التوسع المحافظ

في المنطق الرياضي ، يُعدّ الامتداد المحافظ نظريةً فائقةً لنظريةٍ ما ، وهو مفيدٌ غالبًا لإثبات النظريات ، ولكنه لا يُثبت نظرياتٍ جديدةً حول لغة النظرية الأصلية. وبالمثل، فإنّ الامتداد غير المحافظ ، أو الامتداد الصحيح ، هو نظريةٌ فائقةٌ غير محافظة، ويمكنها إثبات نظرياتٍ أكثر من النظرية الأصلية.

بصورة أكثر رسمية، فإن النظرية T ₂ هي امتداد محافظ ( نظري إثباتي ) للنظرية T ₁ إذا كانت كل نظرية من T ₁ هي نظرية من T ₂ ، وأي نظرية من T ₂ بلغة T ₁ هي بالفعل نظرية من T ₁ .

وبشكل أكثر عمومية، إذا كانت Γ مجموعة من الصيغ في اللغة المشتركة لـ T ₁ و T ₂ ، فإن T ₂ تكون محافظة على Γ على T ₁ إذا كانت كل صيغة من Γ قابلة للإثبات في T ₂ قابلة للإثبات أيضًا في T ₁ .

لاحظ أن الامتداد المحافظ لنظرية متسقة يكون متسقًا. فلو لم يكن كذلك، لكان كل صيغة في لغة T₂ _{، وفقًا} لمبدأ الانفجار ، نظريةً في T₂ _، وبالتالي كل صيغة في لغة T₁ نظريةً في T₁ _{، مما} يجعل T₁ غير متسقة. ومن ثم، _فإن الامتدادات المحافظة لا تنطوي على خطر إدخال تناقضات جديدة. ويمكن اعتبار هذا أيضًا منهجيةً لكتابة النظريات الكبيرة وهيكلتها: ابدأ بنظرية، T₀ _، معروفة (أو مفترضة) بأنها متسقة، ثم ابنِ تباعًا امتدادات محافظة لها _، T₁ ، T₂ _، ... 

في الآونة الأخيرة، تم استخدام الامتدادات المحافظة لتعريف مفهوم الوحدة النمطية للأنطولوجيات : إذا تم صياغة الأنطولوجيا كنظرية منطقية، فإن النظرية الفرعية هي وحدة نمطية إذا كانت الأنطولوجيا بأكملها امتدادًا محافظًا للنظرية الفرعية.

• ACA ₀ ، وهو نظام فرعي من الحساب من الدرجة الثانية الذي تمت دراسته في الرياضيات العكسية ، هو امتداد محافظ لحساب بيانو من الدرجة الأولى .
• تُعتبر الأنظمة الفرعية للحساب من الدرجة الثانية RCA ^∗ ₀ و WKL ^∗ ₀ محافظة من النوع Π ⁰ ₂ على EFA. ^{[ 1 ]}
• النظام الفرعي WKL ₀ هو امتداد محافظ من النوع Π ¹ ₁ للنظام RCA ₀ ، وهو نظام محافظ من النوع Π ⁰ ₂ على النظام PRA . ^{[ 1 ]}
• NBG هو امتداد محافظ لـ ZFC (= ZF + AC ).
• تُعد نظرية المجموعات الداخلية امتدادًا محافظًا لنظرية ZFC.
• التوسعات بحسب التعريفات تُعتبر محافظة.
• تعتبر الامتدادات التي تتم بواسطة رموز المسند أو الدالة غير المقيدة محافظة.
• IΣ ₁ (نظام فرعي من حساب بيانو مع الاستقراء فقط لصيغ Σ ⁰ ₁ ) هو امتداد محافظ لـ Π ⁰ ₂ من PRA. ^{[ 2 ]}
• ZFC هو امتداد محافظ من النوع Π ¹ ₄ لـ ZF وفقًا لنظرية شوينفيلد المطلقة . ^{[ 3 ]}
• يُعد ZFC مع فرضية الاستمرارية المعممة امتدادًا محافظًا من نوع Π ² ₁ لـ ZFC. ^{[ 4 ]}

باستخدام الوسائل النظرية النموذجية ، نحصل على مفهوم أقوى: يُعتبر امتداد T₂ لنظرية T₁ _{محافظًا من} الناحية النظرية النموذجية إذا كان _T₁ ⊆ T₂ ، _ويمكن توسيع أي نموذج من _T₁ إلى نموذج من T₂ _{. كل امتداد محافظ من الناحية النظرية النموذجية هو أيضًا امتداد محافظ (} من الناحية النظرية البرهانية) بالمعنى المذكور أعلاه. ^{[ ٥ ]} يتميز المفهوم النظري النموذجي عن المفهوم النظري البرهاني بأنه لا يعتمد كثيرًا على اللغة المستخدمة؛ من ناحية أخرى، عادةً ما يكون إثبات المحافظة النظرية النموذجية أكثر صعوبة.

• إضافة أسماء جديدة للثوابت والدوال
• القاعدة المقبولة

• أهمية التوسعات المحافظة لأسس الرياضيات