يكون العدد الصحيح الموجب n عددًا أوليًا إذا وفقط إذا${\displaystyle n\mathbb {Z} }$يُعدّ مثالاً رئيسياً في${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

تُعرف مجموعة المُثُل الأولية لحلقة تبديلية R باسم طيفها ( الأولي ) ويُرمز لها بـ${\displaystyle \mathrm {Spec} \ R}$. اعتمادًا على السياق، يتم استخدام هذه المصطلحات والرموز أيضًا للإشارة إلى مجموعة المثاليّات الأولية المجهزة بهياكل إضافية، وطوبولوجيا، وحزمة من الحلقات، مما يجعلها كائنًا هندسيًا يُعرف باسم المخطط الأفيني .

التعريف المكافئ والأسهل فهماً هو كما يلي.

ليكن R حلقة تبديلية . يكون المثالي I في R أوليًا إذا كان يتمتع بالخاصية التالية:

• إذا كان${\displaystyle \notin }$أنا و ب${\displaystyle \notin }$ثم أب​${\displaystyle \notin }$أنا .

هذه الخاصية مكافئة رياضياً للتعريف القياسي المستخدم أعلاه حيث تم اشتقاقها باستخدام العكس الإيجابي.

• مثال بسيط: في الحلبة${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$مجموعة فرعية من الأعداد الزوجية${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$(يشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle (2)}$، مما يعني أن المثال الناتج عن 2) هو مثال أولي.
• بالنظر إلى مجال تكاملي${\displaystyle R}$أي عنصر أولي${\displaystyle p\in R}$يُنتج مثاليًا أوليًا رئيسيًا${\displaystyle (p)}$على سبيل المثال، خذ متعددة حدود غير قابلة للاختزال${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$في حلقة متعددة الحدود${\displaystyle \mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$فوق حقل ما${\displaystyle \mathbb {F} }$يمكن أن يكون معيار أيزنشتاين للمجالات التكاملية (ومن ثم UFDs ) فعالاً في تحديد ما إذا كان عنصر في حلقة متعددة الحدود غير قابل للاختزال .
• إذا كان R يرمز إلى الحلقة${\displaystyle \mathbb {C} [X,Y]}$إذا كان لدينا كثيرات حدود في متغيرين بمعاملات مركبة ، فإن المثالي الناتج عن كثير الحدود Y ² − X ³ − X − 1 هو مثالي أولي (انظر المنحنى الإهليلجي ).
• في الحلبة${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$من بين جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة، المثالي${\displaystyle (2,X)}$الناتج عن 2 و X هو مثالي أولي. يتكون المثالي من جميع كثيرات الحدود التي تم إنشاؤها بأخذ 2 مضروبًا في عنصر من${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$وإضافة ذلك إلى X مضروبًا في متعددة حدود أخرى في${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$(مما يحول المعامل الثابت في كثيرة الحدود الأخيرة إلى معامل خطي). لذلك، يتكون المثالي الناتج من جميع كثيرات الحدود التي يكون معاملها الثابت زوجيًا.
• في أي حلقة R ، يكون المثالي الأعظمي مثاليًا M يكون أعظميًا في مجموعة جميع المثاليات الفعلية لـ R ، أي أن M موجود في مثاليين فقط من R ، وهما M نفسه والحلقة R بأكملها . كل مثالي أعظمي هو في الواقع مثالي أولي. في مجال المثاليات الرئيسية، يكون كل مثالي أولي غير صفري أعظميًا، لكن هذا ليس صحيحًا بشكل عام. بالنسبة لـ UFD${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$تنص نظرية هيلبرت الصفرية على أن كل مثال أعلى يكون على الشكل التالي:${\displaystyle (x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).}$
• إذا كانت M متعددة الشعب الملساء ، و R هي حلقة الدوال الحقيقية الملساء على M ، و x هي نقطة في M ، فإن مجموعة جميع الدوال الملساء f التي تحقق f ( x ) = 0 تشكل مثالًا أوليًا (حتى مثالًا أقصى) في R.

• لنفترض تركيب ناتجي القسمة التاليين

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}}$

على الرغم من أن الحلقتين الأوليين هما نطاقان متكاملان (في الواقع، الأولى هي نطاق تكاملي غير مكتمل)، فإن الأخيرة ليست نطاقًا متكاملًا لأنها متماثلة مع

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C} }$

منذ${\displaystyle (y^{2}-1)}$العوامل${\displaystyle (y-1)(y+1)}$وهذا يعني وجود قواسم صفرية في حلقة القسمة، مما يمنعها من أن تكون متماثلة مع${\displaystyle \mathbb {C} }$وبدلاً من ذلك إلى مجال غير متكامل${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} }$(بحسب نظرية الباقي الصينية ).

وهذا يدل على أن الوضع المثالي${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]}$ليس عقاراً رئيسياً. (انظر العقار الأول المذكور أدناه.)

• ومن الأمثلة الأخرى غير المثالية${\displaystyle (2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]}$بما أننا

${\displaystyle x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)}$

لكن لا هذا ولا ذاك${\displaystyle x-1}$ولا${\displaystyle x+1}$هي عناصر من عناصر المثال الأعلى.

• يكون المثالي I في الحلقة R (ذات العنصر المحايد ) أوليًا إذا وفقط إذا كانت حلقة القسمة R / I مجالًا تكامليًا . وبالتحديد، تكون الحلقة التبديلية (ذات العنصر المحايد) مجالًا تكامليًا إذا وفقط إذا كان (0) مثاليًا أوليًا. ( لا تحتوي الحلقة الصفرية على مثاليات أولية، لأن المثالي (0) هو الحلقة بأكملها).
• يكون المثالي I أوليًا إذا وفقط إذا كان مكمله النظري للمجموعات مغلقًا ضربيًا . ^{[ 3 ]}
• تحتوي كل حلقة غير صفرية على مثالي أولي واحد على الأقل (في الواقع تحتوي على مثالي أقصى واحد على الأقل)، وهو نتيجة مباشرة لنظرية كرول .
• بشكلٍ أعم، إذا كانت S أي مجموعة مغلقة ضربيًا في R ، فإنّ لِمّةً تُنسب أساسًا إلى كرول تُبيّن وجود مثاليّ أعظميّ في R بالنسبة لكونه منفصلًا عن S ، وعلاوةً على ذلك، يجب أن يكون هذا المثاليّ أوليًّا. ويمكن تعميم ذلك على الحلقات غير التبادلية (انظر أدناه). ^{[ 4 ]} في حالة S = {1}، لدينا نظرية كرول ، والتي تُعيد المثاليّات الأعظميّة في R. ومن الأنظمة النموذجية الأخرى من الرتبة m المجموعة { x₁ , x₂ , ^x₃ , x₄ ^, ...}، التي تضمّ جميع ^القوى الموجبة لعنصر غير نيلبوتنت .
• الصورة العكسية لمثالي أولي تحت تشاكل حلقي هي مثالي أولي. لكن هذه الحقيقة لا تنطبق دائمًا على المثاليّات القصوى ، وهذا أحد أسباب تعريف علماء الهندسة الجبرية طيف الحلقة بأنه مجموعة مثالياتها الأولية بدلًا من المثالية القصوى؛ إذ يُراد من تشاكل الحلقات أن يُعطي تطبيقًا بين أطيافها.
• تحتوي مجموعة جميع المُثُل الأولية (التي تُسمى طيف الحلقة ) على عناصر دنيا (تُسمى المُثُل الأولية الدنيا ). هندسيًا، تُقابل هذه العناصر المكونات غير القابلة للاختزال للطيف.
• ليس بالضرورة أن يكون مجموع مثاليين أوليين عددًا أوليًا. على سبيل المثال، لننظر إلى الحلقة${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$^{مع وجود} مثاليين أوليين P = ( x² ⁺ y² - 1) و Q = ( x ) (المثاليان المتولدان من x² + y² ^- 1 و ^x على التوالي ) . ومع ذلك ، فإن مجموعهما P + Q = ( x² ⁺ y² - ¹ , x ) = ( y² ^- 1, x ) ليس أوليًا: y² - 1 = ( ^y - 1)( y + 1) ∈ P + Q، لكن عامليه ليسا أوليين. أو بعبارة أخرى، تحتوي حلقة القسمة على قواسم صفرية، لذا فهي ليست مجالًا تكامليًا ، وبالتالي لا يمكن أن يكون P + Q أوليًا.
• ليس كل مثال لا يمكن تحليله إلى مثالين مثالاً أولياً؛ على سبيل المثال${\displaystyle (x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]}$لا يمكن تحليله إلى عوامله الأولية ولكنه ليس عددًا أوليًا.
• في حلقة تبديلية R تحتوي على عنصرين على الأقل، إذا كان كل مثالي حقيقي أوليًا، فإن الحلقة حقل. (إذا كان المثالي (0) أوليًا، فإن الحلقة R مجال تكاملي. إذا كان q أي عنصر غير صفري في R وكان المثالي ( q ^{≥ 2} ) أوليًا، فإنه يحتوي على q ، وبالتالي يكون q قابلًا للعكس .)
• يكون المثالي الرئيسي غير الصفري أوليًا إذا وفقط إذا كان مولدًا بواسطة عنصر أولي . في نظرية العناصر المحدودة الموحدة، يحتوي كل مثالي أولي غير صفري على عنصر أولي.

يُستخدم المُثُل الأولية في الهندسة الجبرية ، حيث تُعرَّف المُتَغَيِّرات بأنها مجموعات الأصفار للمُثُل في حلقات كثيرات الحدود. ويتضح أن المُتَغَيِّرات غير القابلة للاختزال تُقابل المُثُل الأولية. في المنهج التجريدي الحديث، نبدأ بحلقة تبديلية عشوائية، ونُحوِّل مجموعة مُثُلها الأولية، والتي تُسمى أيضًا طيفها ، إلى فضاء طوبولوجي ، ومن ثم يُمكن تعريف تعميمات للمُتَغَيِّرات تُسمى المخططات ، والتي تجد تطبيقات ليس فقط في الهندسة ، بل أيضًا في نظرية الأعداد .

كان إدخال المُثُل الأولية في نظرية الأعداد الجبرية خطوة كبيرة إلى الأمام: فقد تم إدراك أن الخاصية المهمة للتحليل الفريد المُعبر عنها في النظرية الأساسية للحساب لا تنطبق في كل حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية ، ولكن تم إيجاد بديل عندما استبدل ريتشارد ديديكيند العناصر بالمُثُل والعناصر الأولية بالمُثُل الأولية؛ انظر مجال ديديكيند .

• أي مثال بدائي هو مثال أولي.
• كما هو الحال مع الحلقات التبادلية، فإن المثاليات القصوى هي مثاليات أولية، كما أن المثاليات الأولية تحتوي على مثاليات أولية دنيا.
• تكون الحلقة حلقة أولية إذا وفقط إذا كان المثالي الصفري مثاليًا أوليًا، وعلاوة على ذلك تكون الحلقة مجالًا إذا وفقط إذا كان المثالي الصفري مثاليًا أوليًا تمامًا.
• ومن الحقائق الأخرى من النظرية التبادلية التي ترددت في النظرية غير التبادلية أنه إذا كان A عبارة عن وحدة R غير صفرية ، وكان P عنصرًا أقصى في مجموعة العناصر الجزئية المثالية للإبادة للوحدات الفرعية لـ A ، فإن P يكون أوليًا.