الترتيب الزائف

توجد إعادة صياغة بناءة شائعة تستخدم التناقضات والمعادلات الصحيحة.${\displaystyle \neg (\phi \land \psi )\leftrightarrow (\phi \to \neg \psi )}$إلى جانب${\displaystyle \neg (\phi \lor \psi )\leftrightarrow (\neg \phi \land \neg \psi )}$نفي الترتيب الزائف${\displaystyle x<y}$يُعرّف ترتيب جزئي انعكاسي لعنصرين${\displaystyle y\leq x}$وبهذا المعنى، ينص الشرط الأول على ما يلي:

${\displaystyle x<y\to x\leq y}$

وهو في الحقيقة يعبر فقط عن عدم التماثل في${\displaystyle x<y}$وهذا يعني عدم الانعكاسية ، كما هو مألوف من النظرية الكلاسيكية.

ينص مبدأ عدم التناقض للترتيب الجزئي على ما يلي:${\displaystyle \neg {\big (}x\leq y\land \neg (x\leq y))}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle \neg \neg {\big (}x\leq y\lor y<x)}$، لجميع العناصر. من الناحية البنائية، تعني صحة النفي المزدوج تحديدًا أنه لا يمكن دحض أي من حالات الفصل في الادعاء الكلاسيكي${\displaystyle \forall x.\forall y.\neg (y<x)\lor (y<x)}$، سواء كان هذا الاقتراح يمثل مشكلة قابلة للحل أم لا .

باستخدام شرط عدم التناظر، فإن ما سبق يستلزم أيضًا${\displaystyle \neg \neg (x\leq y\lor y\leq x)}$، الترابط القوي المنفي مرتين . في سياق المنطق الكلاسيكي، "${\displaystyle \leq }$"وبذلك يشكل نظامًا كليًا (غير صارم)" .

إن عكس الشرط الثالث يعبر بدقة عن أن العلاقة المرتبطة به${\displaystyle x\leq y}$(الترتيب الجزئي) متعدٍ. لذا تُسمى هذه الخاصية بالتعدي المشترك . باستخدام شرط عدم التناظر، يُمكن استنتاج نظرية مفادها أن الترتيب الزائف متعدٍ أيضًا. التعدي بديهية شائعة في التعريف الكلاسيكي للترتيب الخطي.

الشرط الذي يُسمى أيضًا بالمقارنة (وكذلك الخطية الضعيفة ): لأي فترة غير تافهة معطاة بواسطة بعض${\displaystyle x}$وبعض${\displaystyle y}$وفوقه، أي عنصر ثالث${\displaystyle z}$إما أن تكون القيمة أعلى من الحد الأدنى أو أدنى من الحد الأعلى. ولأن هذا ناتج عن الفصل، فإنه يرتبط بقانون التثليث أيضًا. وبالفعل، فإن وجود ترتيب زائف على مجموعة جزئية مرتبة كاملة وفقًا لمعيار ديديكيند-ماكنيل يستلزم مبدأ الوسط المرفوع. وهذا يؤثر على مناقشة الاكتمال في النظرية البنائية للأعداد الحقيقية.