قانون التثليث

في الرياضيات ، ينص قانون التثليث على أن كل عدد حقيقي إما موجب أو سالب أو صفر. ^{[ 1 ]}

بشكلٍ أعم، تكون العلاقة الثنائية R على المجموعة X ثلاثية التفرع إذا كان لكل x و y في X ، يتحقق واحد فقط من الشروط التالية: xRy ، yRx ، أو x = y . وبكتابة R على الصورة <، يُعبَّر عن ذلك في المنطق الصوري كما يلي:

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}$

بناءً على هذا التعريف، ينص قانون التثليث على أن < علاقة تثليثية على مجموعة الأعداد الحقيقية. بعبارة أخرى، إذا كان x و y عددين حقيقيين، فيجب أن يكون أحد الخيارات التالية صحيحًا: x < y ، x = y ، y < x .

• تكون العلاقة ثلاثية التفرع إذا، وفقط إذا، كانت غير متناظرة ومتصلة .
• إذا كانت العلاقة الثلاثية متعدية أيضاً، فإنها تكون ترتيباً كلياً صارماً ؛ وهذه حالة خاصة من الترتيب الضعيف الصارم . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• على المجموعة X = { a , b , c }، فإن العلاقة R = { ( a , b ), ( a , c ), ( b , c ) } هي علاقة متعدية وثلاثية التفرع، وبالتالي فهي ترتيب كلي صارم .
• على نفس المجموعة، فإن العلاقة الدورية R = { ( a , b ), ( b , c ), ( c , a ) } ثلاثية التفرع، ولكنها ليست متعدية؛ بل إنها مضادة للتعدي .

ينص قانون التثليث على مجموعة X من الأعداد عادةً على أن علاقة ترتيب معينة ضمنيًا على X هي علاقة تثليث. ومن الأمثلة على ذلك القانون التالي: "لأي عددين حقيقيين x و y ، ينطبق واحد فقط من العبارات التالية: x < y ، y < x ، أو x  = y ". (يُثبّت بعض المؤلفين قيمة y عند الصفر، معتمدين على بنية المجموعة المرتبة خطيًا للأعداد الحقيقية في عملية الجمع). 

في المنطق الكلاسيكي، تنطبق بديهية التقسيم الثلاثي هذه على المقارنات العادية بين الأعداد الحقيقية، وبالتالي تنطبق أيضاً على المقارنات بين الأعداد الصحيحة وبين الأعداد النسبية . لكن هذا القانون لا ينطبق عموماً في المنطق الحدسي .

في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ونظرية بيرنايز للمجموعات ، ينطبق قانون التثليث على الأعداد الأصلية للمجموعات القابلة للترتيب الجيد، ولكن ليس بالضرورة على جميع الأعداد الأصلية. إذا تحققت بديهية الاختيار، فإن التثليث ينطبق بين أي عدد أصلي (لأنها جميعًا قابلة للترتيب الجيد في هذه الحالة). ^{[ 4 ]}

• يحتوي كتاب Begriffsschrift على صياغة مبكرة لقانون التثليث
• ثنائية
• قانون عدم التناقض
• قانون الوسط المرفوع
• مقارنة ثلاثية