نظرية المجموعات الداخلية

تنبثق المبادئ التالية من الدافع البديهي المذكور أعلاه، وبالتالي يمكن استنتاجها من البديهيات الرسمية. في الوقت الحالي، نعتبر مجال النقاش هو مجموعة الأعداد الصحيحة المألوفة.

• أي تعبير رياضي لا يستخدم معيار المسند الجديد بشكل صريح أو ضمني هو صيغة داخلية .
• أي تعريف يفعل ذلك هو صيغة خارجية .
• أي رقم يتم تحديده بشكل فريد بواسطة صيغة داخلية يعتبر رقماً قياسياً (بحكم التعريف).
• الأرقام غير القياسية هي تحديداً تلك التي لا يمكن تحديدها بشكل فريد (بسبب قيود الوقت والمساحة) بواسطة صيغة داخلية.
• الأعداد غير القياسية عصية على الفهم: فكل عدد منها ضخم للغاية بحيث لا يمكن التعامل معه بالصيغة العشرية أو أي تمثيل آخر، صريحًا كان أم ضمنيًا، مهما بلغت براعة الصيغة المستخدمة. وكل ما تنجح في إنتاجه هو بحكم التعريف مجرد عدد قياسي آخر.
• ومع ذلك، هناك (العديد) من الأعداد الصحيحة غير القياسية في أي مجموعة جزئية لانهائية من N.
• الأعداد غير القياسية هي أعداد عادية تمامًا، لها تمثيلات عشرية، وتحليلات إلى عوامل أولية، وما إلى ذلك. كل نظرية كلاسيكية تنطبق على الأعداد الطبيعية تنطبق على الأعداد الطبيعية غير القياسية. لم نبتكر أعدادًا جديدة، بل طريقة جديدة للتمييز بين الأعداد الموجودة.
• علاوة على ذلك، فإن أي نظرية كلاسيكية صحيحة لجميع الأعداد القياسية صحيحة بالضرورة لجميع الأعداد الطبيعية. وإلا فإن عبارة "أصغر عدد لا يحقق النظرية" ستكون صيغة داخلية تُعرّف عددًا غير قياسي تعريفًا فريدًا.
• يُعدّ مصطلح "غير قياسي" طريقةً منطقيةً متسقةً لتمييز الأعداد الكبيرة ، ويُشار إليها عادةً بمصطلح " غير محدود ". وستكون مقلوبات هذه الأعداد غير المحدودة بالضرورة أعدادًا حقيقيةً صغيرةً للغاية، أي أعدادًا متناهية الصغر . ولتجنب الخلط مع التفسيرات الأخرى لهذه المصطلحات، استُبدلت في المقالات الحديثة حول نظرية الأعداد المتناهية الصغر بالمصطلحين "كبير-محدود" و"صغير-محدود".
• لا شك أن عدد الأعداد القياسية محدود، ولكن يجب توخي الحذر: لا يمكننا جمعها معًا والاعتقاد بأن النتيجة مجموعة رياضية محددة جيدًا. لن يدعم هذا النهج الشكلي (والتبرير البديهي هو أن الحدود الدقيقة لهذه المجموعة تتغير بتغير الزمان والتاريخ). على وجه الخصوص، لن نتمكن من الحديث عن أكبر عدد قياسي، أو أصغر عدد غير قياسي. سيكون من الصحيح الحديث عن مجموعة منتهية تحتوي على جميع الأعداد القياسية، ولكن هذه الصيغة غير الكلاسيكية لا تنطبق إلا على مجموعة غير قياسية.

• لأي صيغة داخلية${\displaystyle \phi }$بدون ظهور حر لـ z ، فإن الإغلاق الشامل للصيغة التالية هو بديهية:

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }z\,(z{\text{ is finite}}\to \exists y\,\forall x\in z\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}))\leftrightarrow \exists y\,\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}).}$

• بعبارة أخرى: لكل علاقة داخلية R ، ولأي قيم لجميع المتغيرات الحرة الأخرى، لدينا أنه إذا كان لكل مجموعة قياسية منتهية F ، يوجد g بحيث ⁠${\displaystyle R(g,f)}$إذا كان هذا صحيحًا لجميع f في F ، فإنه يوجد G معين بحيثيكون لدينا لأي f قياسي ⁠${\displaystyle R(g,f)}$، وعلى العكس من ذلك، إذا وُجدت G بحيث يكون لدينا لأي دالة قياسية f${\displaystyle R(g,f)}$إذن ، لكل مجموعة منتهية F ، يوجد g بحيث${\displaystyle R(g,f)}$ينطبق هذا على جميعقيم f في F.

يتضمن بيان هذه البديهية نتيجتين. يمكن إعادة صياغة النتيجة من اليمين إلى اليسار ببساطة بالقول إن عناصر المجموعات المنتهية القياسية هي عناصر قياسية. أما النتيجة الأهم من اليسار إلى اليمين فتُعبّر عن أن مجموعة جميع المجموعات القياسية مُحتواة في مجموعة منتهية (غير قياسية)، وعلاوة على ذلك، يمكن اعتبار هذه المجموعة المنتهية مُحققة لأي خاصية داخلية مُعينة مشتركة بين جميع المجموعات المنتهية القياسية.

يؤكد هذا المخطط البديهي العام وجود عناصر "مثالية" في الظروف المناسبة. وتُظهر ثلاثة تطبيقات محددة نتائج مهمة.

• لو${\displaystyle \phi }$أي صيغة (قد تكون خارجية) بدون ظهور حر لـ y ، هي الإغلاق الشامل لـ

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }x\,\exists ^{\mathrm {st} }y\,\forall ^{\mathrm {st} }t\,(t\in y\leftrightarrow (t\in x\land \phi (t,u_{1},\dots ,u_{n})))}$

هو بديهية.

• بكلمات أخرى: إذا كانت A مجموعة قياسية و P أي خاصية، داخلية أو غير ذلك، فهناك مجموعة فرعية قياسية فريدة B من A عناصرها القياسية هي بالضبط العناصر القياسية لـ A التي تحقق P (لكن سلوك العناصر غير القياسية لـ B غير محدد).

• لو${\displaystyle \phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})}$إذا كانت الصيغة داخلية ولا تحتوي على متغيرات حرة أخرى غير تلك المحددة،

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }u_{1}\dots \forall ^{\mathrm {st} }u_{n}\,(\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})\to \forall x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n}))}$

هو بديهية.

• بكلمات أخرى: إذا كانت جميع المعلمات A و B و C و ... و W للصيغة الداخلية F لها قيم قياسية، فإن F ( x , A , B ,..., W ) تنطبق على جميع قيم x بمجرد أن تنطبق على جميع قيم x القياسية - ومن ثم يترتب على ذلك أن جميع المفاهيم أو الكائنات المحددة بشكل فريد في الرياضيات الكلاسيكية هي قياسية .