البدائي

في الرياضيات ، وبشكل خاص في نظرية الأعداد ، يُرمز إلى العدد الأولي بـ "${\displaystyle p_{n}\#}$"، هي دالة من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الطبيعية تشبه دالة المضروب ، ولكن بدلاً من ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة بشكل متتابع، فإن الدالة تضرب الأعداد الأولية فقط .

إن اسم "primorial"، الذي صاغه هارفي دوبنر ، يرسم تشبيهًا بالأعداد الأولية على غرار الطريقة التي يرتبط بها اسم "factorial" بالعوامل .

البدائي${\displaystyle p_{n}\#}$يُعرَّف بأنه ناتج الأول${\displaystyle n}$الأعداد الأولية: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},}$

أين${\displaystyle p_{k}}$هو ⁠${\displaystyle k}$العدد الأولي رقم 1. على سبيل المثال،${\displaystyle p_{5}\#}$يرمز إلى حاصل ضرب أول 5 أعداد أولية:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

البدائيات القليلة الأولى${\displaystyle p_{n}\#}$نكون:

1 ، 2 ، 6 ، 30 ، 210 ، 2310 ، 30030، 510510، 9699690... (التسلسل A002110 في OEIS ) .

تنمو البدائيات بشكل تقاربي وفقًا لـ ^{[ 2 ]}

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n}.}$

بشكل عام، بالنسبة لعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$، أصلها${\displaystyle n\#}$هو حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوي${\displaystyle n}$أي ، ^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle n\#=\prod _{p\,\leq \,n \atop p\,{\text{prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,}$

أين${\displaystyle \pi (n)}$هي دالة عد الأعداد الأولية (المتتالية A000720 في OEIS ) . وهذا يكافئ ما يلي:

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{إذا كان }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{إذا كان }}n{\text{ عددًا أوليًا}}\\(n-1)\#&{\text{إذا كان }}n{\text{ عددًا مركبًا}}.\end{cases}}}$

على سبيل المثال،${\displaystyle 12\#}$يمثل حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية التي لا تزيد عن ⁠${\displaystyle 12}$⁠ :

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

منذ${\displaystyle \pi (12)=5}$ويمكن حساب ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

لنأخذ في الاعتبار أول 12 قيمة من المتتالية ⁠${\displaystyle n\#}$⁠ :

${\displaystyle 1,2,6,6,30,30,210,210,210,210,2310,2310.}$

نرى ذلك بالنسبة للمركبات${\displaystyle n}$، كل فصل دراسي${\displaystyle n\#}$يساوي الحد السابق ⁠${\displaystyle (n-1)\#}$في المثال أعلاه لدينا${\displaystyle 12\#=p_{5}\#=11\#}$منذ​${\displaystyle 12}$مركب .

ترتبط الدوال الأولية بدالة تشيبيشيف الأولى${\displaystyle \vartheta (n)}$بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$

منذ${\displaystyle \vartheta (n)}$يقترب بشكل مقارب${\displaystyle n}$بالنسبة للقيم الكبيرة لـ${\displaystyle n}$وبالتالي ، تنمو البذور الأولية وفقًا لما يلي:

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

• لأي​${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} }$،​${\displaystyle n\#=p\#}$إذا${\displaystyle p}$هو أكبر عدد أولي بحيث${\displaystyle p\leq n}$⁠ .
• يترك${\displaystyle p_{k}}$كن​${\displaystyle k}$العدد الأولي رقم 1. ثم${\displaystyle p_{k}\#}$يحتوي بالضبط${\displaystyle 2^{k}}$القواسم.
• يتقارب مجموع مقلوب القيم الأولية نحو قيمة ثابتة

  ${\displaystyle \sum _{p\,{\text{prime}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$(التسلسل A064648 في OEIS )

ينتج عن تحليل إنجل لهذا العدد متتالية من الأعداد الأولية. وقد أثبت غريفيث (2015) أنه عدد غير نسبي. ^{[ 5 ]}

• يمكن إعادة صياغة برهان إقليدس لنظريته حول لانهائية الأعداد الأولية بالقول إنه لأي عدد أولي${\displaystyle p}$الرقم${\displaystyle p\#+1}$له قاسم أولي غير موجود في مجموعة الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوي${\displaystyle p}$.
• ⁠${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$. لـ​${\displaystyle n<10^{11}}$، القيم أصغر من${\displaystyle e}$[ ^{6 ] ولكن بالنسبة} للأكبر${\displaystyle n}$، تتجاوز قيم الدالة${\displaystyle e}$وتتذبذب بلا حدود حول${\displaystyle e}$لاحقاً.
• بما أن معامل ذي الحدين${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$يقبل القسمة على كل عدد أولي بين${\displaystyle n+1}$و​${\displaystyle 2n}$و منذ ذلك الحين${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}\leq 4^{n}}$لدينا الحد الأعلى التالي: ^{[ 7 ]}${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.
  • باستخدام أساليب أولية، أثبت دينيس هانسون أن${\displaystyle n\#\leq 3^{n}}$[ ⁸ ]^​​
  • باستخدام أساليب أكثر تطوراً، أظهر روسر وشونفيلد أن${\displaystyle n\#\leq (2.763)^{n}}$^{[ 9 ]} علاوة على ذلك ، أظهروا أنه بالنسبة لـ${\displaystyle n\geq 563}$،​​${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}}$[ ⁹ ]^​​

تلعب الأعداد الأولية دورًا في البحث عن الأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية الجمعية . على سبيل المثال، ${\displaystyle 2236133941+23\#}$ينتج عنه عدد أولي، يبدأ سلسلة من ثلاثة عشر عددًا أوليًا يتم الحصول عليها عن طريق الإضافة المتكررة ⁠${\displaystyle 23\#}$، وينتهي بـ${\displaystyle 5136341251}$⁠ .${\displaystyle 23\#}$وهو أيضاً الفرق الشائع في المتتابعات الحسابية المكونة من خمسة عشر وستة عشر عدداً أولياً.

كل عدد مركب للغاية هو ناتج ضرب أعداد أولية. ^{[ 10 ]}

الأعداد الأولية هي جميع الأعداد الصحيحة الخالية من المربعات ، ولكل منها عوامل أولية مميزة أكثر من أي عدد أصغر منها. لكل عدد أولي${\displaystyle n}$، الكسر${\displaystyle \varphi (n)/n}$أصغر من أي عدد صحيح موجب أقل من${\displaystyle n}$، حيث${\displaystyle \varphi }$هي دالة أويلر .

أي دالة ضربية تمامًا يتم تعريفها من خلال قيمها عند الأعداد الأولية، لأنها تُعرف من خلال قيمها عند الأعداد الأولية، والتي يمكن استعادتها عن طريق قسمة القيم المتجاورة.

تحتوي الأنظمة الأساسية المقابلة للأعداد الأولية (مثل النظام ذي الأساس 30، والذي لا ينبغي الخلط بينه وبين نظام الأعداد الأولية ) على نسبة أقل من الكسور المتكررة مقارنة بأي أساس أصغر.

كل عدد أولي هو عدد ذو كثافة منخفضة . ^{[ 11 ]}

الـ​${\displaystyle n}$-مركب عدد مركب​${\displaystyle n}$هو حاصل ضرب جميع الأعداد المركبة حتى العدد 1 شاملاً العدد 1${\displaystyle n}$[ ^{12 ]} الـ^​​​${\displaystyle n}$التركيبي يساوي​${\displaystyle n}$- مضروب العدد مقسومًا علىالعدد الأولي${\displaystyle n\#}$. المواد التركيبية هي

1 ، 4 ، 24 ، 192 ، 1728 ،17280 ،​207 360 ،2 903 040 ،43 545 600 ،696 729 600 ، ... ^{[ 13 ]}

يمكن التعبير عن دالة زيتا لريمان عند الأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من واحد ^{[ 14 ]} باستخدام الدالة الأولية ودالة جوردان .${\displaystyle J_{k}}$⁠ :

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k\in \mathbb {Z} _{>1}}$.

• عدم المساواة في بونس
• دالة تشيبيشيف
• نظام الأعداد الأولية
• الأعداد الأولية

• دوبنر، هارفي (1987). "الأعداد الأولية العاملية والأولية". مجلة الرياضيات التاريخية 19 : 197-203 .
• سبنسر، آدم "أفضل 100" رقم 59 الجزء 4.